控制中的LMI / 页面 / 连续时间D稳定控制器

连续时间D稳定控制器

在一些控制问题中，人们仍然对设计一个控制器感兴趣，该控制器可以将极点定位在复平面的特定区域，同时确保控制器稳定。一种可以实现此目标的方法称为D稳定性。

系统

假设我们给出了一个连续时间系统

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t)\\y(t)&=Cx(t)+Du(t)\end{aligned}}$

其稳定性尚不清楚，其中 $A\in \mathbb {R} ^{mxm}$, $B\in \mathbb {R} ^{mxn}$, $C\in \mathbb {R} ^{pxm}$, 和 $D\in \mathbb {R} ^{qxn}$ 对于任何 $t\in \mathbb {R}$. 然后，可以通过控制器 $u(t)=Kx(t)$ 来实现同时稳定上述系统并确保极点位于其所需位置的控制器。

数据

为了正确定义复平面上极点的可接受区域，我们需要以下数据

• 矩阵 $A$, $B$, $C$, $D$
• 上升时间 ($t_{r}$)
• 稳定时间 ($t_{s}$)
• 超调百分比 ($M_{p}$)

有了这些信息，我们就可以开始构建优化问题。

优化问题

利用以上数据，我们可以定义优化问题。为了实现这一点，我们首先需要使用以下不等式约束定义复平面上极点可以落入的允许区域。

上升时间: $\omega _{n}{\leq }{1.8 \over t_{r}}$

稳定时间: $\sigma {\leq }{-4.6 \over t_{s}}$

超调百分比: $\sigma {\leq }{-ln({M_{p}}) \over {\pi }}|{\omega _{d}}|$

假设 $z$ 是复数极点位置，那么

${\begin{aligned}{\omega _{n}}^{2}=\|z\|^{2}&=z^{*}z\\{\omega _{d}}=Im{z}&={(z-z^{*}) \over 2}\\{\sigma }=Re{z}&={(z+z^{*}) \over 2}\end{aligned}}$

这使我们能够修改不等式约束，如下所示：

上升时间: $z^{*}z-{1.8^{2} \over {t_{r}}^{2}}{\leq }0$

稳定时间: ${(z+z^{*}) \over 2}+{4.6 \over t_{s}}{\leq }0$

超调百分比: $z-z^{*}+{{\pi } \over ln({M_{p}})}|z+z^{*}|{\leq }0$

这不仅使我们能够映射复数极点位置和不等式约束之间的关系，而且还使我们能够轻松地为这个问题构建 LMI。

LMI： 连续时间控制器 D 稳定性

牢记以上不等式，我们观察到以下内容：

假设现在存在一个对称矩阵 $P>0$ 和矩阵 $Z$，我们现在可以使用以下 LMI 来确定控制器：

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}-rP&&AP+BZ\\(AP+BZ)^{T}&&-rP\end{bmatrix}}&<0\\AP+BZ+(AP+BZ)^{T}+2\alpha P&<0,and\\{\begin{bmatrix}AP+BZ+(AP+BZ)^{T}&&c(AP+BZ-(AP+BZ)^{T})\\c((AP+BZ)^{T}-(AP+BZ))&&AP+BZ+(AP+BZ)^{T}\end{bmatrix}}&<0\end{aligned}}$

结论

给定结果控制器 $K=ZP^{-1}$，我们现在可以确定 $A+BK$ 的极点位置 $z\in \mathbb {C}$ 满足不等式约束 $|x|{\leq }r$， $Re(x){\leq }-{\alpha }$ 以及 $z+z^{*}{\leq }-c|z-z^{*}|$。

实现

• 示例代码 - 一个 GitHub 链接，其中包含代码（名为“ControllerDStability.m”），演示了如何使用 MATLAB-YALMIP 实现此 LMI。

相关 LMI

• 连续时间 D 稳定性观测器 - 针对连续时间观测器的等效 D 稳定性 LMI。
• D 稳定化 - 用于 $\mathbb {D} _{(q,r)}$ 稳定化的 LMI。

外部链接

• 最优鲁棒控制中的 LMI 方法 - 马修·皮特的关于 LMI 在控制中的课程。
• LMI 属性及其在系统、稳定性和控制理论中的应用 - 瑞安·卡弗利和詹姆斯·福布斯关于 LMI 的列表。
• 系统和控制理论中的 LMI - 史蒂芬·博伊德关于 LMI 的可下载书籍。