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连续时间D稳定控制器

这个LMI将允许你根据系统的性能，例如上升时间、稳定时间和超调百分比，将极点放置在特定位置，同时确保系统的稳定性。

系统

假设我们得到了一个连续时间系统

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t)\\y(t)&=Cx(t)+Du(t)\end{aligned}}$

其稳定性未知，其中 $A\in \mathbb {R} ^{mxm}$, $B\in \mathbb {R} ^{mxn}$, $C\in \mathbb {R} ^{pxm}$, 和 $D\in \mathbb {R} ^{qxn}$ 对于任何 $t\in \mathbb {R}$.

在系统中添加不确定性

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=(A+A_{i})x(t)+(B+B_{i})u(t)\\\end{aligned}}$

数据

为了正确定义复平面中极点的可接受区域，我们需要以下数据

• 矩阵 $A$，$B$，$A_{i}$，$B_{i}$
• 上升时间 ($t_{r}$)
• 稳定时间 ($t_{s}$)
• 超调百分比 ($M_{p}$)

有了这些信息，我们现在可以开始制定优化问题。

优化问题

利用上述数据，我们可以定义优化问题。为了实现这一点，我们首先需要使用以下不等式约束来定义复平面上极点可以位于的接受区域

上升时间：$\omega _{n}{\leq }{1.8 \over t_{r}}$

稳定时间：$\sigma {\leq }{-4.6 \over t_{s}}$

超调百分比：$\sigma {\leq }{-ln({M_{p}}) \over {\pi }}|{\omega _{d}}|$

假设 $z$ 是复极点位置，那么

${\begin{aligned}{\omega _{n}}^{2}=\|z\|^{2}&=z^{*}z\\{\omega _{d}}=Im{z}&={(z-z^{*}) \over 2}\\{\sigma }=Re{z}&={(z+z^{*}) \over 2}\end{aligned}}$

这让我们可以修改不等式约束为

上升时间：$z^{*}z-{1.8^{2} \over {t_{r}}^{2}}{\leq }0$

稳定时间: ${(z+z^{*}) \over 2}+{4.6 \over t_{s}}{\leq }0$

超调百分比: $z-z^{*}+{{\pi } \over ln({M_{p}})}|z+z^{*}|{\leq }0$

不仅可以将复极点位置与不等式约束之间的关系映射出来，而且还可以很容易地为这个问题制定我们的LMI。

LMI: 二次D稳定化LMI

假设存在 $X>0$ 和 $Z$ 使得

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}-rP&&AP+BZ\\(AP+BZ)^{T}&&-rP\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&&A_{i}P+B_{i}Z\\(A_{i}P+B_{i}Z)^{T}&&0\end{bmatrix}}<0\\AP+BZ+(AP+BZ)^{T}+A_{i}P+B_{i}Z+(A_{i}P+B_{i}Z)^{T}+2\alpha P&<0,and\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}AP+BZ+(AP+BZ)^{T}&&c(AP+BZ-(AP+BZ)^{T})\\c((AP+BZ)^{T}-(AP+BZ))&&AP+BZ+(AP+BZ)^{T}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}A_{i}P+B_{i}Z+(A_{i}P+B_{i}Z)^{T}&&c(A_{i}P+B_{i}Z-(A_{i}P+B_{i}Z)^{T})\\c((A_{i}P+B_{i}Z)^{T}-(A_{i}P+B_{i}Z))&&A_{i}P+B_{i}Z+(A_{i}P+B_{i}Z)^{T}\end{bmatrix}}<0\\\end{aligned}}$

对于 $i=1,...,k$

结论

给定得到的控制器 $K=ZP^{-1}$，我们现在可以确定 $A(\Delta )+B(\Delta )K$ 的极点位置 $z\in \mathbb {C}$ 满足不等式约束 $|x|{\leq }r$，$Re(x){\leq }-{\alpha }$ 和 $z+z^{*}{\leq }-c|z-z^{*}|$，对于所有 $\,\Delta \,\in \,C_{0}(\Delta _{1},...,\Delta _{k})$

实现

此 LMI 的实现需要 Yalmip 和 Sedumi https://github.com/JalpeshBhadra/LMI/blob/master/quadraticDstabilization.m

相关 LMI

• 连续时间 D 稳定观测器 - 连续时间观测器的等效 D 稳定 LMI。

外部链接

• 最优和鲁棒控制中的 LMI 方法 - 马修·皮特的关于控制中 LMI 的课程。
• 系统、稳定性和控制理论中的 LMI 属性和应用 - 瑞安·卡弗里和詹姆斯·福布斯的 LMI 列表。
• 系统和控制理论中的 LMI - 斯蒂芬·博伊德关于 LMI 的可下载书籍。