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矩阵特征值最小化的LMI

综合矩阵的特征值在设计线性系统的控制器中起着重要作用。线性时不变系统的状态矩阵的特征值决定了系统是否稳定。如果状态矩阵的所有特征值都位于复平面的左半部分，则系统是稳定的。因此，我们可能希望最小化状态矩阵的最大特征值，使得最小化的特征值位于左半平面，这保证了系统是稳定的。

系统

假设我们有一个变量 $x$ 的矩阵函数

${\begin{aligned}A(x)=A_{0}+A_{1}x_{1}+...+A_{n}x_{n}\end{aligned}}$

其中 ${\begin{aligned}A_{i},\quad i=1,2,...,n\end{aligned}}$ 是对称矩阵。

对称矩阵 $A_{i}$ （ ${\begin{aligned}A_{0},A_{1},...,A_{n}\end{aligned}}$ ）是给定的。

优化问题是找到变量 ${\begin{aligned}x=[x_{1}\quad x_{2}...x_{n}]\end{aligned}}$ 以最小化以下代价函数

${\begin{aligned}J(x)=\lambda _{\text{max}}(A(x))\end{aligned}}$

其中 $J(x)$ 是代价函数，而 $\lambda _{\text{max}}(.)$ 表示矩阵的最大特征值。

根据控制系统分析、设计与应用中的LMI（第10页）中引理1.1，以下陈述是等价的

${\begin{aligned}\lambda _{max}(A(x))\leq t\iff A(x)-tI\leq 0\end{aligned}}$

其中， $t$ 定义为矩阵 $A$ 的最大特征值。

此优化问题可以转换为一个LMI问题。

LMI公式的数学描述可以写成如下形式：

${\begin{aligned}&{\text{min}}\quad t\\&{\text{s.t.}}\quad A(x)-tI\leq 0\end{aligned}}$

因此，在解决此LMI问题后，得到变量 $x_{i},\quad i=1,2,...,n$ 。

此外，我们还获得了矩阵 $A(x)$ 的最大特征值 $t$ 。

此问题的Matlab代码链接位于Github仓库中：