控制中的LMI/点击此处继续/最优控制系统/离散时间Hinf最优观测器

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在许多应用中，甚至大多数应用中，系统的状态无法直接知道。在这种情况下，您需要策略性地测量关键的系统输出，以便使系统状态间接可观察。为了使估计准确，观测器需要比系统动力学快得多地收敛。因此，最优观测器合成是有利的。在这个LMI中，我们试图优化H-无穷范数，从概念上来说，就是最小化观测器误差的最大幅度。

系统

此LMI所需的系统是离散时间LTI工厂 $G$，它具有状态空间实现

${\begin{aligned}x_{k+1}&=A_{d}x_{k}+B_{d1}w_{k},\\y_{k}&=C_{d2}x_{k}+D_{d21}w_{k}\\\end{aligned}}$

其中 $x\in R^{n}$ 是状态向量，$A\in R^{n*n}$ 是状态矩阵，$B\in R^{n*r}$ 是输入矩阵，$w\in R^{r}$ 是外源输入，$C\in R^{m*n}$ 是输出矩阵，$D\in R^{m*r}$ 是直通矩阵，$y\in R^{m}$ 是输出，并且假设 $(A_{d},C_{d2})$ 是可检测的。

数据

矩阵 $A_{d},B_{d1},C_{d2},D_{d21},D_{d11}$.

优化问题

形式为

${\begin{aligned}{\hat {x}}_{k+1}&=A_{d}{\hat {x}}_{k}+L_{d}(y_{k}-{\hat {y}}_{k}),\\{\hat {y}}_{k}&=C_{d2}{\hat {x}}_{k}\\\end{aligned}}$

需要设计，其中 $L_{d}\in R^{n_{x}*n_{y}}$ 是观测器增益。

定义误差状态 $e_{k}=x_{k}-{\hat {x}}_{k}$，误差动力学被发现为

$e_{k+1}=(A_{d}-L_{d}C_{d2})e_{k}+(B_{d1}-L_{d}D_{d21})w_{k}$,

性能输出定义为

$z_{k}=C_{d1}e_{k}+D_{d11}w_{k}$.

观测器增益 $L_{d}$ 的设计应使 $H_{inf}$ 从 $w_{k}$ 到 $z_{k}$ 的传递矩阵，由

${\begin{aligned}T(z)&=C_{d1}(z1-(A_{d}-L_{d}C_{d2}))^{-1}(B_{d1}-L_{d}D_{d21})+D_{d11},\\\end{aligned}}$

最小化。

LMI: 离散时间 Hinf 最优观测器

离散时间 $H_{inf}$-最优观测器增益可以通过求解 $P\in S^{n_{x}}$，$G_{d}\in R^{n_{x}*n_{y}}$ 和 $\gamma \in R_{>0}$ 来最小化 J$(\gamma )=\gamma$，受限于 $P>0$ ，以及

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}P&PA_{d}-G_{d}C_{d2}&PB_{d1}-G_{d}D_{d21}&0\\*&P&0&C_{d1}^{T}\\*&*&\gamma *1&D_{d11}^{T}\\*&*&*&\gamma *1\end{bmatrix}}&>0.\\\end{aligned}}$

结论

该 $H_{inf}$-最优观测器增益可以通过 $L_{d}=P^{-1}G_{d}$ 恢复，并且 $H_{inf}$ 范数为 $T(z)$ 是 $\gamma$。然后，可以使用此观测器增益矩阵来构造最优观测器，该观测器由以下公式给出：

${\begin{aligned}{\hat {x}}_{k+1}&=A_{d}{\hat {x}}_{k}+L_{d}(y_{k}-{\hat {y}}_{k}),\\{\hat {y}}_{k}&=C_{d2}{\hat {x}}_{k}\\\end{aligned}}$

实现

此实现需要 Yalmip 和 Sedumi。

https://github.com/rezajamesahmed/LMImatlabcode/blob/master/Hinfobsdiscretetime.m

相关 LMI

混合 H2-Hinfinity 离散时间观测器

Discrete-Time_H2-Optimal_Observer

外部链接

此 LMI 来自 Ryan Caverly 的 LMI 文本（第 5.2.2 节）

• LMI 在系统、稳定性和控制理论中的性质和应用 - 由 Ryan Caverly 和 James Forbes 编写的 LMI 列表。

其他资源

• 最优控制和鲁棒控制中的 LMI 方法 - Matthew Peet 编写的关于 LMI 控制的课程。
• 系统和控制理论中的 LMI - 由 Stephen Boyd 编写的关于 LMI 的可下载书籍。