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鲁棒H₂最优状态反馈综合

对于具有不确定状态参数的系统，需要鲁棒控制器。H₂最优控制在最小能量应用中是理想的。

系统

系统的静态公式如下所示

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)=A(\delta )x(t)+B(\delta )u(t)\\y(t)=C(\delta )x(t)+D(\delta )u(t)\end{aligned}}$

其中$x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$是状态，$u(t)\in \mathbb {R} ^{m}$是在任何$t\in \mathbb {R}$时的输入。

$A(\delta )$，$B(\delta )$，$C(\delta )$和$D(\delta )$是具有方差$\delta \in \Delta$的有理矩阵。

数据

状态矩阵定义为

$A(\delta )=A(\delta )$,

$B(\delta )={\begin{bmatrix}B_{1}(\delta )&B_{2}(\delta )\end{bmatrix}}$

$C(\delta )={\begin{bmatrix}C_{1}(\delta )\\C_{2}(\delta )\end{bmatrix}}$

$D(\delta )={\begin{bmatrix}D_{11}(\delta )&D_{12}(\delta )\\D_{21}(\delta )&D_{22}(\delta )\end{bmatrix}}$

LMI：H₂最优状态反馈综合

假设${\hat {P}}(s,\delta )=C(\delta )(sI-A(\delta ))^{-}$$^{1}B(\delta )$。则以下等价

1. $\left\vert \left\vert S(K(\delta ),P(\delta ))\right\vert \right\vert$_{$H_{2}$} $<\gamma$ 对于所有$\delta \in \Delta$。

2. $K(\delta )=Z(\delta )X(\delta )^{-}$$^{1}$ 对于某些$Z(\delta )$ 和$X(\delta )$ 使得$X(\delta )>0$ 对于所有$\delta \in \Delta$，并且

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}A(\delta )&B_{2}(\delta )\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X(\delta )\\Z(\delta )\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}X(\delta )&Z(\delta )^{T}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A(\delta )^{T}\\B(\delta )_{2}^{T}\end{bmatrix}}+B_{1}(\delta )B_{1}(\delta )^{T}<0\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}X(\delta )&(C_{1}(\delta )X(\delta )+D_{12}(\delta )Z(\delta ))^{T}\\C_{1}(\delta )X(\delta )+D_{12}(\delta )Z(\delta )&W(\delta )\end{bmatrix}}>0\end{aligned}}$

$Trace(W(\delta ))<\gamma ^{2}$

对于所有 $\delta \in \Delta$

结论

上述方法可用于寻找具有不确定参数的系统的H₂最优鲁棒状态反馈控制器。

实现

此实现需要Yalmip和Sedumi。

H₂最优状态反馈综合

相关LMI

完整状态反馈最优H_inf LMI

外部链接

• 最优与鲁棒控制中的LMI方法 - 马修·皮特的关于控制中LMI的课程。
• 系统、稳定性和控制理论中的LMI性质和应用 - 瑞安·卡弗利和詹姆斯·福布斯的LMI列表。
• 系统与控制理论中的LMI - 斯蒂芬·博伊德关于LMI的可下载书籍。
• 控制系统中的LMI：分析、设计与应用 - 段广仁和于海华著，CRC出版社，泰勒与弗朗西斯集团，2013年。

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控制中的LMI： https://wikibooks.cn/wiki/LMIs_in_Control