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Schur 可检测性

Schur 可检测性是 Schur 可稳定性的对偶概念，定义如下，矩阵对 $(A,C),$ 当且仅当存在一个实矩阵 $L$ 使得 $A+LC$ 为 Schur 稳定。

系统

我们考虑以下系统

${\begin{aligned}x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)\\y(k)=Cx(k)+Du(k)\\\end{aligned}}$

其中矩阵 $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$, $B\in \mathbb {R} ^{n\times r}$, $C\in \mathbb {R} ^{m\times n}$,$D\in \mathbb {R} ^{m\times r}$$x\in \mathbb {R} ^{n}$,$y\in \mathbb {R} ^{m}$ ，和 $u\in \mathbb {R} ^{r}$ 分别是状态矩阵、输入矩阵、状态向量和输入向量。

此外，$k$ 表示离散时间系统中的时间，而 $k+1$ 是下一个时间步。

状态反馈控制律定义如下

${\begin{aligned}u(k)=Kx(k)\end{aligned}}$

其中 $K\in \mathbb {R} ^{n\times r}$ 是控制器增益。因此，闭环系统由下式给出

${\begin{aligned}x(k+1)=(A+BK)x(k)\end{aligned}}$

数据

• 矩阵 $A,B,C,D$ 是适当维度的系统矩阵，已知。

优化问题

存在一个对称矩阵 $P$ 和一个满足以下条件的矩阵 W
${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}-P&A^{T}P+C^{T}W^{T}\\PA+WC&P\end{bmatrix}}<0\\\end{aligned}}$
存在一个对称矩阵 $P$ 满足以下条件
${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}-N_{c}^{T}PN_{c}&N_{c}^{T}A^{T}P\\PAN_{c}&-P\end{bmatrix}}<0\\\end{aligned}}$
其中 $N_{c}$ 是 $C$ 的右正交补。
存在一个对称矩阵 P 使得
${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}-P&PA\\A^{T}P&-P-\gamma C^{T}C\end{bmatrix}}<0\\\end{aligned}}$
$\gamma >1$

LMI

Schur 可检测性的 LMI 可以写成以下约束条件下标量 $\gamma$ 的最小化

${\begin{aligned}&{\text{min}}\quad \gamma \\&{\text{s.t.}}\end{aligned}}$
${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}-P&A^{T}P+C^{T}W^{T}\\PA+WC&P\end{bmatrix}}<0\\\end{aligned}}$
${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}-N_{c}^{T}PN_{c}&N_{c}^{T}A^{T}P\\PAN_{c}&-P\end{bmatrix}}<0\\\end{aligned}}$
${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}-P&PA\\A^{T}P&-P-\gamma C^{T}C\end{bmatrix}}<0\\\end{aligned}}$

结论

因此，通过证明上述条件，我们证明了矩阵对 $(A,C)$ 是 Schur 可检测的。

实现

Github 仓库中此问题的 Matlab 代码链接：Schur 可检测性

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外部链接

• [1] - LMI 在控制系统分析、设计和应用中的应用

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