控制中的 LMI/pages/可达集范数有界

单位能量输入的可达集；范数有界的不确定性

可达集是在条件 $u=Kx$ 下达到的系统状态的集合。在本页中，我们将探讨找到一个控制器 $K$ 的问题，使得 $E\supseteq RS$ - 可达集。

{\begin{aligned}{\dot {x}}&=Ax+B_{w}w+B_{u}u+B_{q}p\\q&=C_{q}x+D_{qw}w+D_{qu}u+D_{qp}p\\u&=Kx\end{aligned}}

其中

{\begin{aligned}x&\in R^{n}\\w&\in R^{m}\\u&\in R^{k}\\\end{aligned}}

在范数有界的不确定性情况下，我们有

{\begin{aligned}p&=\Delta (t)q\\&\|\Delta \|\leq 1\end{aligned}}

矩阵 $A\in R^{n\times n};\;B_{w}\in R^{n\times m};\;B_{u}\in R^{n\times k};B_{p}\in R^{n\times N_{p}};K\in R^{k\times n}$ .

$C_{q}\in R^{N_{q}\times n};\;D_{qu}\in R^{N_{q}\times k}D_{qw}\in R^{N_{q}\times m}D_{qp}\in R^{N_{q}\times N_{p}}$ .

可达集可以定义为

{\begin{aligned}RS&=\{x(T)|u=Kx;\;\;x(0)=0;\;\;T\geq 0;\;\;\int _{0}^{T}w^{T}wdt<1\}\\\end{aligned}}

椭球 $E=\{\varepsilon \in R^{n}|\varepsilon ^{T}Q\varepsilon \leq 1\}\supseteq RS$

应该解决以下优化问题

{\begin{aligned}{\text{Find}}\;&\mu >0:Y\\&{\begin{bmatrix}QA^{T}+AQ+B_{u}Y+Y^{T}B_{u}^{T}+B_{w}B_{w}^{T}+\mu B_{p}B_{p}^{T}&(C_{q}Q+D_{qu}Y)^{T}\\C_{q}Q+D_{qu}Y&-\mu I\end{bmatrix}}<0\\&K=YQ^{-1}\end{aligned}}

或者

{\begin{aligned}{\text{Find}}\;&\mu >0:\sigma \\&{\begin{bmatrix}QA^{T}+AQ+\sigma B_{u}B_{u}^{T}+B_{w}B_{w}^{T}+\mu B_{p}B_{p}^{T}&(C_{q}Q-\sigma D_{qu}B_{u}^{T}+\mu D_{qp}B_{p}^{T})^{T}\\C_{q}Q-\sigma D_{qu}B_{u}^{T}+\mu D_{qp}B_{p}^{T}&-\mu (I-D_{qp}D_{qp}^{T})\end{bmatrix}}<0\\&K=-{\frac {\sigma }{2}}B_{u}^{T}Q^{-1}\end{aligned}}

此 LMI 允许我们研究多面体不确定性情况下鲁棒控制问题的稳定性，并给出这种情况下的控制器。

记录和验证 LMI 的参考文献列表。