控制中的 LMI / D 稳定性 / 控制器 D 稳定性

在一些控制问题中，人们仍然感兴趣的是设计一个控制器，其极点位于复平面的特定区域，也称为 D 稳定性。

系统

假设我们得到了一个连续时间系统

{\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t)\\y(t)&=Cx(t)+Du(t)\end{aligned}}

其稳定性未知。那么，可以通过控制器 $u(t)=Kx(t)$ 来实现同时稳定上述系统并确保极点位于期望位置的控制器。

为了正确定义复平面上极点可接受的区域，我们需要以下数据

拥有这些信息将有助于我们制定优化问题。

使用上面给出的数据，我们现在可以定义我们的优化问题。为了做到这一点，我们必须首先使用以下不等式约束定义复平面上极点可以位于的区域。

上升时间： $\omega _{n}{\leq }{1.8 \over t_{r}}$

稳定时间： $\sigma {\leq }{-4.6 \over t_{s}}$

超调百分比： $\sigma {\leq }{-ln({M_{p}}) \over {\pi }}|{\omega _{d}}|$

假设 $z$ 是复数极点位置，那么

{\begin{aligned}{\omega _{n}}^{2}=\|z\|^{2}&=z^{*}z\\{\omega _{d}}=Im{z}&={(z-z^{*}) \over 2}\\{\sigma }=Re{z}&={(z+z^{*}) \over 2}\end{aligned}}

这样我们就可以修改不等式约束为

上升时间: $z^{*}z-{1.8^{2} \over {t_{r}}^{2}}{\leq }0$

稳定时间: ${(z+z^{*}) \over 2}+{4.6 \over t_{s}}{\leq }0$

超调百分比: $z-z^{*}+{{\pi } \over ln({M_{p}})}|z+z^{*}|{\leq }0$

考虑到以上不等式，我们观察到以下情况

假设现在存在一个对称矩阵 $X>0$ 和矩阵 $Z$ ，我们可以使用以下 LMI 来确定控制器

{\begin{aligned}{\begin{bmatrix}-rP&&AP+BZ\\(AP+BZ)^{T}&&-rP\end{bmatrix}}&<0\\AP+BZ+(AP+BZ)^{T}+2\alpha P&<0,and\\{\begin{bmatrix}AP+BZ+(AP+BZ)^{T}&&c(AP+BZ-(AP+BZ)^{T})\\c((AP+BZ)^{T}-(AP+BZ))&&AP+BZ+(AP+BZ)^{T}\end{bmatrix}}&<0\end{aligned}}

其中得到的控制器矩阵为 $K=ZP^{-1}$ .

给定得到的控制器 $K$ ，我们现在可以确定 $A+BK$ 的极点位置 $z\in \mathbb {C}$ 满足不等式约束 $|x|{\leq }r$ ， $Re(x){\leq }-{\alpha }$ 以及 $z+z^{*}{\leq }-c|z-z^{*}|$ .