控制中的 LMI/pages/矩阵范数最小化

矩阵范数最小化的 LMI

这个问题是对矩阵特征值最小化问题的轻微推广。计算矩阵范数在设计 $H_{2}$ 或 $H_{\infty }$ 线性时不变系统的最优控制器时是必要的。在这些情况下，我们需要计算闭环系统的矩阵范数。此外，我们希望设计控制器以最小化闭环矩阵范数。

系统

假设我们有一个变量的矩阵函数 $x$

${\begin{aligned}A(x)=A_{0}+A_{1}x_{1}+...+A_{n}x_{n}\end{aligned}}$

其中 ${\begin{aligned}A_{i},\quad i=1,2,...,n\end{aligned}}$ 是对称矩阵。

对称矩阵 $A_{i}$ ( ${\begin{aligned}A_{0},A_{1},...,A_{n}\end{aligned}}$ ) 是给定的。

优化问题是找到变量 ${\begin{aligned}x=[x_{1}\quad x_{2}...x_{n}]\end{aligned}}$ 以最小化以下成本函数

${\begin{aligned}J(x)=||A(x)||_{2}\end{aligned}}$

其中 $J(x)$ 是成本函数， $||.||_{2}$ 表示矩阵函数 $A$ 的范数。

根据控制系统分析、设计和应用中的 LMI (第 10 页) 中的引理 1.1，以下陈述是等价的

${\begin{aligned}A^{T}A-t^{2}I\leq 0\iff {\begin{bmatrix}-tI&A\\A^{T}&-tI\end{bmatrix}}\leq 0\\\end{aligned}}$

此优化问题可以转换为 LMI 问题。

LMI 公式的数学描述可以写成如下

${\begin{aligned}&{\text{min}}\quad t&\\&{\text{s.t.}}\quad {\begin{bmatrix}-tI&A(x)\\A(x)^{T}&-tI\end{bmatrix}}\leq 0\\\end{aligned}}$

因此，在解决此 LMI 问题后，我们将获得变量 $x_{i},\quad i=1,2,...,n$ ，并得到 $t$ ，即矩阵函数 $A(x)$ 的范数。

此问题的 Matlab 代码在 Github 存储库中的链接

记录和验证 LMI 的参考资料列表。