线性代数/增广矩阵

增广矩阵是一个矩阵，它通过组合系数矩阵和可能代表方程组解的向量而构建。或者可以通过组合两个矩阵来构建。但必须考虑一个重要的规则，这两个矩阵必须具有相同数量的行。例如，如果我们有一个大小为 (m x n) 的矩阵，我们应该有另一个大小为 (m x k) 的矩阵，其中 n 是一个正自然数。

$A_{(mxn)}={\begin{bmatrix}a11&a12&.&.&.&a1n\\a21&a22&.&.&.&a2n\\.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.\\am1&am2&.&.&.&amn\end{bmatrix}}$

$B_{(mxk)}={\begin{bmatrix}b11&b12&.&.&.&b1n\\b21&b22&.&.&.&b2n\\.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.\\bm1&bm2&.&.&.&bmn\end{bmatrix}}$

在这种情况下，增广矩阵 (A|B) 将是

$(A|B)={\begin{bmatrix}a11&a12&.&.&.&a1n\\a21&a22&.&.&.&a2n\\.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.\\am1&am2&.&.&.&amn\end{bmatrix}}\quad {\Bigg |}\quad {\begin{bmatrix}b11&b12&.&.&.&b1n\\b21&b22&.&.&.&b2n\\.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.\\bm1&bm2&.&.&.&bmn\end{bmatrix}}$

此外，如果我们有一个方程组，我们可以将其表示为一个增广矩阵，这使得操作更容易。并且，当我们有维度相对较大的系统时，这将非常有用，例如

$2x+3y+4z=9\,$

$3x+5y+8z=21\,$

$4x+9y+z=17\,$

可以表示为以下增广矩阵

${\begin{bmatrix}2&3&4\\3&5&8\\4&9&1\end{bmatrix}}{\Bigg |}{\begin{bmatrix}9\\21\\17\end{bmatrix}}$

最后，增广矩阵在求解线性方程组、求矩阵的逆等方面非常有用。