控制中的 LMI / 点击此处继续 / 最优控制系统 / 离散时间 H2 最优观测器

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在许多应用中，也许甚至在大多数应用中，系统的状态无法直接知道。在这种情况下，您需要战略性地测量关键的系统输出，以使系统状态间接可观察。为了使估计值准确，观测器需要比系统动力学快得多地收敛。因此，最优观测器综合是有利的。在这个 LMI 中，我们寻求优化 H2 范数，从概念上讲，它是最小化观测器误差的平均幅度。

系统

${\begin{aligned}x_{k+1}&=A_{d}x_{k}+B_{d1}w_{k},\\y_{k}&=C_{c2}x_{k}+D_{d21}w_{k}\\\end{aligned}}$

其中 $x\in R^{n}$ 是状态向量，$A\in R^{n\times n}$ 是状态矩阵，$B\in R^{n\times r}$ 是输入矩阵，$w\in R^{r}$ 是外生输入，$C\in R^{m\times n}$ 是输出矩阵，$D\in R^{m\times r}$ 是直通矩阵，$y\in R^{m}$ 是输出，并且假设 $(A_{d},C_{d2})$ 是可检测的。

数据

矩阵 $A_{d},B_{d1},C_{cd2},C_{cd1},D_{d21}$.

优化问题

形式的观察者

${\begin{aligned}{\hat {x}}_{k+1}&=A_{d}{\hat {x}}_{k}+L_{d}(y_{k}-{\hat {y}}_{k}),\\{\hat {y}}_{k}&=C_{d2}{\hat {x}}_{k}\\\end{aligned}}$

需要设计，其中 $L_{d}\in R^{n_{x}\times n_{y}}$ 是观测器增益。

定义误差状态 $e_{k}=x_{k}-{\hat {x}}_{k}$，可以发现误差动力学为

$e_{k+1}=(A_{d}-L_{d}C_{d2}e_{k}+(B_{d1}-L_{d}D_{d21})w_{k}$,

性能输出定义为

$z_{k}=C_{d1}e_{k}$.

观测器增益 $L_{d}$ 需要设计，以使从 $w_{k}$ 到 $z_{k}$ 的传递矩阵的 $H_{2}$ 最小化，该传递矩阵由下式给出

$L_{d}{\begin{aligned}T(z)&=C_{d1}(z1-(A_{d}-L_{d}C_{d2}))^{-1}(B_{d1}-L_{d}D_{d21}),\\\end{aligned}}$

被最小化。

LMI： 离散时间 H2 最优观测器

离散时间 $H_{2}$-最优观测器增益可以通过求解 $P\in S^{n_{x}}$, $Z\in S^{n_{z}}$, $G_{d}\in R^{n_{x}\times n_{y}}$ 和 $v\in R_{>0}$ 来最小化 $J(v)=v$ ，受制于 $P>0,Z>0$ 。

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}P&PA_{d}-G_{d}C_{d2}&PB_{d1}-G_{d}D_{d21}\\*&P&0\\*&*&1\end{bmatrix}}&>0,\\{\begin{bmatrix}Z&PC_{d1}\\*&P\end{bmatrix}}&>0,\\\operatorname {tr} Z<v\end{aligned}}$

其中 $\operatorname {tr}$ 表示矩阵的迹。

结论

通过 $L_{d}=P^{-1}G_{d}$ 可以得到 $H_{2}$-最优观测器增益， $T(z)$ 的 $H_{2}$ 范数为 $\mu ={\sqrt {v}}$ 。 $L_{d}$ 矩阵是用于构建最优观测器的观测器增益。

${\begin{aligned}{\hat {x}}_{k+1}&=A_{d}{\hat {x}}_{k}+L_{d}(y_{k}-{\hat {y}}_{k}),\\{\hat {y}}_{k}&=C_{d2}{\hat {x}}_{k}\\\end{aligned}}$

实现

该实现需要 Yalmip 和 Sedumi。

https://github.com/rezajamesahmed/LMImatlabcode/blob/master/Discrete_Time_H2_Optimal_Observer_LMIs_Wikibook_Example.m

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外部链接

此 LMI 来自 Ryan Caverly 的 LMI 文本 (第 5.1.2 节)

• LMI 属性及其在系统、稳定性和控制理论中的应用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 编写的 LMI 列表。

其他资源

• LMI 在最优和鲁棒控制中的方法 - Matthew Peet 编写的关于 LMI 在控制中的课程。
• 系统与控制理论中的 LMI - Stephen Boyd 编写的关于 LMI 的可下载书籍。