线性代数/基变换

向量或映射的表示形式，会随着基的不同而变化。例如，对于 ${\mathcal {E}}_{2}$ 和

$B=\langle {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}\rangle$

这两个基对 $\mathbb {R} ^{2}$，向量 ${\vec {e}}_{1}$ 具有两种不同的表示形式。

${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2}}({\vec {e}}_{1})={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\qquad {\rm {Rep}}_{B}({\vec {e}}_{1})={\begin{pmatrix}1/2\\1/2\end{pmatrix}}$

类似地，对于 ${\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}$ 和 ${\mathcal {E}}_{2},B$，恒等映射具有两种不同的表示形式。

${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}}({\text{id}})={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\qquad {\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},B}({\text{id}})={\begin{pmatrix}1/2&1/2\\1/2&-1/2\end{pmatrix}}$

从我们的观点来看，我们的研究对象是向量和映射，通过固定基，我们为这些对象采用了一种标记或命名的方案，这对于计算来说很方便。我们现在将看到如何在这些名称之间进行转换——我们将确切地看到表示形式如何随着基的变化而变化。