控制中的LMI/pages/离散时间混合H2 Hinf 最优观测器

在许多应用中，也许甚至是最多的应用中，系统的状态无法直接得知。在这种情况下，您需要策略性地测量关键的系统输出，以便间接地观察系统状态。为了使观测器的估计准确，观测器需要比系统动力学更快地收敛。因此，最优观测器合成是有优势的。在这个LMI中，我们寻求优化H2和Hinf范数，以最小化观测器的平均误差和最大误差。

系统

{\begin{aligned}x_{k+1}&=A_{d}x_{k}+B_{d1,1}w_{1,k}+B_{d1,2}w_{2,k},\\y_{k}&=C_{c2}x_{k}+D_{d21,1}w_{1,k}+D_{d21,2}w_{2,k}\\\end{aligned}}

其中 $x\in R^{n}$ 是状态向量， $A\in R^{n*n}$ 是状态矩阵， $B\in R^{n*r}$ 是输入矩阵， $w\in R^{r}$ 是外生输入， $C\in R^{m*n}$ 是输出矩阵， $D\in R^{m*r}$ 是直通矩阵， $y\in R^{m}$ 是输出，并假设 $(A_{d},C_{d2})$ 是可检测的。

 $A\in R^{n*n}$

数据

矩阵 $A_{d},B_{d1},C_{cd2},C_{cd1},D_{d21}$ .

优化问题

一个形式为

{\begin{aligned}{\hat {x}}_{k+1}&=A_{d}{\hat {x}}_{k}+L_{d}(y_{k}-{\hat {y}}_{k}),\\{\hat {y}}_{k}&=C_{d2}{\hat {x}}_{k}\\\end{aligned}}

需要设计，其中 $L_{d}\in R^{n_{x}*n_{y}}$ 是观测器增益。

定义误差状态 $e_{k}=x_{k}-{\hat {x}}_{k}$ ，可以发现误差动态为

$e_{k+1}=(A_{d}-L_{d}C_{d2})e_{k}+(B_{d1,1}-L_{d}D_{d21,1})w_{1,k}+(B_{d1,2}-L_{d}D_{d21,2})w_{2,k}$ ,

性能输出定义为

${\begin{bmatrix}Z_{1,k}\\Z_{2,k}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{d1,1}\\C_{d1,2}\end{bmatrix}}e_{k}+{\begin{bmatrix}0&D_{d11,12}\\D_{d11,21}&D_{d11,22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w_{1,k}\\w_{2,k}\end{bmatrix}}$ .

观测器增益 $L_{d}$ 的设计目标是使闭环传递矩阵 $T_{11}(z)$ 的 $H_{2}$ 范数最小，从外源输入 $w_{2,k}$ 到性能输出 $z_{2,k}$ 的传递函数小于 $\gamma _{d}$ ，其中

${\begin{aligned}T_{11}(z)&=C_{d1,1}(z1-(A_{d}-L_{d}C_{d2}))^{-1}(B_{d1,1}-L_{d}D_{d21,1}),\\T_{22}(z)&=C_{d1,2}(z1-(A_{d}-L_{d}C_{d2}))^{-1}(B_{d1,2}-L_{d}D_{d21,2})+D_{d11,22}\end{aligned}}$

LMI：离散时间混合 $H_{2}H_{inf}$ -最优观测器增益

离散时间混合- $H_{2}H_{inf}$ -最优观测器增益可以通过求解 $P\in S^{n_{x}}$ ， $Z\in S^{n_{z}}$ ， $G_{d}\in R^{n_{x}*n_{y}}$ 和 $v\in R_{>0}$ 来最小化 J $(v)=v$ ，在满足以下约束条件下：

{\begin{aligned}{\begin{bmatrix}P&PA_{d}-G_{d}C_{d2}&PB_{d1,1}-G_{d}D_{d21,1}\\*&P&0\\*&*&1\end{bmatrix}}&>0,\\{\begin{bmatrix}P&PA_{d}-G_{d}C_{d2}&PB_{d1,2}-G_{d}D_{d21,2}&0\\*&P&0&C_{d1,2}^{T}\\*&*&\gamma _{d}1&D_{d11,22}^{T}\\*&*&*&\gamma _{d}1\end{bmatrix}}&>0,\\{\begin{bmatrix}Z&PC_{d1,1}\\*&P\end{bmatrix}}&>0,\\trZ<v\end{aligned}}

其中 $tr$ 表示矩阵的迹。

结论

混合 $H_{2}H_{inf}$ -最优观测器增益可以通过 $L_{d}=P^{-1}G_{d}$ 来恢复， $H_{2}$ 范数 $T_{11}(z)$ 小于 $\mu ={\sqrt {v}}$ ， $H_{inf}$ 范数 $T_{22}(z)$ 小于 $\gamma _{d}$ 。这个结果为我们提供了观测器增益矩阵 $L_{d}$ ，使我们能够通过以下方式间接地最优地观察系统状态：