线性代数/维度

在上一小节中，我们定义了向量空间的基底，我们看到一个空间可以有多个不同的基底。例如，根据基底的定义，我们看到了 $\mathbb {R} ^{2}$ 的三个不同的基底。因此，我们不能谈论一个向量空间的“基底”。诚然，一些向量空间的基底比其他基底更自然，例如，$\mathbb {R} ^{2}$ 的基底 ${\mathcal {E}}_{2}$ 或 $\mathbb {R} ^{3}$ 的基底 ${\mathcal {E}}_{3}$ 或 ${\mathcal {P}}_{2}$ 的基底 $\langle 1,x,x^{2}\rangle$。但是，例如在空间 $\{a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\,{\big |}\,2a_{2}-a_{0}=a_{1}\}$ 中，没有一个特别的基底最自然地显现出来。一般来说，我们不能将任何一个最能描述该空间的单一基底与空间相关联。

但是，我们可以找到一些关于基底的东西，它与空间唯一相关。本小节表明，任何两个空间的基底都具有相同数量的元素。因此，我们可以将一个数字与每个空间相关联，即任何一个基底中的向量数量。

这让我们回到了我们考虑“最小生成集”一词的两种含义时的情况。在那个时候，我们将“最小”定义为线性无关，但我们注意到，对该术语的另一个合理的解释是，当一个生成集具有与具有相同生成空间的任何集合的最少元素数量时，它就是“最小”的。在本小节的最后，在我们证明了所有基底都具有相同数量的元素之后，我们将证明“最小”的两种含义是等价的。

在我们开始之前，我们首先将注意力限制在至少有一个基底只有有限多个成员的空间上。

定义 2.1

如果一个向量空间有一个基底只有有限多个向量，则称该向量空间是 **有限维** 的。

（坚持使用有限维空间的一个原因是，这样，相对于一个基底的向量表示就是一个有限高度的向量，因此可以很容易地写出来。）从现在开始，我们只研究有限维向量空间。我们将使用“向量空间”一词来表示“有限维向量空间”。其他空间很有趣也很重要，但它们超出了我们的范围。

为了证明主要定理，我们将使用一个技术结果。

引理 2.2（交换引理）

假设$B=\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ 是向量空间的基，并且对于向量 ${\vec {v}}$，关系式 ${\vec {v}}=c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+c_{2}{\vec {\beta }}_{2}+\cdots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n}$ 有 $c_{i}\neq 0$。然后交换 ${\vec {\beta }}_{i}$ 为 ${\vec {v}}$ 会产生另一个空间的基。

证明

将交换的结果称为 ${\hat {B}}=\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{i-1},{\vec {v}},{\vec {\beta }}_{i+1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$.

我们首先证明 ${\hat {B}}$ 是线性无关的。 ${\hat {B}}$ 成员之间的任何关系式 $d_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +d_{i}{\vec {v}}+\dots +d_{n}{\vec {\beta }}_{n}={\vec {0}}$，在将 ${\vec {v}}$ 代入后，

$d_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +d_{i}\cdot (c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{i}{\vec {\beta }}_{i}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n})+\dots +d_{n}{\vec {\beta }}_{n}={\vec {0}}\qquad \qquad (*)$

给出了 $B$ 中成员之间的线性关系。基 $B$ 是线性无关的，所以 ${\vec {\beta }}_{i}$ 的系数 $d_{i}c_{i}$ 为零。因为假设 $c_{i}$ 不为零，所以 $d_{i}=0$。在上面的方程 $(*)$ 中使用此结果，表明所有其他 $d$ 也为零。因此 ${\hat {B}}$ 是线性无关的。

We finish by showing that ${\hat {B}}$ has the same span as $B$. Half of this argument, that $[{\hat {B}}]\subseteq [B]$, is easy; any member $d_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +d_{i}{\vec {v}}+\dots +d_{n}{\vec {\beta }}_{n}$ of $[{\hat {B}}]$ can be written $d_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +d_{i}\cdot (c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n})+\dots +d_{n}{\vec {\beta }}_{n}$, which is a linear combination of linear combinations of members of $B$, and hence is in $[B]$. For the $[B]\subseteq [{\hat {B}}]$ half of the argument, recall that when ${\vec {v}}=c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n}$ with $c_{i}\neq 0$, then the equation can be rearranged to ${\vec {\beta }}_{i}=(-c_{1}/c_{i}){\vec {\beta }}_{1}+\dots +(1/c_{i}){\vec {v}}+\dots +(-c_{n}/c_{i}){\vec {\beta }}_{n}$. Now, consider any member $d_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +d_{i}{\vec {\beta }}_{i}+\dots +d_{n}{\vec {\beta }}_{n}$ of $[B]$, substitute for ${\vec {\beta }}_{i}$ its expression as a linear combination of the members of ${\hat {B}}$, and recognize (as in the first half of this argument) that the result is a linear combination of linear combinations, of members of ${\hat {B}}$, and hence is in $[{\hat {B}}]$.

定理 2.3

在任何有限维向量空间中，所有基都具有相同数量的元素。

证明

固定一个至少有一个有限基的向量空间。在该空间的所有基中，选择一个具有最小大小的基 $B=\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$。我们将证明任何其他基 $D={\langle {\vec {\delta }}_{1},{\vec {\delta }}_{2},\ldots \rangle }$ 也具有相同数量的成员，即 $n$。因为 $B$ 具有最小大小，所以 $D$ 不少于 $n$ 个向量。我们将论证它不能超过 $n$ 个向量。

基底 $B$ 跨越了空间，而 ${\vec {\delta }}_{1}$ 属于该空间，所以 ${\vec {\delta }}_{1}$ 是 $B$ 中元素的非平凡线性组合。根据交换引理，${\vec {\delta }}_{1}$ 可以用 $B$ 中的一个向量进行交换，得到一个新的基底 $B_{1}$，其中一个元素是 ${\vec {\delta }}$，其余 $n-1$ 个元素都是 ${\vec {\beta }}$。

前一段形成归纳论证的基础步骤。归纳步骤从一个基础 $B_{k}$（对于 $1\leq k<n$）开始，其中包含 $k$ 个 $D$ 的成员和 $n-k$ 个 $B$ 的成员。我们知道 $D$ 至少有 $n$ 个成员，因此存在一个 ${\vec {\delta }}_{k+1}$。将它表示为 $B_{k}$ 的元素的线性组合。关键点：在该表示中，至少一个非零标量必须与 ${\vec {\beta }}_{i}$ 相关联，否则该表示将是线性无关集 $D$ 的元素之间的非平凡线性关系。用 ${\vec {\delta }}_{k+1}$ 替换 ${\vec {\beta }}_{i}$，得到一个新的基础 $B_{k+1}$，它比以前的基础 $B_{k}$ 多一个 ${\vec {\delta }}$，少一个 ${\vec {\beta }}$。

重复归纳步骤，直到没有${\vec {\beta }}$剩余，使得$B_{n}$包含${\vec {\delta }}_{1},\dots ,{\vec {\delta }}_{n}$。现在，$D$不能超过这些$n$个向量，因为任何${\vec {\delta }}_{n+1}$都将在$B_{n}$的生成空间内（因为它是基底），因此将是其他${\vec {\delta }}$的线性组合，这与$D$线性无关相矛盾。

定义 2.4

向量空间的维数是指其任意一个基底中的向量个数。

示例 2.5

任何$\mathbb {R} ^{n}$的基底包含$n$个向量，因为标准基底${\mathcal {E}}_{n}$包含$n$个向量。因此，该定义概括了术语的最常见用法，即$\mathbb {R} ^{n}$是$n$维的。

示例 2.6

最多 $n$ 次的多项式空间 ${\mathcal {P}}_{n}$ 的维数为 $n+1$。我们可以通过展示任何基底来证明这一点—— $\langle 1,x,\dots ,x^{n}\rangle$ 就映入脑海—— 然后计算它的成员数量。

示例 2.7

一个平凡空间是零维的，因为它的基底是空的。

同样，尽管我们有时会说“有限维”作为提醒，但在本书的其余部分，所有向量空间都假定为有限维。这一点的一个例子是，在接下来的结果中，“空间”一词应理解为“有限维向量空间”。

推论 2.8

任何线性无关集的大小都不能大于包含它的空间的维数。

证明

仔细检查上面的证明会发现，它从未使用过 $D$ 跨越空间，只使用过 $D$ 是线性无关的。

示例 2.9

回想一下上一节的子空间图，它展示了 $\mathbb {R} ^{3}$ 的子空间。每个显示的子空间都用一个最小跨越集描述，对于这个最小跨越集，我们现在有了“基底”这个术语。整个空间有一个具有三个成员的基底，平面子空间有具有两个成员的基底，直线子空间有具有一个成员的基底，而平凡子空间有一个具有零个成员的基底。当我们看到该图时，我们无法证明这些是该空间具有的唯一子空间。我们现在可以证明它。先前的推论证明了 $\mathbb {R} ^{3}$ 的唯一子空间要么是三维、二维、一维，要么是零维。因此，该图显示了所有子空间。不存在某种介于直线和平面之间的子空间。

推论 2.10

任何线性无关集都可以扩展为基底。

证明

如果一个线性无关集不是基底，那么它一定没有跨越空间。在其中添加一个不在其跨越范围内的向量会保持线性无关性。继续添加，直到生成的集合跨越空间，先前的推论表明这只需有限步即可完成。

推论 2.11

任何跨越集都可以缩减为基底。

证明

将跨越集称为 $S$。如果 $S$ 是空的，那么它已经是基底（空间必须是平凡空间）。如果 $S=\{{\vec {0}}\}$，那么它可以缩减为空基底，从而使其线性无关，而不会改变其跨越范围。

否则，$S$ 包含一个向量 ${\vec {s}}_{1}$ 且 ${\vec {s}}_{1}\neq {\vec {0}}$，我们可以形成一个基底 $B_{1}=\langle {\vec {s}}_{1}\rangle$。如果 $[B_{1}]=[S]$，那么我们就完成了。

如果不是，那么存在一个${\vec {s}}_{2}\in [S]$，使得${\vec {s}}_{2}\not \in [B_{1}]$。令$B_{2}=\langle {\vec {s}}_{1},{\vec {s_{2}}}\rangle$；如果$[B_{2}]=[S]$，那么我们就完成了。

我们可以重复这个过程，直到跨度相等，这最多需要有限步才能完成。

推论 2.12

在$n$ 维空间中，一组$n$ 个向量线性无关，当且仅当它们跨越整个空间。

证明

首先，我们将证明一个包含$n$ 个向量的子集线性无关，当且仅当它是一个基。 "如果" 显然是正确的——基是线性无关的。 "仅当" 成立是因为一个线性无关的集合可以扩展成一个基，但一个基有$n$ 个元素，所以这个扩展实际上就是我们开始的集合。

最后，我们将证明任何包含$n$ 个向量的子集跨越整个空间，当且仅当它是一个基。 再次，"如果" 是显然的。 "仅当" 成立是因为任何跨越集都可以缩减成一个基，但一个基有$n$ 个元素，因此这个缩减后的集合就是我们开始的集合。

本节的主要结果，即有限维向量空间中所有基都具有相同数量的元素，是本书中最重要的结果，因为正如例 2.9 所示，它描述了向量空间和子空间可能存在的方式。我们将在下一章中看到更多内容。

备注 2.13

无限维向量空间的情况存在争议。 "任何无限维向量空间都有一个基" 的陈述被证明等价于称为选择公理的陈述（参见 (Blass 1984)。数学家在是否将此陈述作为数学基础的公理存在哲学上的分歧（尽管绝大多数人似乎接受它）。因此，关于无限维向量空间的问题仍然存在争议。（关于选择公理的讨论可以在 Usenet 群组 sci.math 的常见问题解答列表中找到。另一个容易理解的参考文献是 (Rucker 1982)。

练习

除非另有说明，否则假设所有空间都是有限维的。

建议所有读者完成此练习。

问题 1

找出${\mathcal {P}}_{2}$ 的基和维度。

问题 2

找出此系统的解集的基和维度。

${\begin{array}{*{4}{rc}r}x_{1}&-&4x_{2}&+&3x_{3}&-&x_{4}&=&0\\2x_{1}&-&8x_{2}&+&6x_{3}&-&2x_{4}&=&0\end{array}}$

建议所有读者完成此练习。

问题 3

求 ${\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}$，即 $2\!\times \!2$ 矩阵的向量空间的基和维数。

问题 4

求矩阵向量空间的维数

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$

在每个条件下。

1. $a,b,c,d\in \mathbb {R}$
2. $a-b+2c=0$ 且 $d\in \mathbb {R}$
3. $a+b+c=0$，$a+b-c=0$ 且 $d\in \mathbb {R}$

建议所有读者完成此练习。

问题 5

求每个空间的维数。

1. 满足 $p(7)=0$ 的三次多项式 $p(x)$ 的空间。
2. 满足 $p(7)=0$ 且 $p(5)=0$ 的三次多项式 $p(x)$ 的空间。
3. 使得 $p(7)=0$，$p(5)=0$，以及 $p(3)=0$ 的三次多项式空间 $p(x)$
4. 使得 $p(7)=0$，$p(5)=0$，$p(3)=0$，以及 $p(1)=0$ 的三次多项式空间 $p(x)$

问题 6

集合 $\{\cos ^{2}\theta ,\sin ^{2}\theta ,\cos 2\theta ,\sin 2\theta \}$ 的生成空间的维数是多少？这个生成空间是所有单变量实值函数空间的子空间。

问题 7

求 $\mathbb {C} ^{47}$ 的维数，即 $47$ 元复数向量空间的维数。

问题 8

求 ${\mathcal {M}}_{3\!\times \!5}$ 的维数，即 $3\!\times \!5$ 矩阵的向量空间的维数。

建议所有读者完成此练习。

问题 9

证明这是 $\mathbb {R} ^{4}$ 的一个基。

$\langle {\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}}\rangle$

（本小节的结果可用于简化此工作。）

问题 10

参考 例 2.9。

1. 为 ${\mathcal {P}}_{2}$ 绘制一个类似的子空间图。
2. 绘制一个 ${\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}$。

建议所有读者完成此练习。

问题 11

其中 $S$ 是一个集合，函数 $f:S\to \mathbb {R}$ 在自然运算下形成一个向量空间：和 $f+g$ 是由 $(f+g)\,(s)=f(s)+g(s)$ 给出的函数，而标量积由 $(r\cdot f)\,(s)=r\cdot f(s)$ 给出。对于每个域，所得空间的维数是多少？

1. $S=\{1\}$
2. $S=\{1,2\}$
3. $S=\{1,\ldots ,n\}$

问题 12

（参见 问题 11。）证明这是一个无限维空间：所有函数 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ 在自然运算下的集合。

问题 13

（参见 问题 11。）当域 $S$ 为空集时，在自然运算下，函数 $f:S\to \mathbb {R}$ 的向量空间的维数是多少？

问题 14

证明 $\mathbb {R} ^{2}$ 中的任意四个向量线性相关。

问题 15

证明集合 $\langle {\vec {\alpha }}_{1},{\vec {\alpha }}_{2},{\vec {\alpha }}_{3}\rangle \subset \mathbb {R} ^{3}$ 是一个基当且仅当不存在通过原点的平面包含所有三个向量。

问题 16

1. 证明有限维空间的任何子空间都有一个基。
2. 证明有限维空间的任何子空间都是有限维的。

问题 17

在 定理 2.3 中，$B$ 的有限性在哪里使用？

建议所有读者完成此练习。

问题 18

证明如果 $U$ 和 $W$ 都是 $\mathbb {R} ^{5}$ 的三维子空间，那么 $U\cap W$ 不是平凡的。推广一下。

问题 19

因为空间的基是该空间的子集，所以我们自然地会想到“是基”这个性质如何与集合运算相互作用。

1. 首先考虑如何用“子集”关系来联系基。假设$U,W$ 是某个向量空间的子空间，并且$U\subseteq W$。是否存在$B_{U}$ 是$U$ 的基，而$B_{W}$ 是$W$ 的基，使得$B_{U}\subseteq B_{W}$？这样的基必须存在吗？对于$U$ 的任意基$B_{U}$，是否必须存在$B_{W}$ 是$W$ 的基，使得$B_{U}\subseteq B_{W}$？对于$W$ 的任意基$B_{W}$，是否必须存在$B_{U}$ 是$U$ 的基，使得$B_{U}\subseteq B_{W}$？对于$U$ 和$W$ 的任意基$B_{U},B_{W}$，是否必须有$B_{U}$ 是$B_{W}$ 的子集？
2. 基的交集是否也是基？如果是，是哪个空间的基？
3. 基的并集是否也是基？如果是，是哪个空间的基？
4. 补集呢？

（提示：用$\mathbb {R} ^{3}$ 的一些子空间来检验你的猜想。）

建议所有读者完成此练习。

问题 20

考虑“维数”如何与“子集”相互作用。假设 $U$ 和 $W$ 都是某个向量空间的子空间，并且 $U\subseteq W$.

1. 证明 $\dim(U)\leq \dim(W)$.
2. 证明维数相等当且仅当 $U=W$.
3. 证明如果它们是无限维的，则前面一项不成立。

? 问题 21

对于任何向量 ${\vec {v}}$ 在 $\mathbb {R} ^{n}$ 中，以及任何对数字 $1$，$2$，…，$n$ 的排列 $\sigma$（也就是说，$\sigma$ 是这些数字以新顺序排列的重排），定义 $\sigma ({\vec {v}})$ 为一个向量，其分量为 $v_{\sigma (1)}$，$v_{\sigma (2)}$，…，以及 $v_{\sigma (n)}$（其中 $\sigma (1)$ 是重新排列中的第一个数字，等等）。现在固定 ${\vec {v}}$ 并令 $V$ 为 $\{\sigma ({\vec {v}})\,{\big |}\,\sigma {\text{ permutes }}1,\ldots ,n\}$ 的生成空间。$V$ 的维数可能是什么？ (Gilbert, Krusemeyer & Larson 1993，问题 47)

解答

参考

• Blass, A. (1984), "存在基意味着选择公理", in Baumgartner, J. E. (ed.), 公理集合论, 普罗维登斯 RI: 美国数学学会, pp. 31–33.
• Rucker, Rudy (1982), 无穷与心灵, Birkhauser.
• Gilbert, George T.; Krusemeyer, Mark; Larson, Loren C. (1993), 沃哈斯库姆县问题集, 美国数学协会.