线性代数/任何矩阵都代表一个线性映射/解答

解答

建议所有读者完成此练习。

问题 1

判断该向量是否在矩阵的列空间中。

1. ${\begin{pmatrix}2&1\\2&5\end{pmatrix}}$, ${\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}4&-8\\2&-4\end{pmatrix}}$, ${\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}1&-1&1\\1&1&-1\\-1&-1&1\end{pmatrix}}$, ${\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}}$

解答

1. 是；我们要问的是是否存在标量 $c_{1}$ 和 $c_{2}$ 使得

   $c_{1}{\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}1\\5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}}$

   这导致了一个线性方程组

   ${\begin{array}{*{2}{rc}r}2c_{1}&+&c_{2}&=&1\\2c_{1}&+&5c_{2}&=&-3\end{array}}\;{\xrightarrow[{}]{-\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\begin{array}{*{2}{rc}r}2c_{1}&+&c_{2}&=&1\\&&4c_{2}&=&-4\end{array}}$

   高斯消元法得到 $c_{2}=-1$ 和 $c_{1}=1$。也就是说，确实存在这样一对标量，因此该向量确实在矩阵的列空间中。
2. 不；我们想知道是否存在标量 $c_{1}$ 和 $c_{2}$ 使得

   $c_{1}{\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}-8\\-4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$

   一种解决方法是考虑由此产生的线性方程组

   ${\begin{array}{*{2}{rc}r}4c_{1}&-&8c_{2}&=&0\\2c_{1}&-&4c_{2}&=&1\end{array}}$

   可以很容易地看出它没有解。另一种解决方法是注意到左侧列的任何线性组合的第二项都是其第一项的一半，但右侧的向量不满足这个条件。
3. 是的；我们可以简单地观察到该向量是第一列减去第二列。或者，如果做不到，我们可以建立列之间的关系

   $c_{1}{\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\end{pmatrix}}+c_{3}{\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}}$

   并考虑由此产生的线性方程组

   ${\begin{array}{*{3}{rc}r}c_{1}&-&c_{2}&+&c_{3}&=&2\\c_{1}&+&c_{2}&-&c_{3}&=&0\\-c_{1}&-&c_{2}&+&c_{3}&=&0\end{array}}\;{\xrightarrow[{\rho _{1}+\rho _{3}}]{-\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\begin{array}{*{3}{rc}r}c_{1}&-&c_{2}&+&c_{3}&=&2\\&&2c_{2}&-&2c_{3}&=&-2\\&&-2c_{2}&+&2c_{3}&=&2\end{array}}\;{\xrightarrow[{}]{\rho _{2}+\rho _{3}}}\;{\begin{array}{*{3}{rc}r}c_{1}&-&c_{2}&+&c_{3}&=&2\\&&2c_{2}&-&2c_{3}&=&-2\\&&&&0&=&0\end{array}}$

   给出了除了存在至少一个解之外的附加信息（即存在无限多个解）。参数化后得到 $c_{2}=-1+c_{3}$ 和 $c_{1}=1$，因此令 $c_{3}$ 为零得到一个特解 $c_{1}=1$，$c_{2}=-1$，以及 $c_{3}=0$（当然，这是在开头做出的观察）。

建议所有读者完成此练习。

问题 2

判断每个向量是否属于从 $\mathbb {R} ^{3}$ 到 $\mathbb {R} ^{2}$ 的映射的范围内，该映射由矩阵表示（相对于标准基）。

1. ${\begin{pmatrix}1&1&3\\0&1&4\end{pmatrix}}$, ${\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}2&0&3\\4&0&6\end{pmatrix}}$, ${\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$

解答

正如小节中所述，关于标准基，表示是透明的，因此，例如，第一个矩阵描述了此映射。

${\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}_{{\mathcal {E}}_{3}}\!\mapsto {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}_{{\mathcal {E}}_{2}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\!\mapsto {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\!\mapsto {\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}}$

因此，对于第一个，我们询问是否存在标量，使得

$c_{1}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}+c_{3}{\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}$

也就是说，向量是否在矩阵的列空间中。

1. 是的。我们可以通过建立得到的线性系统并应用高斯方法，如往常一样，得出这个结论。另一种获得它的是通过观察列方程注意到取 $c_{3}=3/4$, 和 $c_{1}=-5/4$, 和 $c_{2}=0$就可以了。还有第三种方法可以得出这个结论，那就是注意到矩阵的秩是 2，等于陪域的维度，因此映射是满射的——范围是整个 $\mathbb {R} ^{2}$，特别是包括给定的向量。
2. 不；请注意，矩阵中的所有列的第二项都是第一项的两倍，而向量不是。或者，矩阵的列空间是

   $\{c_{1}{\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}+c_{3}{\begin{pmatrix}3\\6\end{pmatrix}}\,{\big |}\,c_{1},c_{2},c_{3}\in \mathbb {R} \}=\{c{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}\,{\big |}\,c\in \mathbb {R} \}$

   (这是已经注意到的事实，但它是通过计算而不是灵感得出的），给定的向量不在这个集合中。

建议所有读者完成此练习。

问题 3

考虑这个矩阵，它代表了对 $\mathbb {R} ^{2}$ 的变换，以及这些空间的基底。

${\frac {1}{2}}\cdot {\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}}\qquad B=\langle {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\rangle \quad D=\langle {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}\rangle$

1. $B$ 中的第一个成员映射到陪域中的哪个向量？
2. 第二个成员呢？
3. 域中的一个一般向量（具有 $x$ 和 $y$ 作为分量的向量）被映射到哪里？也就是说，这个矩阵相对于 $B,D$ 代表了 $\mathbb {R} ^{2}$ 的什么变换？

解答

1. 基底的第一个成员

   ${\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}_{B}$

   被映射到

   ${\begin{pmatrix}1/2\\-1/2\end{pmatrix}}_{D}$

   这是陪域中的这个成员。

   ${\frac {1}{2}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}-{\frac {1}{2}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$

2. 基底的第二个成员被映射到

   ${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}_{B}\mapsto {\begin{pmatrix}1/2\\1/2\end{pmatrix}}_{D}$

   到陪域的这个成员。

   ${\frac {1}{2}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}+{\frac {1}{2}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$

3. 因为矩阵代表的映射是基上的恒等映射，所以它必须是域上所有成员的恒等映射。我们可以通过考虑以下内容以另一种方式得出相同的结论：

   ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}y\\x\end{pmatrix}}_{B}$

   它被映射到

   ${\begin{pmatrix}(x+y)/2\\(x-y)/2\end{pmatrix}}_{D}$

   它代表了 $\mathbb {R} ^{2}$ 的这个成员。

   ${\frac {x+y}{2}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}+{\frac {x-y}{2}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$

问题 4

这个矩阵相对于 $B=\langle \cos \theta -\sin \theta ,\sin \theta \rangle$ 和 $D=\langle \cos \theta +\sin \theta ,\cos \theta \rangle$ 代表了 $F=\{a\cos \theta +b\sin \theta \,{\big |}\,a,b\in \mathbb {R} \}$ 的什么变换？

${\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}$

解答

域的通用成员，相对于域的基表示为

$a\cos \theta +b\sin \theta ={\begin{pmatrix}a\\a+b\end{pmatrix}}_{B}$

被映射到

${\begin{pmatrix}0\\a\end{pmatrix}}_{D}\quad {\text{representing}}\quad 0\cdot (\cos \theta +\sin \theta )+a\cdot (\cos \theta )$

因此，矩阵相对于这些基所表示的线性映射是

$a\cos \theta +b\sin \theta \mapsto a\cos \theta$

它表示到第一个分量的投影。

建议所有读者完成此练习。

问题 5

判断 $1+2x$ 是否属于从 $\mathbb {R} ^{3}$ 到 ${\mathcal {P}}_{2}$ 的映射的像空间，该映射相对于 ${\mathcal {E}}_{3}$ 和 $\langle 1,1+x^{2},x\rangle$ 由该矩阵表示。

${\begin{pmatrix}1&3&0\\0&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}}$

解答

将给定的 ${\mathcal {P}}_{2}$ 基记为 $B$。然后线性映射的应用可以用矩阵向量乘法表示。因此，${\mathcal {E}}_{3}$ 中的第一个向量映射到 ${\mathcal {P}}_{2}$ 中相对于 $B$ 表示的元素是

${\begin{pmatrix}1&3&0\\0&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}$

该元素是 $1+x$。其他两个基向量图像的计算方式类似。

${\begin{pmatrix}1&3&0\\0&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}}={\rm {Rep}}_{B}(4+x^{2})\quad {\begin{pmatrix}1&3&0\\0&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\rm {Rep}}_{B}(x)$

因此，我们可以通过寻找标量 $c_{1}$，$c_{2}$ 和 $c_{3}$ 来确定 $1+2x$ 是否在映射的范围内，方法是：

$c_{1}\cdot (1)+c_{2}\cdot (1+x^{2})+c_{3}\cdot (x)=1+2x$

显然，$c_{1}=1$，$c_{2}=0$，$c_{3}=1$ 就足够了。因此，它在范围内，事实上，它是此向量的图像。

$1\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+0\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}+1\cdot {\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$

问题 6

例 2.8 给出了一个非奇异矩阵，因此与非奇异映射相关联。

1. 找到表示此矩阵所代表的任何映射的零空间成员的列向量集。
2. 找到任何此类映射的零度。
3. 找到表示此矩阵所代表的任何映射的范围空间成员的列向量集。
4. 找到任何此类映射的秩。
5. 检查秩加零度是否等于域的维数。

解答

设矩阵为 $G$，并假设它代表 $g:V\to W$ 关于基 $B$ 和 $D$。因为 $G$ 有两列，$V$ 是二维的。因为 $G$ 有两行，$W$ 是二维的。 $g$ 对域中的一个一般成员的作用是这样的。

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}_{B}\;\mapsto \;{\begin{pmatrix}x+2y\\3x+6y\end{pmatrix}}_{D}$

1. 零向量在陪域中唯一的表示是

   ${\rm {Rep}}_{D}({\vec {0}})={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}_{D}$

   因此，零空间成员的表示集是这个。

   $\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}_{B}\,{\big |}\,x+2y=0{\text{ and }}3x+6y=0\}=\{y\cdot {\begin{pmatrix}-1/2\\1\end{pmatrix}}_{D}\,{\big |}\,y\in \mathbb {R} \}$

2. 表示映射 ${\mbox{Rep}}_{D}:W\to \mathbb {R} ^{2}$ 及其逆是同构，因此保持子空间的维数。 $\mathbb {R} ^{2}$ 中的上一项中提到的子空间是一维的。因此，该子空间在表示映射的逆映射下的像——$G$ 的零空间，也是一维的。
3. 值域成员的表示集是这个。

   $\{{\begin{pmatrix}x+2y\\3x+6y\end{pmatrix}}_{D}\,{\big |}\,x,y\in \mathbb {R} \}=\{k\cdot {\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}_{D}\,{\big |}\,k\in \mathbb {R} \}$

4. 当然，定理 2.3 给出映射的秩等于矩阵的秩，即为 1。或者，上面用于零空间的相同论证在这里给出范围空间的维数为 1。
5. 1 加 1 等于 2。

建议所有读者完成此练习。

问题 7

因为矩阵的秩等于它所表示的任何映射的秩，如果一个矩阵表示两个不同的映射 $H={\rm {Rep}}_{B,D}(h)={\rm {Rep}}_{{\hat {B}},{\hat {D}}}({\hat {h}})$ （其中 $h,{\hat {h}}:V\to W$）那么 $h$ 的范围空间的维数是否等于 ${\hat {h}}$ 的范围空间的维数？这些维数相等的范围空间实际上必须相同吗？

解答

不，范围空间可能不同。 示例 2.2 显示了这一点。

建议所有读者完成此练习。

问题 8

设 $V$ 是一个 $n$ 维空间，具有基底 $B$ 和 $D$。考虑一个映射，对于 ${\vec {v}}\in V$，将关于 $B$ 表示 ${\vec {v}}$ 的列向量映射到关于 $D$ 表示 ${\vec {v}}$ 的列向量。证明这是一个 $\mathbb {R} ^{n}$ 的线性变换。

解答

回想一下表示映射

$V{\stackrel {{\text{Rep}}_{B}}{\longmapsto }}\mathbb {R} ^{n}$

是一个同构。因此，它的逆映射${\mbox{Rep}}_{B}^{-1}:\mathbb {R} ^{n}\to V$也是一个同构。我们想要的$\mathbb {R} ^{n}$ 的变换就是这个复合映射。

$\mathbb {R} ^{n}{\stackrel {{\text{Rep}}_{B}^{-1}}{\longmapsto }}V{\stackrel {{\text{Rep}}_{D}}{\longmapsto }}\mathbb {R} ^{n}$

由于同构的复合也是同构，因此这个映射${\mbox{Rep}}_{D}\circ {\mbox{Rep}}_{B}^{-1}$是一个同构。

问题 9

示例 2.2 显示，即使域和陪域保持不变，改变基底对也会改变矩阵所表示的映射。映射真的不会发生变化吗？是否存在一个矩阵$H$，向量空间$V$ 和 $W$，以及相关基底对$B_{1},D_{1}$ 和 $B_{2},D_{2}$（其中$B_{1}\neq B_{2}$ 或者 $D_{1}\neq D_{2}$ 或者两者都满足）使得 $H$ 相对于 $B_{1},D_{1}$ 所表示的映射等于 $H$ 相对于 $B_{2},D_{2}$ 所表示的映射吗？

解答

是的。考虑

$H={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

表示从 $\mathbb {R} ^{2}$ 到 $\mathbb {R} ^{2}$ 的映射。关于标准基 $B_{1}={\mathcal {E}}_{2},D_{1}={\mathcal {E}}_{2}$，此矩阵表示恒等映射。关于

$B_{2}=D_{2}=\langle {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}\rangle$

此矩阵再次表示恒等映射。事实上，只要起始基和结束基相等——只要 $B_{i}=D_{i}$——那么由 $H$ 表示的映射就是恒等映射。

建议所有读者完成此练习。

问题 10

如果一个方阵除了其左上到右下对角线上的元素——其 $1,1$ 元素、其 $2,2$ 元素等之外，其他元素都是零，那么它就是一个对角矩阵。证明线性映射当且仅当存在一组基，使得关于这些基，该映射由一个对角线上没有零元素的对角矩阵表示时，该线性映射为同构。

解答

这直接从 推论 2.6 得出。

问题 11

用几何方法描述关于标准基 ${\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}$ 由此矩阵表示的映射作用于 $\mathbb {R} ^{2}$ 的方式。

${\begin{pmatrix}3&0\\0&2\end{pmatrix}}$

对以下矩阵进行相同的操作。

${\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}}$

解答

第一个映射

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}_{{\mathcal {E}}_{2}}\mapsto {\begin{pmatrix}3x\\2y\end{pmatrix}}_{{\mathcal {E}}_{2}}={\begin{pmatrix}3x\\2y\end{pmatrix}}$

在 $x$ 方向上将向量拉伸 3 倍，在 $y$ 方向上将向量拉伸 2 倍。第二个映射

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}_{{\mathcal {E}}_{2}}\mapsto {\begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix}}_{{\mathcal {E}}_{2}}={\begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix}}$

将向量投影到 $x$ 轴上。第三个

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}_{{\mathcal {E}}_{2}}\mapsto {\begin{pmatrix}y\\x\end{pmatrix}}_{{\mathcal {E}}_{2}}={\begin{pmatrix}y\\x\end{pmatrix}}$

交换第一个和第二个分量（即，它关于直线 $y=x$ 反射）。最后一个

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}_{{\mathcal {E}}_{2}}\mapsto {\begin{pmatrix}x+3y\\y\end{pmatrix}}_{{\mathcal {E}}_{2}}={\begin{pmatrix}x+3y\\y\end{pmatrix}}$

平行于 $y$ 轴拉伸向量，拉伸量等于它们到该轴距离的 3 倍（这是一种 **斜切**）。

问题 12

对于任何线性映射，秩加上零度等于域的维数，这一事实表明，在两个空间之间存在同态映射到第二个空间的必要条件是维数不增加。也就是说，当 $h:V\to W$ 是满射时，$W$ 的维数必须小于或等于 $V$ 的维数。

1. 证明这个（强）逆命题成立：维数不增加意味着存在同态映射，并且进一步地，任何具有正确大小和正确秩的矩阵都表示这种映射。
2. 是否存在 $\mathbb {R} ^{3}$ 的基使得此矩阵

   $H={\begin{pmatrix}1&0&0\\2&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}$

   表示从 $\mathbb {R} ^{3}$ 到 $\mathbb {R} ^{3}$ 的映射，其值域是 $\mathbb {R} ^{3}$ 的 $xy$ 平面子空间？

解答

1. 这直接来自 定理 2.3。
2. 是的。这直接来自上一条。为了给出具体的例子，我们可以以 ${\mathcal {E}}_{3}$ 作为域的基，然后我们需要一个基 $D$ 作为陪域 $\mathbb {R} ^{3}$ 的基。矩阵 $H$ 给出了映射的作用，如下所示

   ${\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}_{{\mathcal {E}}_{3}}\mapsto {\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}}_{D}\quad {\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}_{{\mathcal {E}}_{3}}\mapsto {\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}_{D}\quad {\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}_{{\mathcal {E}}_{3}}\mapsto {\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}_{D}$

   并且找到一个基底$D$ 不会造成任何伤害，这样：

   ${\rm {Rep}}_{D}({\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}}_{D}\quad {\mbox{and}}\quad {\rm {Rep}}_{D}({\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}_{D}$

   也就是说，使关于${\mathcal {E}}_{3},D$ 的$H$ 所表示的映射为投影到$xy$ 平面上的投影。第二个条件表明$D$ 的第三个成员是${\vec {e}}_{2}$。第一个条件表明$D$ 的第一个成员加上第二个成员的两倍等于${\vec {e}}_{1}$，所以这个基底是合适的。

   $D=\langle {\begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1/2\\1/2\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\rangle$

问题 13

设 $V$ 是一个 $n$ 维空间，并假设 ${\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{n}$。固定一个 $B$ 作为 $V$ 的一个基底，并考虑映射 $h_{\vec {x}}:V\to \mathbb {R}$，由点积给出 ${\vec {v}}\mapsto {\vec {x}}\cdot {\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}})$。

1. 证明该映射是线性的。
2. 证明对于任何线性映射 $g:V\to \mathbb {R}$，存在一个 ${\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{n}$ 使得 $g=h_{\vec {x}}$。
3. 在上一条中，我们固定了基底，并改变了 ${\vec {x}}$ 来获得所有可能的线性映射。我们能否通过固定一个 ${\vec {x}}$ 并改变基底来获得所有可能的线性映射？

解答

1. 回想一下，表示映射 ${\mbox{Rep}}_{B}:V\to \mathbb {R} ^{n}$ 是线性的（它实际上是一个同构，但我们这里不需要它是单射或满射）。将列向量 $x$ 视为一个 $n\!\times \!1$ 矩阵，则从 $\mathbb {R} ^{n}$ 到 $\mathbb {R}$ 的映射，将列向量映射到它与 ${\vec {x}}$ 的点积是线性的（这是一个矩阵向量积，因此 定理 2.1 适用）。因此，正在考虑的映射 $h_{\vec {x}}$ 是线性的，因为它是由两个线性映射的复合构成的。

   ${\vec {v}}\mapsto {\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}})\mapsto {\vec {x}}\cdot {\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}})$

2. 任何线性映射 $g:V\to \mathbb {R}$ 由某个矩阵表示

   ${\begin{pmatrix}g_{1}&g_{2}&\cdots &g_{n}\end{pmatrix}}$

   （矩阵有 $n$ 列，因为 $V$ 是 $n$ 维的，它只有一行，因为 $\mathbb {R}$ 是一维的）。然后取 ${\vec {x}}$ 为该矩阵的转置的列向量

   ${\vec {x}}={\begin{pmatrix}g_{1}\\\vdots \\g_{n}\end{pmatrix}}$

   具有所需的行动。

   ${\vec {v}}={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}g_{1}\\\vdots \\g_{n}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}=g_{1}v_{1}+\dots +g_{n}v_{n}$

3. 不。如果 ${\vec {x}}$ 有任何非零项，那么 $h_{\vec {x}}$ 不能为零映射（如果 ${\vec {x}}$ 是零向量，那么 $h_{\vec {x}}$ 只能为零映射）。

问题 14

令 $V,W,X$ 是具有基 $B,C,D$ 的向量空间。

1. 假设 $h:V\to W$ 关于 $B,C$ 由矩阵 $H$ 表示。给出关于 $B,C$ 表示的标量倍数 $rh$（其中 $r\in \mathbb {R}$）的矩阵，用 $H$ 表示。
2. 假设 $h,g:V\to W$ 分别关于 $B,C$ 由 $H$ 和 $G$ 表示。求出关于 $B,C$ 表示 $h+g$ 的矩阵，用 $H$ 和 $G$ 表示。
3. 假设 $h:V\to W$ 关于 $B,C$ 由 $H$ 表示，而 $g:W\to X$ 关于 $C,D$ 由 $G$ 表示。求出关于 $B,D$ 表示 $g\circ h$ 的矩阵，用 $H$ 和 $G$ 表示。

解答

参见下一节。