控制中的 LMI/页面/可达集多面体

具有单位能量输入的可达集；多面体不确定性

可达集是系统状态在条件 $u=Kx$ 下达到的一组状态。在本页面中，我们将探讨寻找控制器 $K$ 的问题，该控制器使得 $E$ 包含 $RS$ - 可达集。

{\begin{aligned}{\dot {x}}&=Ax+B_{w}w+B_{u}u\\u&=Kx\end{aligned}}

其中

{\begin{aligned}x&\in R^{n}\\w&\in R^{m}\\u&\in R^{k}\\\end{aligned}}

在多面体不确定性情况下，我们有

{\begin{aligned}A(t)\;\;B_{w}(t)\;\;B_{u}(t)&\in {\textbf {Co}}\{[A_{1}\;\;B_{w,1}\;\;B_{u;1}],...,[A_{L}\;\;B_{w;L}\;\;B_{u;L}]\}\\\end{aligned}}

可达集可以定义为

{\begin{aligned}RS&=\{x(T)|u=Kx;\;\;x(0)=0;\;\;T\geq 0;\;\;\int _{0}^{T}w^{T}wdt<1\}\\\end{aligned}}

椭球 $E=\{\varepsilon \in R^{n}|\varepsilon ^{T}Q\varepsilon \leq 1\}$ 包含 $RS$

矩阵 $A,A_{i}\in R^{n\times n};\;B_{w},B_{w;i}\in R^{n\times m};\;B_{u},B_{u;i}\in R^{n\times k};Q\in R^{n\times n}$ 。并且

应该解决以下优化问题

{\begin{aligned}{\text{Find}}\;&Y>0:\\&QA_{i}^{T}+A_{i}Q+B_{u;i}Y+Y^{T}B_{u;i}^{T}+B_{w;i}B_{w;i}^{T}<0{\text{ for all }}i=1,...n\\&K=YQ^{-1}\end{aligned}}

此 LMI 使我们能够在多面体不确定性情况下调查鲁棒控制问题的稳定性，并给出这种情况下的控制器

记录和验证 LMI 的参考文献列表。

最优和鲁棒控制中的 LMI 方法 - Matthew Peet 关于 LMI 在控制中的课程。
LMI 属性及其在系统、稳定性和控制理论中的应用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 编写的 LMI 列表。（第 3.20.2 页，第 64 页）
系统与控制理论中的 LMI - Stephen Boyd 编写的关于 LMI 的可下载书籍。