控制中的 LMI / 点击此处继续 / 控制器合成 / 二次 Schur 稳定化

二次 Schur 稳定化的 LMI

如果离散时间系统的特征方程的所有根都在单位圆内，则该系统被称为稳定。这为具有多面体不确定性的离散时间线性系统提供了稳定性条件，具有此属性的线性时不变系统被称为 Schur 稳定系统。

系统

考虑离散时间系统

${\begin{aligned}x_{k+1}=Ax_{k}+Bu_{k},\\\end{aligned}}$

其中 $x_{k}\in \mathbb {R} ^{n}$，$u_{k}\in \mathbb {R} ^{m}$，在任何 $t\in \mathbb {R}$。
系统包含以下形式的不确定性

${\begin{aligned}\Delta _{A(t)}=A_{1}\delta _{1}(t)+....+A_{k}\delta _{k}(t)\\\Delta _{B(t)}=B_{1}\delta _{1}(t)+....+B_{k}\delta _{k}(t)\\\end{aligned}}$

其中 $x\in \mathbb {R} ^{m}$，$u\in \mathbb {R} ^{n}$，$A\in \mathbb {R} ^{mxm}$ 和 $B\in \mathbb {R} ^{mxn}$

数据

此 LMI 所需的矩阵为 $A$，$\Delta _{A(t)}\,ie\,A_{i}$，$B$ 和 $\Delta _{B(t)}\,ie\,B_{i}$

LMI

存在一些 X > 0 和 Z 使得

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}X&&AX+BZ\\(AX+BZ)^{T}&&X\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&&A_{i}X+B_{i}Z\\(A_{i}X+B_{i}Z)^{T}&&0\end{bmatrix}}>0\quad i=1,......,k\end{aligned}}$

优化问题

优化问题是找到一个矩阵 ${\begin{aligned}K\in \mathbb {R} ^{r\times n}\end{aligned}}$ 使得

${\begin{aligned}||A+BK||_{2}<\gamma \end{aligned}}$

根据矩阵谱范数的定义，该条件等价于

${\begin{aligned}(A+BK)^{T}(A+BK)<\gamma ^{2}I\end{aligned}}$

利用 控制系统分析、设计与应用中的 LMI (第 14 页) 中的引理 1.2，上述不等式可以转换为

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}-\gamma I&(A+BK)\\(A+BK)^{T}&-\gamma I\end{bmatrix}}<0\\\end{aligned}}$

结论

控制器增益矩阵提取为 $F=ZX^{-1}$
$u_{k}=Fx_{k}$

${\begin{aligned}x_{k+1}=Ax_{k}+Bu_{k},\\\quad \quad \quad =Ax_{k}+BFx_{k}\\\quad \quad =(A+BF)x_{k}\end{aligned}}$

因此，闭环系统 (A+BK) 的轨迹对于任何 $\,\Delta \,\in \,C_{0}(\Delta _{1},...,\Delta _{k})$ 都是稳定的。

实现

https://github.com/JalpeshBhadra/LMI/blob/master/quadratic_schur_stabilization.m

相关 LMI

舒尔补
舒尔稳定化

外部链接

• 最佳与鲁棒控制中的 LMI 方法 - Matthew Peet 关于 LMI 控制的课程。
• LMI 在系统、稳定性和控制理论中的性质和应用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 关于 LMI 的列表。
• 系统与控制理论中的 LMI - Stephen Boyd 关于 LMI 的可下载书籍。
• 控制系统分析、设计与应用中的 LMI