控制中的LMI/页面/H2磁盘区域

具有最小$H_{2}$增益的不敏感磁盘区域设计

除了针对具有最小$H_{2}$增益的不敏感条带区域的设计之外，另一种此类设计是不敏感磁盘区域设计。在本节中，将提供优化问题，以确保满足不敏感磁盘区域设计的条件，并对闭环系统的$H_{2}$增益设置一些界限。

系统

如下所示线性系统的状态空间表示

${\begin{aligned}\rho x&=Ax+Bu\\y&=Cx\end{aligned}}$

其中$x\in \mathbb {R} ^{n}$，$y\in \mathbb {R} ^{m}$和$u\in \mathbb {R} ^{r}$分别是系统状态、输出和输入向量。$\rho$表示连续时间系统的微分运算，或离散时间情况下的单步前移算子。

数据

为了解决设计优化问题，需要线性系统矩阵A、B、C。此外，为了在特征值空间上定义磁盘区域，需要其半径$\gamma _{0}$。

优化问题

设计一个$H_{2}$最优控制器，使闭环系统对某个磁盘区域不敏感，涉及两个子问题

• 找到一个控制增益$K$，使得：$\left\|K\right\|_{2}<\gamma$。
• 闭环系统的不敏感磁盘区域设计条件，如不敏感磁盘区域设计一节中所述，已得到满足。
• 优化目标是最小化$\gamma$，使得上述两点成立。

LMI： $H_{2}$对不敏感磁盘区域的最佳控制设计

上述问题只有在以下优化问题有解的情况下才有解$(K,\gamma )$

${\begin{aligned}{\text{min }}&\gamma \\{\text{s.t. }}&{\begin{bmatrix}-\gamma I&K\\K^{\top }&-\gamma I\end{bmatrix}}<0\\&{\begin{bmatrix}-\gamma _{0}I&A+BKC+qI\\(A+BKC+qI)^{\top }&-\gamma _{0}I\end{bmatrix}}<0\end{aligned}}$

结论

通过使用此处提供的设计问题，设计了一个最优的$H_{2}$控制器，使闭环系统对系统矩阵中的扰动具有鲁棒性。

实现

为了解决这里提出的包含LMI的优化问题，需要使用YALMIP工具箱来建立可行性问题，并使用SeDuMi来求解问题。以下链接展示了可行性问题的一个例子

https://github.com/smhassaan/LMI-Examples/blob/master/H2_Disk_example.m

相关LMI

不敏感圆盘区域设计

外部链接

记录和验证LMI的一系列参考文献。

• 控制系统中的LMI：分析、设计与应用 - 由段广仁和余海华著，CRC出版社，泰勒与弗朗西斯集团，2013年，第10.1.2节，第323-325页。