控制中的LMI/点击此处继续/控制器综合/静态状态反馈问题

控制中的LMI/点击此处继续/控制器综合/静态状态反馈问题
我们正在尝试稳定静态状态反馈问题

系统

考虑一个连续时间线性时不变系统

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)\\\end{aligned}}$

数据

$A,B$ 是已知矩阵

优化问题

该问题的主要目标是找到一个反馈矩阵，使得系统

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)\\\end{aligned}}$

和

${\begin{aligned}u(t)=Kx(t)\\\end{aligned}}$

是稳定的。首先我们找到 $K$ 矩阵，使得 $(A+BK)$ 是Hurwitz。

LMI：静态状态反馈问题

现在可以将这个问题公式化为一个LMI，如问题1

$X(A+BK)+(A+BK)^{T}X<0$

从上面的等式中，$X>0$，我们需要找到K

我们可以看到，这个问题在$K,X$ 中是双线性的

• X 和 K 的双线性是一个常见的模式
• 双线性优化不是凸的。为了使问题凸化，我们使用变量变换。

问题2

$AP+BZ+PA^{T}+Z^{T}B^{T}<0$

其中 $P>0$，我们找到 $Z$
$K=ZP^{-1}$

问题1 等价于问题2

结论

如果 (A,B) 是可控的，我们可以获得一个稳定系统的控制器矩阵。

实现

Github 存储库中有关此问题简单实现的 Matlab 代码链接

https://github.com/yashgvd/ygovada

相关LMI

Hurwitz 稳定性

外部链接

• [1] - LMI 在控制系统分析、设计和应用中的应用
• LMI 在最优和鲁棒控制中的方法 - Matthew Peet 关于 LMI 在控制中的课程。
• LMI 属性及其在系统、稳定性和控制理论中的应用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 编写的 LMI 列表。
• [2] - Mathworks 关于直流增益的参考