控制中的 LMI/pages/不敏感磁盘区域设计

不敏感磁盘区域设计

与不敏感条带区域设计问题类似，不敏感磁盘区域设计是另一种可以实现鲁棒稳定性的方法，其中闭环特征值被放置在复平面的特定区域，该区域具有一个内边界，该边界对系统参数矩阵的扰动不敏感。

系统

假设我们考虑以下需要控制的线性系统

${\begin{aligned}{\begin{cases}\rho x&=Ax+Bu,\\y&=Cx\\\end{cases}}\end{aligned}}$

其中 $x\in \mathbb {R} ^{n}$，$y\in \mathbb {R} ^{m}$ 和 $u\in \mathbb {R} ^{r}$ 分别是状态、输出和输入向量，$\rho$ 表示微分算子（在连续时间情况下）或一步向前移位算子（即，$\rho x(k)=x(k+1)$）（在离散时间情况下）。然后，获得不敏感条带区域设计 LMI 的步骤如下所示。

数据

在获得 LMI 之前，我们需要以下矩阵：$A$，$B$ 和 $C$。

优化问题

考虑上述线性系统以及 2 个正标量 $\gamma$ 和 $q$。然后输出反馈控制律 $u=Ky$ 将被设计成满足

${\begin{aligned}{\eta }&=||A+BKC+qI||<{\gamma }\\\end{aligned}}$

回想定义，我们有

${\begin{aligned}{\mathbb {D} _{q,\eta }}&=\{{s|s\in \mathbb {C} ,|s+q|<{\eta }}\}\\&=\{x+jy|x,y\in \mathbb {R} ,{(x+q)^{2}}+{y^{2}}<{\eta ^{2}}\}\\\end{aligned}}$

以及

${\begin{aligned}{\mathbb {D} _{q,r}}&=\{{s|s\in \mathbb {C} ,|s+q|<{\gamma }}\}\\&=\{x+jy|x,y\in \mathbb {R} ,{(x+q)^{2}}+{y^{2}}<{\gamma ^{2}}\}\\\end{aligned}}$

令 $K$ 是上述问题的解，那么

${\begin{aligned}{\lambda _{i}}(A+BKC)&\in {\mathbb {D} _{q,\eta }}\subset {\mathbb {D} _{q,r}},&i=1,2,...,n\\\end{aligned}}$

LMI： 不敏感条带区域设计

利用上述信息，我们可以将给定问题转化为LMI，使用舒尔补引理后，得到以下结果

${\begin{aligned}{\begin{cases}{\text{min }}\gamma \\{\text{s.t. }}{\begin{bmatrix}-{\gamma }I&&(A+BKC+qI)\\{(A+BKC+qI)^{T}}&&-{\gamma }I\end{bmatrix}}&<0\\\end{cases}}\end{aligned}}$

结论

对于舒尔稳定化，我们可以选择用 $q=0$ 来解决问题。当 ${\gamma }{\leq }1$ 时，可以实现舒尔稳定性。或者，如果 ${\gamma }$ 大于（但非常接近）1，那么当 ${\eta }=||A+BKC+qI||_{2}{\leq }1$ 时，也可以实现舒尔稳定性。

实现

• 示例代码 - 一个GitHub链接，其中包含代码（名为“InsensitiveDiskRegion.m”），演示了如何使用MATLAB-YALMIP实现此LMI。

相关LMI

• $H_{2}$ 圆盘区域设计 - 用于最小化$H_{2}$ 增益的圆盘区域设计的 LMI
• 不敏感条带区域设计 - 用于不敏感条带区域设计的等效 LMI

外部链接

记录和验证 LMI 的参考资料列表。

• 最优和鲁棒控制中的 LMI 方法 - Matthew Peet 关于控制中 LMI 的课程。
• 系统、稳定性和控制理论中的 LMI 属性和应用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 编写的 LMI 列表。
• 系统与控制理论中的 LMI - Stephen Boyd 编写的关于 LMI 的可下载书籍。
• LMI 在控制系统中的应用：分析、设计和应用 - 由段广仁和余海华合著的书籍。