线性代数/向量表示转换

线性代数
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在将 ${\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}})$ 转换为 ${\rm {Rep}}_{D}({\vec {v}})$ 时，底层向量 ${\vec {v}}$ 不会改变。因此，这种转换是通过空间上的恒等映射来完成的，描述为域空间向量相对于 $B$ 表示，而陪域空间向量相对于 $D$ 表示。

(该图是垂直的，以便与下一小节中的图相符。)

定义 1.1

对于基 $B,D\subset V$ ，基变换矩阵是恒等映射 ${\mbox{id}}:V\to V$ 相对于这些基的表示。

{\rm {Rep}}_{B,D}({\mbox{id}})=\left({\begin{array}{c|c|c}\vdots &&\vdots \\{\rm {Rep}}_{D}({\vec {\beta }}_{1})&\;\cdots \;&{\rm {Rep}}_{D}({\vec {\beta }}_{n})\\\vdots &&\vdots \end{array}}\right)

引理 1.2

对于 $B,D$ 的基变换矩阵，左乘会将相对于 $B$ 的表示转换为相对于 $D$ 的表示。反之，如果左乘矩阵会改变基 $M\cdot {\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}})={\rm {Rep}}_{D}({\vec {v}})$ ，那么 $M$ 是基变换矩阵。

证明

对于第一个句子，对于每个 ${\vec {v}}$ ，因为矩阵-向量乘法代表映射的应用， ${\rm {Rep}}_{B,D}({\mbox{id}})\cdot {\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}})={\rm {Rep}}_{D}(\,{\mbox{id}}({\vec {v}})\,)={\rm {Rep}}_{D}({\vec {v}})$ 。对于第二个句子，关于 $B,D$ 矩阵 $M$ 表示某个线性映射，其作用是 ${\vec {v}}\mapsto {\vec {v}}$ ，因此它是恒等映射。

例 1.3

对于 $\mathbb {R} ^{2}$ ，这些基是：

B=\langle {\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\rangle \qquad D=\langle {\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\rangle

因为

{\rm {Rep}}_{D}(\,{\mbox{id}}({\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}))={\begin{pmatrix}-1/2\\3/2\end{pmatrix}}_{D}\qquad {\rm {Rep}}_{D}(\,{\mbox{id}}({\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}))={\begin{pmatrix}-1/2\\1/2\end{pmatrix}}_{D}

基变换矩阵为：

{\rm {Rep}}_{B,D}({\rm {id)={\begin{pmatrix}-1/2&-1/2\\3/2&1/2\end{pmatrix}}}}

我们可以通过寻找 ${\vec {e}}_{2}$

{\rm {Rep}}_{B}({\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}}\qquad {\rm {Rep}}_{D}({\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}1/2\\1/2\end{pmatrix}}

并验证转换是否符合预期。

{\begin{pmatrix}-1/2&-1/2\\3/2&1/2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1/2\\1/2\end{pmatrix}}

本小节最后，我们认识到基变换矩阵是熟悉的。

引理 1.4

一个矩阵是基变换矩阵当且仅当它是可逆的。

证明

一个方向是，如果左乘一个矩阵可以进行基变换，那么该矩阵表示一个可逆函数，因为只需将基变换回来就能得到该函数的逆。这样的矩阵本身是可逆的，因此是非奇异的。

最后，我们将证明任何非奇异矩阵 $M$ 从任何给定的起始基 $B$ 到某个最终基进行基变换。因为矩阵是非奇异的，它将通过高斯-约旦消元化为单位矩阵，所以存在一些初等变换矩阵使得 $R_{r}\cdots R_{1}\cdot M=I$ 。初等矩阵可逆，它们的逆也是初等矩阵，因此，从左边先乘以 ${R_{r}}^{-1}$ ，然后乘以 ${R_{r-1}}^{-1}$ ，等等，得到 $M$ 作为初等矩阵的乘积 $M={R_{1}}^{-1}\cdots {R_{r}}^{-1}$ 。因此，如果我们证明初等矩阵将给定的基变换为另一个基，那么我们就可以完成证明，因为这样 ${R_{r}}^{-1}$ 将 $B$ 变换为某个其他基 $B_{r}$ ，而 ${R_{r-1}}^{-1}$ 将 $B_{r}$ 变换为某个 $B_{r-1}$ ，…，最终效果是 $M$ 将 $B$ 变换为 $B_{1}$ 。我们将通过将三种类型作为单独的案例来证明关于初等矩阵的这个结论。

应用行乘矩阵

M_{i}(k){\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{i}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\kc_{i}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}

将关于 $\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{i},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ 的表示形式更改为关于 $\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,(1/k){\vec {\beta }}_{i},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ 的表示形式。

{\vec {v}}=c_{1}\cdot {\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{i}\cdot {\vec {\beta }}_{i}+\dots +c_{n}\cdot {\vec {\beta }}_{n}

\mapsto \;c_{1}\cdot {\vec {\beta }}_{1}+\dots +kc_{i}\cdot (1/k){\vec {\beta }}_{i}+\dots +c_{n}\cdot {\vec {\beta }}_{n}={\vec {v}}

类似地，左乘行交换矩阵 $P_{i,j}$ 会将相对于基底 $\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{i},\dots ,{\vec {\beta }}_{j},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ 的表示转换为相对于基底 $\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{j},\dots ,{\vec {\beta }}_{i},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ 的表示，以此方式。

{\vec {v}}=c_{1}\cdot {\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{i}\cdot {\vec {\beta }}_{i}+\dots +c_{j}{\vec {\beta }}_{j}+\dots +c_{n}\cdot {\vec {\beta }}_{n}

\mapsto \;c_{1}\cdot {\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{j}\cdot {\vec {\beta }}_{j}+\dots +c_{i}\cdot {\vec {\beta }}_{i}+\dots +c_{n}\cdot {\vec {\beta }}_{n}={\vec {v}}

而且，相对于 $\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{i},\dots ,{\vec {\beta }}_{j},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ 的表示通过左乘行组合矩阵 $C_{i,j}(k)$ 转换为相对于 $\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{i}-k{\vec {\beta }}_{j},\dots ,{\vec {\beta }}_{j},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ 的表示。

{\vec {v}}=c_{1}\cdot {\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{i}\cdot {\vec {\beta }}_{i}+c_{j}{\vec {\beta }}_{j}+\dots +c_{n}\cdot {\vec {\beta }}_{n}

\mapsto \;c_{1}\cdot {\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{i}\cdot ({\vec {\beta }}_{i}-k{\vec {\beta }}_{j})+\dots +(kc_{i}+c_{j})\cdot {\vec {\beta }}_{j}+\dots +c_{n}\cdot {\vec {\beta }}_{n}={\vec {v}}

(reduction matrix 的定义规定 $i\neq k$ 且 $k\neq 0$ ，因此最后一个是基底）。

推论 1.5

当且仅当矩阵关于一对基底表示恒等映射时，该矩阵为非奇异矩阵。

在下一小节中，我们将看到如何转换映射的表示，即如何将 ${\rm {Rep}}_{B,D}(h)$ 转换为 ${\rm {Rep}}_{{\hat {B}},{\hat {D}}}(h)$ 。上述推论是这种情况的特例，其中定义域和值域是同一个空间，映射是恒等映射。

练习

推荐所有读者练习这道题。

问题 1

在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中，其中

D=\langle {\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-2\\4\end{pmatrix}}\rangle

找到从 $D$ 到 ${\mathcal {E}}_{2}$ 的基底变换矩阵，以及从 ${\mathcal {E}}_{2}$ 到 $D$ 的基底变换矩阵。将这两个矩阵相乘。

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问题 2

找到 $B,D\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ 的基变换矩阵。

$B={\mathcal {E}}_{2}$ , $D=\langle {\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{1}\rangle$
$B={\mathcal {E}}_{2}$ , $D=\langle {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}}\rangle$
$B=\langle {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}}\rangle$ , $D={\mathcal {E}}_{2}$
$B=\langle {\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}\rangle$ , $D=\langle {\begin{pmatrix}0\\4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}\rangle$

问题 3

对于问题 2 中的基，找到另一个方向的基变换矩阵，从 $D$ 到 $B$ 。

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问题 4

找到每个 $B,D\subseteq {\mathcal {P}}_{2}$ 的基变换矩阵。

$B=\langle 1,x,x^{2}\rangle ,D=\langle x^{2},1,x\rangle$
$B=\langle 1,x,x^{2}\rangle ,D=\langle 1,1+x,1+x+x^{2}\rangle$
$B=\langle 2,2x,x^{2}\rangle ,D=\langle 1+x^{2},1-x^{2},x+x^{2}\rangle$

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问题 5

判断每个改变是否基于 $\mathbb {R} ^{2}$ 。 ${\mathcal {E}}_{2}$ 被改变到了哪个基底？

${\begin{pmatrix}5&0\\0&4\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}2&1\\3&1\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}-1&4\\2&-8\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}}$

问题 6

找到这样的基底，使得该矩阵关于这些基底表示为单位映射。

{\begin{pmatrix}3&1&4\\2&-1&1\\0&0&4\end{pmatrix}}

问题 7

考虑具有基底 $\langle \sin(x),\cos(x)\rangle$ 的实值函数向量空间。证明 $\langle 2\sin(x)+\cos(x),3\cos(x)\rangle$ 也是该空间的基底。找到每个方向的基底变换矩阵。

问题 8

该矩阵

{\begin{pmatrix}\cos(2\theta )&\sin(2\theta )\\\sin(2\theta )&-\cos(2\theta )\end{pmatrix}}

将 $\mathbb {R} ^{2}$ 的标准基送往哪里？还有其他基底吗？提示。考虑逆矩阵。

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问题 9

关于 $B,B$ 的基底变换矩阵是什么？

问题 10

证明矩阵改变基底当且仅当它可逆。

问题 11

完成引理 1.4 的证明。

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问题 12

令 $H$ 是一个 $n\!\times \!n$ 非奇异矩阵。 $H$ 将 $\mathbb {R} ^{n}$ 的哪个基底改变到了标准基底？

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问题 13

在 ${\mathcal {P}}_{3}$ 中，基底为 $B=\langle 1+x,1-x,x^{2}+x^{3},x^{2}-x^{3}\rangle$ ，我们有以下表示形式。
${\rm {Rep}}_{B}(1-x+3x^{2}-x^{3})={\begin{pmatrix}0\\1\\1\\2\end{pmatrix}}_{B}$
找到一个基底 $D$ ，使得对同一个多项式有不同的表示形式。
${\rm {Rep}}_{D}(1-x+3x^{2}-x^{3})={\begin{pmatrix}1\\0\\2\\0\end{pmatrix}}_{D}$
说明并证明任何非零向量表示都可以改变成任何其他表示形式。

提示： 引理 1.4 的证明是构造性的——它不仅说明了基底的改变，还展示了它们是如何改变的。

问题 14

设 $V,W$ 是向量空间，设 $B,{\hat {B}}$ 是 $V$ 的基底， $D,{\hat {D}}$ 是 $W$ 的基底。其中 $h:V\to W$ 是线性变换，求 ${\rm {Rep}}_{B,D}(h)$ 与 ${\rm {Rep}}_{{\hat {B}},{\hat {D}}}(h)$ 之间的公式。

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问题 15

证明一个 $n\!\times \!n$ 变换基矩阵的列向量构成 $\mathbb {R} ^{n}$ 的一个基。所有基都能以这种方式出现吗？也就是说，来自任何 $\mathbb {R} ^{n}$ 基的向量都能构成一个变换基矩阵的列向量吗？

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问题 16

找到一个具有此效果的矩阵。

{\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}\;\mapsto \;{\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}}

也就是说，找到一个 $M$ ，使其左乘起始向量得到目标向量。是否存在一个矩阵能够同时实现这两个效果？

${\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}2\\6\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}}$

给出是否存在矩阵使得 ${\vec {v}}_{1}\mapsto {\vec {w}}_{1}$ 且 ${\vec {v}}_{2}\mapsto {\vec {w}}_{2}$ 的必要充分条件。

解答

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