控制中的 LMI/pages/可达集对角 NB

具有单位能量输入的可达集；对角范数约束不确定性

可达集是在 $u=Kx$ 条件下达到的系统状态集。在本页中，我们将研究找到控制器 $K$ 的问题，该控制器使得 $E\supseteq RS$ - 可达集。

{\begin{aligned}{\dot {x}}&=Ax+B_{w}w+B_{u}u+B_{q}p\\q&=C_{q}x+D_{qw}w+D_{qu}u+D_{qp}p\\u&=Kx\end{aligned}}

其中

{\begin{aligned}x&\in R^{n}\\w&\in R^{m}\\u&\in R^{k}\\\end{aligned}}

在对角范数约束不确定性的情况下，我们有

{\begin{aligned}p_{i}&=\delta _{i}(t)q_{i}\\&|\delta _{i}(t)|\leq 1;\;\;\;\;{\text{for }}i=1,...,N_{q}\end{aligned}}

$N_{p}=N_{q}$

矩阵 $A\in R^{n\times n};\;B_{w}\in R^{n\times m};\;B_{u}\in R^{n\times k};B_{p}\in R^{n\times N_{p}};K\in R^{k\times n}$ .

$C_{q}\in R^{N_{q}\times n};\;D_{qu}\in R^{N_{q}\times k}D_{qw}\in R^{N_{q}\times m}D_{qp}\in R^{N_{q}\times N_{p}}$ .

可达集可以定义为

{\begin{aligned}RS&=\{x(T)|u=Kx;\;\;x(0)=0;\;\;T\geq 0;\;\;\int _{0}^{T}w^{T}wdt<1\}\\\end{aligned}}

椭圆 $E=\{\varepsilon \in R^{n}|\varepsilon ^{T}Q\varepsilon \leq 1\}\supseteq RS$

需要解决以下优化问题

{\begin{aligned}{\text{Find}}\;&M>0:Y\\&{\begin{bmatrix}QA^{T}+AQ+B_{u}Y+Y^{T}B_{u}^{T}+B_{w}B_{w}^{T}+B_{p}MB_{p}^{T}&(C_{q}Q+D_{qu}Y)^{T}\\C_{q}Q+D_{qu}Y&-MI\end{bmatrix}}<0\\&K=YQ^{-1}\end{aligned}}

该 LMI 允许我们研究多面体不确定性情况下鲁棒控制问题的稳定性，并给出该情况下的控制器。

记录和验证 LMI 的参考文献列表。

LMI Methods in Optimal and Robust Control - 马修·皮特关于控制中 LMI 的课程。
LMI Properties and Applications in Systems, Stability, and Control Theory - 莱恩·卡弗利和詹姆斯·福布斯的 LMI 列表。（3.20.2 页 64）
线性矩阵不等式在系统与控制理论中的应用 - 斯蒂芬·博伊德撰写的一本关于线性矩阵不等式的可下载书籍。