控制中的LMI/点击此处继续/控制器合成/多准则LQG

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多准则线性二次型高斯 (LQG) 线性矩阵不等式允许人们为具有基于 Q 和 R 矩阵定义的多个不同准则的基于高斯噪声的状态空间系统形成一个优化控制器，类似于 LQR 框架中的控制器，这些准则在任意成本函数中被优化。就像传统的 LQR 一样，成本矩阵必须以与经典控制中传统增益类似的方式进行调整。然而，在 LQR 和 LQG 框架中，增益更直观，因为每个增益都直接与状态或输入相关联。

系统

系统是一个线性时不变系统，可以用状态空间表示，如下所示

${\begin{aligned}{\dot {x}}&=Ax+Bu+w,\\y&=Cx+v,\\z&={\begin{bmatrix}Q^{1/2}&0\\0&R^{1/2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\u\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

其中 $x\in R^{n},y\in R^{l},z\in R^{m}$ 分别代表状态向量、测量输出向量和感兴趣的输出向量，$w\in R^{p}$ 是扰动向量，以及 $A,B,C,Q,R$ 是适当维度的系统矩阵。进一步定义：$x$ 是 $\in R^{n}$ 并且是状态向量，$A$ 是 $\in R^{n*n}$ 并且是状态矩阵，$B$ 是 $\in R^{n*r}$ 并且是输入矩阵，$w$ 是 $\in R^{r}$ 并且是外生输入，$C,Q,R$ 是 $\in R^{m*n}$ 并且是输出矩阵，而 $y$ 和 $z$ 是 $\in R^{m}$ 并且分别是输出和感兴趣的输出。

$Q\geq 0$ 且 $R>0$，该系统可控且可观测。

数据

矩阵 $A,B,C,Q,R,W,V$ 以及噪声信号 $w,v$。

优化问题

在线性二次高斯 (LQG) 控制问题中，目标是在工厂具有随机初始条件并且在输入和测量时遭受白噪声扰动的情况下，最小化二次成本函数。

此问题有多个感兴趣的输出。它们由以下定义

${\begin{aligned}z&={\begin{bmatrix}Q^{1/2}&0\\0&R^{1/2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\u\end{bmatrix}},Q_{i}\geq 0,R_{i}>0,i=0,...,p.\end{aligned}}$

对于每个感兴趣的输出，我们都关联一个成本函数

${\begin{aligned}J_{LQG}^{i}=\lim _{t\to \infty }Ez_{i}(t)^{T}z_{i}(t),i=0,...,p.\end{aligned}}$

此外，矩阵 $X_{LQG}$ 和 $Y_{LQG}$ 必须作为以下Riccati方程的解找到

${\begin{aligned}A^{T}X_{LQG}+X_{LQG}A=X_{LQG}BR^{-1}B^{T}X_{LQG}+Q&=0\\AY_{LQG}+Y_{LQG}A^{T}-Y_{LQG}C^{T}V^{-1}CY_{LQG}+W&=0\\\end{aligned}}$

优化问题是在满足可测条件和约束 $J_{LQG}^{i}<\gamma _{i},i=0,...,p.$ 的情况下，对 u 最小化 $J_{LQG}^{0}$。 此优化问题可以表述为

${\begin{aligned}\max trace(X_{LQG}U+QY_{LQG})-\sum _{i=1}^{p}\gamma _{i}\tau _{i},\end{aligned}}$

关于 $\tau _{1},...,\tau _{p}$，其中

${\begin{aligned}Q&=Q_{0}+\sum _{i=1}^{p}\tau _{i}Q_{i},\\R&=R_{0}+\sum _{i=1}^{p}\tau _{i}R_{i}.\end{aligned}}$

LMI： 多准则 LQG

${\begin{aligned}\max :trace(XU+(Q_{0}+\sum _{i=1}^{p}\tau _{i}Q_{i})Y_{LQG})-\sum _{i=1}^{p}\gamma _{i}\tau _{i},\end{aligned}}$

关于 $X,\tau _{1},...\tau _{p}$ 的最大值，受以下约束条件限制：

${\begin{aligned}X&>0,\\\tau _{1}\geq 0,...,\tau _{p}&\geq 0,\\A^{T}X+XA-XB(R_{0}+\sum _{i=1}^{p}\tau _{i}R_{i})^{-1}B^{T}X+Q_{0}+\sum _{i=1}^{p}\tau _{i}Q_{i}&\geq 0.\\\end{aligned}}$

结论

此 LMI 的结果是上述 Ricatti 方程的解。

${\begin{aligned}A^{T}X_{LQG}+X_{LQG}A=X_{LQG}BR^{-1}B^{T}X_{LQG}+Q&=0\\AY_{LQG}+Y_{LQG}A^{T}-Y_{LQG}C^{T}V^{-1}CY_{LQG}+W&=0\\\end{aligned}}$

实施

此实施需要 Yalmip 和 Sedumi。

https://github.com/rezajamesahmed/LMImatlabcode/blob/master/multicriterionquadraticproblems.m

相关 LMI

1. 最优控制的反问题

外部链接

• 最优和鲁棒控制中的 LMI 方法 - Matthew Peet 的关于控制中 LMI 的课程。
• 系统、稳定性和控制理论中的 LMI 属性和应用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 的 LMI 列表。
• 系统和控制理论中的 LMI - Stephen Boyd 的关于 LMI 的可下载书籍。