控制中的 LMI / 页面 / H2 磁盘区域

具有最小 $H_{2}$ 增益的不敏感磁盘区域设计

除了针对 具有最小 $H_{2}$ 增益的不敏感带状区域 的设计之外，另一种此类设计是不敏感磁盘区域设计。在本节中，将提供优化问题，以确保满足不敏感磁盘区域设计条件，同时对 $H_{2}$ 闭环系统的增益进行一定约束。

系统

如下所示的线性系统的状态空间表示

${\begin{aligned}\rho x&=Ax+Bu\\y&=Cx\end{aligned}}$

其中 $x\in \mathbb {R} ^{n}$、$y\in \mathbb {R} ^{m}$ 和 $u\in \mathbb {R} ^{r}$ 分别是系统状态、输出和输入向量。 $\rho$ 表示连续时间系统的微分运算，或离散时间情况下的单步前移算子。

数据

要解决设计优化问题，需要线性系统矩阵 *A、B、C*。此外，要定义特征值空间上的磁盘区域，还需要其半径 $\gamma _{0}$。

优化问题

设计一个导致闭环系统对特定磁盘区域不敏感的 $H_{2}$ 最佳控制器的问题涉及两个子问题

• 找到一个控制增益 $K$ 使得：$\left\|K\right\|_{2}<\gamma$.
• 闭环系统的不敏感磁盘区域设计条件如 *不敏感磁盘区域设计* 部分所述得到满足。
• 优化目标是最小化 $\gamma$，使得上述两个条件都成立。

LMI： $H_{2}$ 用于不敏感磁盘区域的最佳控制设计

上述问题只有在以下优化问题有解时才存在解 $(K,\gamma )$

${\begin{aligned}{\text{min }}&\gamma \\{\text{s.t. }}&{\begin{bmatrix}-\gamma I&K\\K^{\top }&-\gamma I\end{bmatrix}}<0\\&{\begin{bmatrix}-\gamma _{0}I&A+BKC+qI\\(A+BKC+qI)^{\top }&-\gamma _{0}I\end{bmatrix}}<0\end{aligned}}$

结论

通过使用此处提供的设计问题，一个最佳的 $H_{2}$ 控制器被设计用于使闭环系统对系统矩阵的扰动具有鲁棒性。

实现

为了解决此处提出的LMI优化问题，需要YALMIP工具箱来设置可行性问题，并且需要SeDuMi来解决问题。以下链接展示了可行性问题的示例

https://github.com/smhassaan/LMI-Examples/blob/master/H2_Disk_example.m

相关LMI

不敏感圆盘区域设计

外部链接

一个记录和验证LMI的参考文献列表。

• 控制系统中的LMI：分析、设计和应用 - 由段广仁和于海华著，CRC出版社，泰勒与弗朗西斯集团，2013年，第10.1.2节，第323-325页。