线性代数/基底

定义 1.1

向量空间的基底是指一个线性无关的向量序列，它可以生成整个空间。

我们用尖括号 $\langle {\vec {\beta _{1}}},{\vec {\beta _{2}}},\dots \rangle$ 来表示这个集合是一个序列 - 元素的顺序很重要。（例如，在定义 1.13中，我们需要基底是有序的。）

示例 1.2

这是一个对于 $\mathbb {R} ^{2}$ 的基底。

$\langle {\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\rangle$

它是线性无关的

$c_{1}{\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}\quad \implies \quad {\begin{array}{*{2}{rc}r}2c_{1}&+&1c_{2}&=&0\\4c_{1}&+&1c_{2}&=&0\end{array}}\quad \implies \quad c_{1}=c_{2}=0$

并且它可以生成 $\mathbb {R} ^{2}$。

${\begin{array}{*{2}{rc}r}2c_{1}&+&1c_{2}&=&x\\4c_{1}&+&1c_{2}&=&y\end{array}}\quad \implies \quad c_{2}=2x-y{\text{ and }}c_{1}={\frac {y-x}{2}}$

示例 1.3

这是一个对于 $\mathbb {R} ^{2}$ 的基底。

$\langle {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}}\rangle$

它与前面的不同，因为向量顺序不同。验证它是否为基底与前面的例子相同。

示例 1.4

空间 $\mathbb {R} ^{2}$ 有许多基。另一个是这个。

$\langle {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\rangle$

验证很简单。

定义 1.5

对于任何 $\mathbb {R} ^{n}$ ，

${\mathcal {E}}_{n}=\langle {\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\\vdots \\0\end{pmatrix}},\dots ,\,{\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\1\end{pmatrix}}\rangle$

是标准（或自然）基。我们用 ${\vec {e_{1}}},\dots ,{\vec {e_{n}}}$ 表示这些向量。

(微积分书将 $\mathbb {R} ^{2}$ 的标准基向量称为 ${\vec {\imath }}$ 和 ${\vec {\jmath }}$，而不是 ${\vec {e}}_{1}$ 和 ${\vec {e}}_{2}$，它们将 $\mathbb {R} ^{3}$ 的标准基向量称为 ${\vec {\imath }}$，${\vec {\jmath }}$ 和 ${\vec {k}}$，而不是 ${\vec {e}}_{1}$，${\vec {e}}_{2}$ 和 ${\vec {e}}_{3}$。）请注意，符号 "${\vec {e}}_{1}$" 在讨论 $\mathbb {R} ^{3}$ 时与讨论 $\mathbb {R} ^{2}$ 时意义不同。

例 1.6

考虑实变量 $\theta$ 的函数空间 $\{a\cdot \cos \theta +b\cdot \sin \theta \,{\big |}\,a,b\in \mathbb {R} \}$。

$\langle 1\cdot \cos \theta +0\cdot \sin \theta ,0\cdot \cos \theta +1\cdot \sin \theta \rangle =\langle \cos \theta ,\sin \theta \rangle$

另一个基是 $\langle \cos \theta -\sin \theta ,2\cos \theta +3\sin \theta \rangle$。验证这两个是基是 问题 7。

示例 1.7

三次多项式向量空间的自然基是 ${\mathcal {P}}_{3}$ 是 $\langle 1,x,x^{2},x^{3}\rangle$。这个空间的另外两个基是 $\langle x^{3},3x^{2},6x,6\rangle$ 和 $\langle 1,1+x,1+x+x^{2},1+x+x^{2}+x^{3}\rangle$。检查它们是否线性无关并跨越空间很容易。

示例 1.8

平凡空间 $\{{\vec {0}}\}$ 只有一个基，空基 $\langle \rangle$。

示例 1.9

有限度多项式空间有一个无限多个元素的基 $\langle 1,x,x^{2},\ldots \rangle$。

示例 1.10

我们之前已经见过基。在第一章中，我们描述了诸如以下齐次系统的解集

${\begin{array}{*{4}{rc}r}x&+&y&&&-&w&=&0\\&&&&z&+&w&=&0\end{array}}$

通过参数化。

$\{{\begin{pmatrix}-1\\1\\0\\0\end{pmatrix}}y+{\begin{pmatrix}1\\0\\-1\\1\end{pmatrix}}w\,{\big |}\,y,w\in \mathbb {R} \}$

也就是说，我们将解向量空间描述为一个二元集的跨度。我们可以很容易地验证这个二向量集也是线性无关的。因此，解集是 $\mathbb {R} ^{4}$ 的子空间，具有一个二元基。

示例 1.11

参数化有助于找到其他向量空间的基，而不仅仅是齐次系统的解集。要找到 ${\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}$ 的这个子空间的基

$\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a+b-2c=0\}$

我们将条件改写为 $a=-b+2c$.

$\{{\begin{pmatrix}-b+2c&b\\c&0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,b,c\in \mathbb {R} \}=\{b{\begin{pmatrix}-1&1\\0&0\end{pmatrix}}+c{\begin{pmatrix}2&0\\1&0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,b,c\in \mathbb {R} \}$

因此，这是一个很好的基底候选。

$\langle {\begin{pmatrix}-1&1\\0&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2&0\\1&0\end{pmatrix}}\rangle$

以上证明表明它张成该空间。证明它线性无关是例行公事。

再考虑 例 1.2。它涉及两个验证。

首先，为了检查该集合是否线性无关，我们考察该集合成员的线性组合，其总和为零向量 $c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+c_{2}{\vec {\beta }}_{2}={\binom {0}{0}}$. resulting calculation shows that such a combination is unique, that $c_{1}$ must be $0$ and $c_{2}$ must be $0$.

第二个验证，即集合是否跨越空间，考察了总和为空间中任何成员的线性组合 $c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+c_{2}{\vec {\beta }}_{2}={\binom {x}{y}}$. 在例 1.2中，我们只注意到得到的计算表明这种组合存在，对于每个$x,y$，都有一个$c_{1},c_{2}$。然而，事实上，计算还表明该组合是唯一的：$c_{1}$必须是$(y-x)/2$，而$c_{2}$必须是$2x-y$.

也就是说，第一个计算是第二个计算的特例。下面的结果表明，对于跨越集合，这在一般情况下成立：总和为零向量的组合是唯一的，当且仅当总和为任何向量的组合是唯一的。

定理 1.12

在任何向量空间中，一个子集是基底，当且仅当空间中的每个向量可以以唯一的方式表示为该子集元素的线性组合。

我们认为，如果组合仅在加数顺序或形式为 "$0\cdot {\vec {\beta }}$" 的项的添加或删除方面有所不同，则这些组合相同。

证明

根据定义，一个序列是基底，当且仅当它的向量同时构成一个跨越集合和一个线性无关集合。一个子集是跨越集合，当且仅当空间中的每个向量都是该子集元素的线性组合，至少有一种方式。

因此，我们只需要证明，一个子集是线性无关的，当且仅当空间中的每个向量都是该子集元素的线性组合，至多有一种方式。考虑将一个向量表示为基底成员的线性组合的两个表达式。我们可以重新排列这两个和，如果需要，可以添加一些$0{\vec {\beta }}_{i}$项，以便这两个和以相同的顺序组合相同的${\vec {\beta }}$：${\vec {v}}=c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+c_{2}{\vec {\beta }}_{2}+\cdots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n}$ 和 ${\vec {v}}=d_{1}{\vec {\beta }}_{1}+d_{2}{\vec {\beta }}_{2}+\cdots +d_{n}{\vec {\beta }}_{n}$。现在

$c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+c_{2}{\vec {\beta }}_{2}+\cdots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n}=d_{1}{\vec {\beta }}_{1}+d_{2}{\vec {\beta }}_{2}+\cdots +d_{n}{\vec {\beta }}_{n}$

当且仅当

$(c_{1}-d_{1}){\vec {\beta }}_{1}+\dots +(c_{n}-d_{n}){\vec {\beta }}_{n}={\vec {0}}$

成立，因此断言下式中每个系数为零，等同于断言 $c_{i}=d_{i}$ 对于每个 $i$ 都成立。

定义 1.13

在一个以 $B$ 为基的向量空间中，${\vec {v}}$ 关于 $B$ 的表示 是将 ${\vec {v}}$ 表示为基向量线性组合时所用系数的列向量

${\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}})={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}$

其中 $B=\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ 以及 ${\vec {v}}=c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+c_{2}{\vec {\beta }}_{2}+\cdots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n}$。 $c$ 是 ${\vec {v}}$ 相对于 $B$ 的 **坐标**。

我们将在涉及多个基底的上下文中进行表示。为了帮助记账，我们通常会在列向量中添加一个下标 $B$。

示例 1.14

在 ${\mathcal {P}}_{3}$ 中，相对于基底 $B=\langle 1,2x,2x^{2},2x^{3}\rangle$，$x+x^{2}$ 的表示是

${\rm {Rep}}_{B}(x+x^{2})={\begin{pmatrix}0\\1/2\\1/2\\0\end{pmatrix}}_{B}$

（注意，坐标是标量，而不是向量）。相对于另一个基底 $D=\langle 1+x,1-x,x+x^{2},x+x^{3}\rangle$，表示是

${\rm {Rep}}_{D}(x+x^{2})={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}_{D}$

是不同的。

备注 1.15

使用列向量表示法和术语“坐标”既有弊端也有优点。

缺点是，表示看起来像来自$\mathbb {R} ^{n}$的向量，当我们处理的向量空间是$\mathbb {R} ^{n}$时，这可能会令人困惑，尤其是在我们有时省略下标基数的情况下。然后我们必须从上下文中推断意图。例如，“在$\mathbb {R} ^{2}$中，其中${\vec {v}}={\binom {3}{2}}$”指的是平面向量，当处于规范位置时，以$(3,2)$结束。为了找到该向量相对于基的坐标

$B=\langle {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}}\rangle$

我们解

$c_{1}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}$

得到$c_{1}=3$和$c_{2}=-1/2$。然后我们有这个。

${\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}})={\begin{pmatrix}3\\-1/2\end{pmatrix}}$

在这里，虽然我们省略了$B$的子下标，但从上下文中可以清楚地看出右侧是一个表示。

这种记号和“坐标”一词的好处是它们将我们熟悉的使用方式推广到了：在$\mathbb {R} ^{n}$中，并且相对于标准基${\mathcal {E}}_{n}$，从原点开始并以$(v_{1},\dots ,v_{n})$结束的向量具有此表示。

${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{n}}({\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}_{{\mathcal {E}}_{n}}$

我们将在第三章中主要使用表示。定义出现在这里是因为每个向量都是基向量以唯一方式的线性组合这一事实是基的关键属性，同时也是为了帮助说明两点。首先，我们为基元素的顺序进行固定，以便按照该顺序给出坐标。其次，为了计算坐标，以及其他目的，我们将注意力限制在具有有限个元素的基的空间。我们将在下一小节看到这一点。

练习

建议所有读者完成本练习。

问题 1

判断每个是否为 $\mathbb {R} ^{3}$ 的基。

1. $\langle {\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\rangle$
2. $\langle {\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}}\rangle$
3. $\langle {\begin{pmatrix}0\\2\\-1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\5\\0\end{pmatrix}}\rangle$
4. $\langle {\begin{pmatrix}0\\2\\-1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}}\rangle$

建议所有读者完成本练习。

问题 2

关于该基表示向量。

1. ${\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$, $B=\langle {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}\rangle \subseteq \mathbb {R} ^{2}$
2. $x^{2}+x^{3}$, $D=\langle 1,1+x,1+x+x^{2},1+x+x^{2}+x^{3}\rangle \subseteq {\mathcal {P}}_{3}$
3. ${\begin{pmatrix}0\\-1\\0\\1\end{pmatrix}}$, ${\mathcal {E}}_{4}\subseteq \mathbb {R} ^{4}$

问题 3

求 ${\mathcal {P}}_{2}$ 的基，即所有二次多项式空间。任何这样的基必须包含一个每个次数的多项式吗？～零次、一次和二次？

问题 4

求此系统的解集的基。

${\begin{array}{*{4}{rc}r}x_{1}&-&4x_{2}&+&3x_{3}&-&x_{4}&=&0\\2x_{1}&-&8x_{2}&+&6x_{3}&-&2x_{4}&=&0\end{array}}$

建议所有读者完成本练习。

问题 5

求 ${\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}$ 的基，即 $2\!\times \!2$ 矩阵的空间。

建议所有读者完成本练习。

问题 6

求每个子空间的基。

1. 子空间 $\{a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\,{\big |}\,a_{2}-2a_{1}=a_{0}\}$ 的 ${\mathcal {P}}_{2}$
2. 第一和第二个分量加起来为零的三列行向量空间
3. 这个 $2\!\times \!2$ 矩阵的子空间

   $\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}}\,{\big |}\,c-2b=0\}$

问题 7

检查示例 1.6。

建议所有读者完成本练习。

问题 8

找出每个集合的生成空间，然后找出该生成空间的基底。

1. $\{1+x,1+2x\}$ in ${\mathcal {P}}_{2}$
2. $\{2-2x,3+4x^{2}\}$ in ${\mathcal {P}}_{2}$

建议所有读者完成本练习。

问题 9

为三次多项式空间${\mathcal {P}}_{3}$的以下子空间找出基底。

1. 三次多项式$p(x)$的子空间，使得$p(7)=0$
2. 多项式$p(x)$的子空间，使得$p(7)=0$ and $p(5)=0$
3. 多项式$p(x)$的子空间，使得$p(7)=0$, $p(5)=0$, and~$p(3)=0$
4. 使得 $p(7)=0$, $p(5)=0$, $p(3)=0$，以及 $p(1)=0$的多项式空间 $p(x)$

问题 10

我们已经看到，一个基底在重新排序后仍然可以保持为基底。它总是保持基底吗？

问题 11

一个基底可以包含零向量吗？

建议所有读者完成本练习。

问题 12

设 $\langle {\vec {\beta }}_{1},{\vec {\beta }}_{2},{\vec {\beta }}_{3}\rangle$ 是一个向量空间的基底。

1. 证明 $\langle c_{1}{\vec {\beta }}_{1},c_{2}{\vec {\beta }}_{2},c_{3}{\vec {\beta }}_{3}\rangle$ 当 $c_{1},c_{2},c_{3}\neq 0$ 时是一个基底。当至少一个 $c_{i}$ 为 $0$ 时会发生什么？
2. 证明 $\langle {\vec {\alpha }}_{1},{\vec {\alpha }}_{2},{\vec {\alpha }}_{3}\rangle$ 是一个基底，其中 ${\vec {\alpha }}_{i}={\vec {\beta }}_{1}+{\vec {\beta }}_{i}$.

问题 13

找到一个向量 ${\vec {v}}$，使得每个向量都成为该空间的基底。

1. $\langle {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},{\vec {v}}\rangle$ 在 $\mathbb {R} ^{2}$
2. $\langle {\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\vec {v}}\rangle$ 在 $\mathbb {R} ^{3}$
3. $\langle x,1+x^{2},{\vec {v}}\rangle$ 在 ${\mathcal {P}}_{2}$

建议所有读者完成本练习。

问题 14

其中 $\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ 是一个基，证明在这个方程式中

$c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{k}{\vec {\beta }}_{k}=c_{k+1}{\vec {\beta }}_{k+1}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n}$

每一个 $c_{i}$ 都为零。推广。

问题 15

一个基包含一个向量空间中的一些向量；它能包含所有的向量吗？

问题 16

定理 1.12 表明，关于一个基，每一个线性组合都是唯一的。如果一个子集不是一个基，线性组合可能不唯一吗？如果是这样，它们必须不唯一吗？

建议所有读者完成本练习。

问题 17

如果对所有索引 $i$ 和 $j$，项 $i,j$ 等于项 $j,i$，则方阵为 **对称** 的。

1. 找到对称 $2\!\times \!2$ 矩阵的向量空间的基。
2. 找到对称 $3\!\times \!3$ 矩阵的向量空间的基。
3. 找到对称 $n\!\times \!n$ 矩阵空间的一组基。

建议所有读者完成本练习。

问题 18

我们可以证明，$\mathbb {R} ^{3}$ 的任何一组基都包含相同数量的向量。

1. 证明 $\mathbb {R} ^{3}$ 中任何线性无关子集都不包含超过三个向量。
2. 证明 $\mathbb {R} ^{3}$ 中任何生成子集都不包含少于三个向量。(提示：回顾如何计算一个集合的生成空间，并证明当应用于两个向量时，这种方法无法得到所有的 $\mathbb {R} ^{3}$。)

问题 19

子空间小节中的一个练习表明，集合

$\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x+y+z=1\}$

在这些运算下是一个向量空间。

${\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}+x_{2}-1\\y_{1}+y_{2}\\z_{1}+z_{2}\end{pmatrix}}\qquad r{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}rx-r+1\\ry\\rz\end{pmatrix}}$

找到一组基。

解答