控制中的 LMI / 点击此处继续 / 控制器合成 / 二次稳定性

系统

TS 模糊模型允许将非线性模型表示为一组局部 LTI（线性时不变）模型 $[1,p.10]$ ，每个子系统都称为子系统。子系统是在前提变量空间 $z(t)$ = $[z1(t)z2(t)...zp(t)]$ 的系统局部表示，这些变量是已知的，并且可能取决于状态变量和输入变量。

优化问题

考虑一个自治系统 $x$ = $Ax$ ，其中 $A$ 是一个常数矩阵。如果我们定义 Lyapunov 函数 $V(x)$ = $x^{T}Px$ ，则如果存在 $P>0$ 使得条件满足，则系统稳定。

$A^{T}P+PA<0$

如果我们有一系列矩阵 $A(\delta (t))$ （其中 $\delta (t)$ 是一个受多面体 ∆ 限制的参数）而不是单个矩阵 A，那么系统方程变为 $x$ = $A(\delta (t))x$ ，并且条件应该对 $\delta (t)$ 的所有可能值都满足。如果存在 $P>0$ 使得以下条件满足，那么该系统是二次稳定的。

$A(\delta (t))^{T}P+PA(\delta (t))<0$ ∀ $\delta (t)$ ∈ ∆.

由于存在无限多个矩阵 A(δ(t))，因此也存在无限多个类似于之前提到的二次稳定性约束，这些约束应该得到满足。从实际角度来看，这使得问题无法解决。现在考虑系统 $x=A(\delta (t))x$ 可以写成多面体形式，作为具有前提变量 $z(t)$ 和一组 r 个子系统 $Ai$ 的 Takagi-Sugeno (TS) 多面体系统，其中 $i={1,...,r}$ .

$x(t)=\sum _{i=1}^{r}(h_{i}(z(t))A_{i}x(t)$ .

可以证明，如果先前条件在多面体的顶点（子系统）中满足，则多面体自治系统是二次稳定的。因此，无需检查无限多个矩阵的稳定性，而只需要检查子系统矩阵 $A_{i}$ .

$A_{i}^{T}P+PAi<0$ ∀i = 1, . . . , r.

稳定性条件可以应用于闭环系统，并得到以下条件集。

$G_{ii}^{T}P+PG_{ii}<0$ ∀i = 1, . . . , r.

$((G_{ij}+G_{ji})/2)^{T}P+P((G_{ij}+G_{ji})/2)<=0$ ∀i, j ∈ {1, . . . , r}, i < j.

其中 $G_{ij}=A_{i}+B_{i}K_{j}$ 且 $hi(z(t))hj(z(t))\neq 0$ .

在 Bi 矩阵为常数的特殊情况下（即 $B_{i}=B$ ），第一组不等式足以证明稳定性。因此，假设所有子系统的 B 恒定，如果存在 P > 0 使得条件得到满足，则具有状态反馈控制的多面体 TS 模型 (2.2) 在多面体内是二次稳定的。

$(A_{i}+BK_{i})^{T}P+P(A_{i}+BK_{i})<0$ ∀i = 1, . . . , r.

可以通过对输入进行预滤波来实现常数 B 的假设。此更改并非限制性更改，主要结果是在 TS 模型中添加了一些新的状态变量（来自滤波器的状态变量）。

LMI

稳定闭环系统的控制器设计归结为求解线性矩阵不等式（LMI）问题，即寻找一个正定矩阵 P 和一组矩阵 $K_{i}$ 使条件满足。但是，由于约束条件应该是未知变量的线性组合，因此应用以下变量变化： $W_{i}=K_{i}Q$ ，其中 $Q=P^{-}1$ 。LMI 问题的解是一组矩阵 $W_{i}$ 使条件满足。