线性代数/任何矩阵都表示线性映射

前面的部分表明，线性映射 $h$ 的作用由矩阵 $H$ 描述，相对于适当的基，以这种方式。

${\vec {v}}={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}_{B}\;{\overset {h}{\underset {H}{\longmapsto }}}\;{\begin{pmatrix}h_{1,1}v_{1}+\dots +h_{1,n}v_{n}\\\vdots \\h_{m,1}v_{1}+\dots +h_{m,n}v_{n}\end{pmatrix}}_{D}=h({\vec {v}})$

在本节中，我们将展示反之，即每个矩阵都表示一个线性映射。

回顾一下，在线性映射的矩阵表示的定义中，矩阵的列数是映射定义域的维数，矩阵的行数是映射陪域的维数。因此，例如，一个 $2\!\times \!3$ 矩阵不能表示从 $\mathbb {R} ^{5}$ 到 $\mathbb {R} ^{4}$ 的映射。下面的结果表明，除了对维数的限制之外，没有其他限制：$2\!\times \!3$ 矩阵表示从任何三维空间到任何二维空间的映射。

定理 2.1

任何矩阵都表示向量空间之间同态，其维数适当，相对于任何一对基。

证明

对于矩阵

$H=\left({\begin{array}{cccc}h_{1,1}&h_{1,2}&\ldots &h_{1,n}\\h_{2,1}&h_{2,2}&\ldots &h_{2,n}\\&\vdots \\h_{m,1}&h_{m,2}&\ldots &h_{m,n}\end{array}}\right)$

修复任何$n$维域空间$V$和任何$m$维陪域空间$W$。同样修复这些空间的基$B=\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$和$D=\langle {\vec {\delta }}_{1},\dots ,{\vec {\delta }}_{m}\rangle$。定义一个函数$h:V\to W$通过：其中域中的${\vec {v}}$表示为

${\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}})={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}_{B}$

然后它的图像$h({\vec {v}})$是陪域中由以下表示的成员

${\rm {Rep}}_{D}(\,h({\vec {v}})\,)={\begin{pmatrix}h_{1,1}v_{1}+\dots +h_{1,n}v_{n}\\\vdots \\h_{m,1}v_{1}+\dots +h_{m,n}v_{n}\end{pmatrix}}_{D}$

也就是说，$h({\vec {v}})=h(v_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +v_{n}{\vec {\beta }}_{n})$ 被定义为 $(h_{1,1}v_{1}+\dots +h_{1,n}v_{n})\cdot {\vec {\delta }}_{1}+\dots +(h_{m,1}v_{1}+\dots +h_{m,n}v_{n})\cdot {\vec {\delta }}_{m}$。（这是由表示 ${\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}})$ 的唯一性决定的。）

观察到 $h$ 只是被定义为关于 $B,D$ 由矩阵 $H$ 表示的映射。所以，我们只需要验证 $h$ 是线性的。如果 ${\vec {v}},{\vec {u}}\in V$ 使得

${\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}})={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad {\rm {Rep}}_{B}({\vec {u}})={\begin{pmatrix}u_{1}\\\vdots \\u_{n}\end{pmatrix}}$

以及 $c,d\in \mathbb {R}$，那么计算

${\begin{array}{rl}h(c{\vec {v}}+d{\vec {u}})&={\bigl (}h_{1,1}(cv_{1}+du_{1})+\dots +h_{1,n}(cv_{n}+du_{n}){\bigr )}\cdot {\vec {\delta }}_{1}+\\&\quad \cdots +{\bigl (}h_{m,1}(cv_{1}+du_{1})+\dots +h_{m,n}(cv_{n}+du_{n}){\bigr )}\cdot {\vec {\delta }}_{m}\\&=c\cdot h({\vec {v}})+d\cdot h({\vec {u}})\end{array}}$

提供了此验证。

示例 2.2

矩阵表示的映射取决于使用的基底。如果

$H={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}},\quad B_{1}=D_{1}=\langle {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\rangle ,\quad {\text{and}}\quad B_{2}=D_{2}=\langle {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\rangle ,$

那么 $h_{1}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ 由 $H$ 相对于 $B_{1},D_{1}$ 表示的映射

${\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}}_{B_{1}}\quad \mapsto \quad {\begin{pmatrix}c_{1}\\0\end{pmatrix}}_{D_{1}}={\begin{pmatrix}c_{1}\\0\end{pmatrix}}$

当 $h_{2}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ 以 $H$ 相对于 $B_{2},D_{2}$ 表示时，这个映射就如以下所示。

${\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c_{2}\\c_{1}\end{pmatrix}}_{B_{2}}\quad \mapsto \quad {\begin{pmatrix}c_{2}\\0\end{pmatrix}}_{D_{2}}={\begin{pmatrix}0\\c_{2}\end{pmatrix}}$

这两个是不同的。第一个是到 $x$ 轴的投影，而第二个是到 $y$ 轴的投影。

因此，不仅任何线性映射都可以用矩阵表示，而且任何矩阵都可以表示一个线性映射。这意味着，在需要时，我们可以完全用矩阵来处理线性映射，只需进行运算，而不必担心目标矩阵是否代表某个特定空间对上的线性映射。（在实践中，当我们使用矩阵但没有指定空间或基底时，我们通常会将域和陪域视为 $\mathbb {R} ^{n}$ 和 $\mathbb {R} ^{m}$ 并使用标准基底。在这种情况下，由于表示是透明的——${\vec {v}}$ 相对于标准基底的表示就是 ${\vec {v}}$ ——矩阵的列空间等于映射的值域。因此，$H$ 的列空间通常用 ${\mathcal {R}}(H)$ 表示。）

通过这个定理，我们已经将线性映射描述为以这种矩阵方式运作的映射。每个线性映射都可以用矩阵表示，每个矩阵都可以表示一个线性映射。在本节的最后，我们将说明如何利用矩阵来了解其映射的信息。

定理 2.3

矩阵的秩等于它所表示的任何映射的秩。

证明

假设矩阵 $H$ 是 $m\!\times \!n$。固定定义域和陪域空间 $V$ 和 $W$，它们分别具有 $n$ 和 $m$ 的维数，且基底分别为 $B=\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ 和 $D$。那么 $H$ 表示在这些基底下，某个从这些空间到这些空间的线性映射 $h$，其值域

${\begin{array}{rl}\{h({\vec {v}})\,{\big |}\,{\vec {v}}\in V\}&=\{h(c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n})\,{\big |}\,c_{1},\dots ,c_{n}\in \mathbb {R} \}\\&=\{c_{1}h({\vec {\beta }}_{1})+\dots +c_{n}h({\vec {\beta }}_{n})\,{\big |}\,c_{1},\dots ,c_{n}\in \mathbb {R} \}\end{array}}$

跨度 $[\{h({\vec {\beta }}_{1}),\dots ,h({\vec {\beta }}_{n})\}]$。$h$ 的秩是这个值域空间的维数。

矩阵的秩是它的列秩（或行秩；两者相等）。 它是矩阵的列空间的维数，即列向量集 $[\{{\rm {Rep}}_{D}(h({\vec {\beta }}_{1})),\dots ,{\rm {Rep}}_{D}(h({\vec {\beta }}_{n}))\}]$ 的跨度。

为了看到这两个跨度具有相同的维数，回想一下关于基的表示给出了一个同构 ${\mbox{Rep}}_{D}:W\to \mathbb {R} ^{m}$。 在这种同构下，值域空间的成员之间存在线性关系当且仅当在列空间中也存在相同的线性关系，例如，${\vec {0}}=c_{1}h({\vec {\beta }}_{1})+\dots +c_{n}h({\vec {\beta }}_{n})$ 当且仅当 ${\vec {0}}=c_{1}{\rm {Rep}}_{D}(h({\vec {\beta }}_{1}))+\dots +c_{n}{\rm {Rep}}_{D}(h({\vec {\beta }}_{n}))$。 因此，值域空间的子集线性无关当且仅当列空间的对应子集线性无关。 这意味着值域空间中最大线性无关子集的大小等于列空间中最大线性无关子集的大小，因此这两个空间具有相同的维数。

例 2.4

任何由

${\begin{pmatrix}1&2&2\\1&2&1\\0&0&3\\0&0&2\end{pmatrix}}$

表示的映射必须，根据定义，是从三维域到四维陪域。 此外，因为这个矩阵的秩是 2（我们可以通过观察来确定，或者通过高斯方法得到），任何由这个矩阵表示的映射都有一个二维值域空间。

推论 2.5

设 $h$ 是由矩阵 $H$ 表示的线性映射。 那么，$h$ 是满射当且仅当 $H$ 的秩等于它的行数，并且 $h$ 是单射当且仅当 $H$ 的秩等于它的列数。

证明

前半部分，$h$ 的值域空间的维数是 $h$ 的秩，根据定理，这等于 $H$ 的秩。由于 $h$ 的陪域的维数是 $H$ 的行数，如果 $H$ 的秩等于行数，则值域空间的维数等于陪域的维数。但是，与上空间具有相同维数的子空间必须等于该上空间（值域空间的基是陪域的线性无关子集，其大小等于陪域的维数，因此该集合是陪域的基）。

对于第二部分，线性映射是一对一的，当且仅当它是其定义域与其值域之间的同构，也就是说，当且仅当其定义域与值域具有相同的维数。但是，$H$ 中列的数量是 $h$ 的定义域的维数，根据定理，$H$ 的秩等于 $h$ 的值域的维数。

上述结果消除了我们使用“秩”这个词时产生的任何混淆，该词在应用于矩阵和应用于映射时似乎表示不同的意思。我们还可以证明“非奇异”的双重使用是合理的。我们已经将矩阵定义为：如果它是方阵并且是具有唯一解的线性系统的系数矩阵，则它是非奇异的；我们已经将线性映射定义为：如果它是单射的，则它是非奇异的。

推论 2.6

方阵表示非奇异映射，当且仅当它是非奇异矩阵。因此，矩阵表示同构，当且仅当它是方阵且非奇异。

证明

直接来自先前结果。

示例 2.7

从 $\mathbb {R} ^{2}$ 到 ${\mathcal {P}}_{1}$ 的任何映射，在任何一对基的表示下，都可以表示为

${\begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}}$

是非奇异的，因为这个矩阵的秩为 2。

示例 2.8

任何映射 $g:V\to W$ 由以下矩阵表示

${\begin{pmatrix}1&2\\3&6\end{pmatrix}}$

是非奇异的，因为这个矩阵是非奇异的。

我们现在已经看到映射与矩阵之间的关系是双向的：固定基，任何线性映射都可以用矩阵表示，任何矩阵都可以描述线性映射。也就是说，通过固定空间和基，我们可以在映射与矩阵之间建立对应关系。在本章的剩余部分，我们将探讨这种对应关系。例如，我们已经定义了线性映射的加法和标量乘法运算，我们将看到相应的矩阵运算是什么。我们还将看到表示映射复合运算的矩阵运算。并且，我们将看到如何找到表示映射逆运算的矩阵。

练习

建议所有读者练习这道题。

问题 1

判断向量是否在矩阵的列空间中。

1. ${\begin{pmatrix}2&1\\2&5\end{pmatrix}}$, ${\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}4&-8\\2&-4\end{pmatrix}}$, ${\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}1&-1&1\\1&1&-1\\-1&-1&1\end{pmatrix}}$, ${\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}}$

建议所有读者练习这道题。

问题 2

确定每个向量是否位于从 $\mathbb {R} ^{3}$ 到 $\mathbb {R} ^{2}$ 的映射（以标准基表示）的范围内。

1. ${\begin{pmatrix}1&1&3\\0&1&4\end{pmatrix}}$, ${\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}2&0&3\\4&0&6\end{pmatrix}}$, ${\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$

建议所有读者练习这道题。

问题 3

考虑此矩阵，它表示对 $\mathbb {R} ^{2}$ 的变换，以及该空间的这些基。

${\frac {1}{2}}\cdot {\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}}\qquad B=\langle {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\rangle \quad D=\langle {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}\rangle$

1. B 的第一个成员映射到陪域中的哪个向量？
2. 第二个成员呢？
3. 域中的一个一般向量（具有 $x$ 和 $y$ 组件的向量）映射到哪里？也就是说，$\mathbb {R} ^{2}$ 的什么变换相对于 $B,D$ 由此矩阵表示？

问题 4

相对于 $B=\langle \cos \theta -\sin \theta ,\sin \theta \rangle$ 和 $D=\langle \cos \theta +\sin \theta ,\cos \theta \rangle$，$F=\{a\cos \theta +b\sin \theta \,{\big |}\,a,b\in \mathbb {R} \}$ 的什么变换由该矩阵表示？

${\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}$

建议所有读者练习这道题。

问题 5

确定 $1+2x$ 是否在从 $\mathbb {R} ^{3}$ 到 ${\mathcal {P}}_{2}$ 的映射的范围内，该映射相对于 ${\mathcal {E}}_{3}$ 和 $\langle 1,1+x^{2},x\rangle$ 由此矩阵表示。

${\begin{pmatrix}1&3&0\\0&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}}$

问题 6

示例 2.8 给出了一个非奇异矩阵，因此与非奇异映射相关联。

1. 找到一组列向量，代表任何由该矩阵表示的映射的零空间的成员。
2. 找到任何此类映射的零度。
3. 找到一组列向量，代表任何由该矩阵表示的映射的范围空间的成员。
4. 找到任何此类映射的秩。
5. 检查秩加上零度是否等于域的维数。

建议所有读者练习这道题。

问题 7

因为矩阵的秩等于它所代表的任何映射的秩，如果一个矩阵代表两个不同的映射 $H={\rm {Rep}}_{B,D}(h)={\rm {Rep}}_{{\hat {B}},{\hat {D}}}({\hat {h}})$（其中 $h,{\hat {h}}:V\to W$）那么，$h$ 的值域空间的维数等于 ${\hat {h}}$ 的值域空间的维数。这两个维数相同的空间实际上必须是相同的吗？

建议所有读者练习这道题。

问题 8

令 $V$ 是一个 $n$ 维空间，基为 $B$ 和 $D$。考虑一个映射，对于 ${\vec {v}}\in V$，将相对于 $B$ 表示的 ${\vec {v}}$ 的列向量映射到相对于 $D$ 表示的 ${\vec {v}}$ 的列向量。证明这是一个 $\mathbb {R} ^{n}$ 的线性变换。

问题 9

示例 2.2 显示，改变基底对可以改变矩阵所代表的映射，即使域和陪域保持不变。映射是否可能不发生变化？是否存在一个矩阵 $H$，向量空间 $V$ 和 $W$，以及相关的基底对 $B_{1},D_{1}$ 和 $B_{2},D_{2}$（其中 $B_{1}\neq B_{2}$ 或 $D_{1}\neq D_{2}$ 或两者兼有），使得 $H$ 关于 $B_{1},D_{1}$ 所代表的映射等于 $H$ 关于 $B_{2},D_{2}$ 所代表的映射？

建议所有读者练习这道题。

问题 10

如果一个方阵除了其左上角到右下角的对角线上的元素（即其 $1,1$ 元素、其 $2,2$ 元素等）之外的所有元素都是零，则称该方阵为 **对角矩阵**。证明：如果存在这样的基底，使得关于这些基底，线性映射由一个对角线元素不为零的对角矩阵表示，则该线性映射是同构。

问题 11

用几何方法描述关于标准基底 ${\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}$ 由该矩阵表示的映射在 $\mathbb {R} ^{2}$ 上的动作。

${\begin{pmatrix}3&0\\0&2\end{pmatrix}}$

对以下矩阵做同样的事情。

${\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}}$

问题 12

任何线性映射的秩加上零度等于域的维数这一事实表明，在两个空间之间存在同态映射到第二个空间的必要条件是维度没有增加。也就是说，当 $h:V\to W$ 是满射时，$W$ 的维数必须小于或等于 $V$ 的维数。

1. 证明这个（强）逆命题成立：维度没有增加意味着存在同态映射，并且任何具有正确大小和正确秩的矩阵都代表这种映射。
2. 是否存在 $\mathbb {R} ^{3}$ 的基，使得这个矩阵

   $H={\begin{pmatrix}1&0&0\\2&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}$

   代表从 $\mathbb {R} ^{3}$ 到 $\mathbb {R} ^{3}$ 的映射，其值域是 $\mathbb {R} ^{3}$ 的 $xy$ 平面子空间？

问题 13

令 $V$ 是一个 $n$ 维空间，并假设 ${\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{n}$。固定 $V$ 的一个基 $B$，并考虑映射 $h_{\vec {x}}:V\to \mathbb {R}$，由点积给出 ${\vec {v}}\mapsto {\vec {x}}\cdot {\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}})$。

1. 证明这个映射是线性的。
2. 证明对于任何线性映射 $g:V\to \mathbb {R}$，都存在一个 ${\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{n}$，使得 $g=h_{\vec {x}}$。
3. 在上一项中，我们固定了基底并改变了 ${\vec {x}}$ 来得到所有可能的线性映射。我们是否可以通过固定 ${\vec {x}}$ 并改变基底来得到所有可能的线性映射？

问题 14

设 $V,W,X$ 是具有基底 $B,C,D$ 的向量空间。

1. 假设 $h:V\to W$ 关于 $B,C$ 由矩阵 $H$ 表示。求关于 $B,C$ 表示的标量倍数 $rh$（其中 $r\in \mathbb {R}$）的矩阵，用 $H$ 表示。
2. 假设 $h,g:V\to W$ 关于 $B,C$ 分别表示为 $H$ 和 $G$。试用 $H$ 和 $G$ 表示关于 $B,C$ 的 $h+g$ 的矩阵。
3. 假设 $h:V\to W$ 关于 $B,C$ 表示为 $H$，并且 $g:W\to X$ 关于 $C,D$ 表示为 $G$。试用 $H$ 和 $G$ 表示关于 $B,D$ 的 $g\circ h$ 的矩阵。

解答