线性代数/改变映射表示/解答

解答

建议所有读者完成此练习。

问题 1

判断这些矩阵是否矩阵等价。

1. ${\begin{pmatrix}1&3&0\\2&3&0\end{pmatrix}}$, ${\begin{pmatrix}2&2&1\\0&5&-1\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}0&3\\1&1\end{pmatrix}}$, ${\begin{pmatrix}4&0\\0&5\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}1&3\\2&6\end{pmatrix}}$, ${\begin{pmatrix}1&3\\2&-6\end{pmatrix}}$

答案

1. 是，每个矩阵的秩都是 2。
2. 是，它们具有相同的秩。
3. 否，它们具有不同的秩。

建议所有读者完成此练习。

问题 2

找到每个矩阵的矩阵等价类对应的规范代表。

1. ${\begin{pmatrix}2&1&0\\4&2&0\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}0&1&0&2\\1&1&0&4\\3&3&3&-1\end{pmatrix}}$

答案

我们只需要确定每个矩阵的秩。

1. ${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}}$

问题 3

假设，关于

$B={\mathcal {E}}_{2}\qquad D=\langle {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}\rangle$

变换 $t:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ 由此矩阵表示。

${\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}$

使用基变换矩阵表示 $t$ 相对于每一对。

1. ${\hat {B}}=\langle {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\rangle$, ${\hat {D}}=\langle {\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}\rangle$
2. ${\hat {B}}=\langle {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\rangle$, ${\hat {D}}=\langle {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}\rangle$

答案

回顾图表和公式。

${\hat {T}}={\rm {Rep}}_{D,{\hat {D}}}({\mbox{id}})\cdot T\cdot {\rm {Rep}}_{{\hat {B}},B}({\mbox{id}})$

1. 这两个

   ${\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}=1\cdot {\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}}+1\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}=(-3)\cdot {\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}}+(-1)\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}$

   证明

   ${\rm {Rep}}_{D,{\hat {D}}}({\mbox{id}})={\begin{pmatrix}1&-3\\1&-1\end{pmatrix}}$

   类似地，这两个

   ${\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}=0\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+1\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}=1\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+1\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$

   给出另一个非奇异矩阵。

   ${\rm {Rep}}_{{\hat {B}},B}({\mbox{id}})={\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}}$

   那么答案是这个。

   ${\hat {T}}={\begin{pmatrix}1&-3\\1&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-10&-18\\-2&-4\end{pmatrix}}$

   虽然不严格需要，但检查令人放心。任意固定

   ${\vec {v}}={\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}$

   我们有

   ${\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}})={\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}_{B}\qquad {\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}_{B,D}{\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}_{B}={\begin{pmatrix}7\\17\end{pmatrix}}_{D}$

   所以 $t({\vec {v}})$ 是这个。

   $7\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}+17\cdot {\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}24\\-10\end{pmatrix}}$

   相对于${\hat {B}},{\hat {D}}$进行计算，从以下开始：

   ${\rm {Rep}}_{\hat {B}}({\vec {v}})={\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}}_{\hat {B}}\qquad {\begin{pmatrix}-10&-18\\-2&-4\end{pmatrix}}_{{\hat {B}},{\hat {D}}}{\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}}_{\hat {B}}={\begin{pmatrix}-44\\-10\end{pmatrix}}_{\hat {D}}$

   然后验证这个结果是否相同。

   $-44\cdot {\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}}-10\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}24\\-10\end{pmatrix}}$

2. 这两个

   ${\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}={\frac {1}{3}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}+{\frac {1}{3}}\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}=-1\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}+1\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}$

   证明

   ${\rm {Rep}}_{D,{\hat {D}}}({\mbox{id}})={\begin{pmatrix}1/3&-1\\1/3&1\end{pmatrix}}$

   这两个

   ${\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}=1\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+2\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}=-1\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+0\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$

   展示了这一点。

   ${\rm {Rep}}_{{\hat {B}},B}({\mbox{id}})={\begin{pmatrix}1&1\\2&0\end{pmatrix}}$

   有了这些，转换将按照以下方式进行。

   ${\hat {T}}={\begin{pmatrix}1/3&-1\\1/3&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\2&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-28/3&-8/3\\38/3&10/3\end{pmatrix}}$

   与前一项类似，检查可以帮助我们确信此计算没有错误。例如，我们可以固定向量

   ${\vec {v}}={\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}}$

   (这个向量是随机选择的)。现在我们有

   ${\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}})={\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}_{B,D}{\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}}_{B}={\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}}_{D}$

   因此 $t({\vec {v}})$ 是这个向量。

   $3\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}+5\cdot {\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}8\\-2\end{pmatrix}}$

   关于 ${\hat {B}},{\hat {D}}$，我们首先计算

   ${\rm {Rep}}_{\hat {B}}({\vec {v}})={\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}-28/3&-8/3\\38/3&10/3\end{pmatrix}}_{{\hat {B}},{\hat {D}}}{\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}}_{\hat {B}}={\begin{pmatrix}-4\\6\end{pmatrix}}_{\hat {D}}$

   并且，可以肯定的是，对于 $t({\vec {v}})$ 也是相同的结果。

   $-4\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}+6\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}8\\-2\end{pmatrix}}$

建议所有读者完成此练习。

问题 4

在等式 ${\hat {H}}=PHQ$ 中，$P$ 和 $Q$ 的尺寸是多少？

答案

其中 $H$ 和 ${\hat {H}}$ 是 $m\!\times \!n$，矩阵 $P$ 是 $m\!\times \!m$，而 $Q$ 是 $n\!\times \!n$。

建议所有读者完成此练习。

问题 5

使用 定理 2.6 来证明一个方阵是可逆的当且仅当它与单位矩阵等价。

答案

任何 $n\!\times \!n$ 矩阵是可逆的当且仅当它的秩为 $n$，也就是说，根据 定理 2.6，当且仅当它与 $n\!\times \!n$ 对角线全为 1 的矩阵等价。

建议所有读者完成此练习。

问题 6

证明，其中 $A$ 是一个可逆的方阵，如果 $P$ 和 $Q$ 是可逆的方阵，使得 $PAQ=I$，那么 $QP=A^{-1}$。

答案

如果 $PAQ=I$，那么 $QPAQ=Q$，所以 $QPA=I$，因此 $QP=A^{-1}$。

建议所有读者完成此练习。

问题 7

为什么 定理 2.6 没有表明每个矩阵都是可对角化的（见 示例 2.2）？

答案

根据 示例 2.2 后的定义，矩阵 $M$ 是可对角化的，如果它代表 $M={\rm {Rep}}_{B,D}(t)$ 一个变换，该变换具有以下性质：存在某个基 ${\hat {B}}$ 使得 ${\rm {Rep}}_{{\hat {B}},{\hat {B}}}(t)$ 是对角矩阵——起始和结束基必须相等。但 定理 2.6 只说明存在 ${\hat {B}}$ 和 ${\hat {D}}$，使得我们可以更改为 ${\rm {Rep}}_{{\hat {B}},{\hat {D}}}(t)$ 的表示并得到对角矩阵。我们没有理由怀疑我们可以选择两个 ${\hat {B}}$ 和 ${\hat {D}}$ 使得它们相等。

问题 8

矩阵等价矩阵必须有矩阵等价的转置吗？

答案

是的。行秩等于列秩，因此转置的秩等于矩阵的秩。大小相同的矩阵，如果秩相等，则是矩阵等价的。

问题 9

如果 $k=0$，定理 2.6 会发生什么？

答案

只有零矩阵的秩为零。

建议所有读者完成此练习。

问题 10

证明矩阵等价是一个等价关系。

答案

对于自反性，要证明任何矩阵都与其本身矩阵等价，取$P$ 和 $Q$ 为单位矩阵。对于对称性，如果 $H_{1}=PH_{2}Q$，则 $H_{2}=P^{-1}H_{1}Q^{-1}$（逆矩阵存在，因为 $P$ 和 $Q$ 是非奇异的）。最后，对于传递性，假设 $H_{1}=P_{2}H_{2}Q_{2}$ 并且 $H_{2}=P_{3}H_{3}Q_{3}$。然后代入得到 $H_{1}=P_{2}(P_{3}H_{3}Q_{3})Q_{2}=(P_{2}P_{3})H_{3}(Q_{3}Q_{2})$。非奇异矩阵的乘积是非奇异的（我们已经证明了可逆矩阵的乘积是可逆的；事实上，我们已经展示了如何计算逆矩阵），因此 $H_{1}$ 因此与 $H_{3}$ 矩阵等价。

建议所有读者完成此练习。

问题 11

证明零矩阵在其矩阵等价类中是唯一的。还有其他这样的矩阵吗？

答案

根据 定理 2.6，零矩阵在其类中是唯一的，因为它是在秩为零的 $m\!\times \!n$ 中唯一的矩阵。没有其他矩阵在其类中是唯一的；矩阵的任何非零标量积与该矩阵具有相同的秩。

问题 12

在 $\mathbb {R} ^{1}$ 上变换的矩阵的矩阵等价类是什么？$\mathbb {R} ^{3}$ 呢？

答案

有两种 $1\!\times \!1$ 矩阵的矩阵等价类——秩为零的类和秩为一的类。 $3\!\times \!3$ 矩阵分为四个矩阵等价类。

问题 13

有多少个矩阵等价类？

答案

对于 $m\!\times \!n$ 矩阵，存在对应于每个秩的类：其中 $k$ 是 $m$ 和 $n$ 的最小值，存在秩为 $0$，$1$，...，$k$ 的矩阵的类。总共有 $k+1$ 类。（当然，如果将所有尺寸的矩阵都加起来，我们会得到无限多个类。）

问题 14

矩阵等价类在标量乘法下封闭吗？在加法下封闭吗？

答案

它们在非零标量乘法下封闭，因为矩阵的非零标量倍数与该矩阵具有相同的秩。它们在加法下不封闭，例如，$H+(-H)$ 的秩为零。

问题 15

令 $t:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ 由 $T$ 相对于 ${\mathcal {E}}_{n},{\mathcal {E}}_{n}$ 表示。

1. 找到 ${\rm {Rep}}_{B,B}(t)$ 的具体情况。

   $T={\begin{pmatrix}1&1\\3&-1\end{pmatrix}}\qquad B=\langle {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}}\rangle$

2. 描述 ${\rm {Rep}}_{B,B}(t)$ 的一般情况，其中 $B=\langle {\vec {\beta }}_{1},\ldots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$。

答案

1. 我们有

   ${\rm {Rep}}_{B,{\mathcal {E}}_{2}}({\mbox{id}})={\begin{pmatrix}1&-1\\2&-1\end{pmatrix}}\qquad {\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},B}({\mbox{id}})={\rm {Rep}}_{B,{\mathcal {E}}_{2}}({\mbox{id}})^{-1}={\begin{pmatrix}1&-1\\2&-1\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}-1&1\\-2&1\end{pmatrix}}$

   因此，答案是。

   ${\rm {Rep}}_{B,B}(t)={\begin{pmatrix}1&-1\\2&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\3&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&1\\-2&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2&0\\-5&2\end{pmatrix}}$

   作为快速检查，我们可以随机取一个向量

   ${\vec {v}}={\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}}$

   得到

   ${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2}}({\vec {v}})={\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}1&1\\3&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}9\\7\end{pmatrix}}=t({\vec {v}})$

   而关于 $B,B$ 的计算

   ${\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}})={\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}-2&0\\-5&2\end{pmatrix}}_{B,B}{\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}}_{B}={\begin{pmatrix}-2\\-11\end{pmatrix}}_{B}$

   产生的结果相同。

   $-2\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}-11\cdot {\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}9\\7\end{pmatrix}}$

2. 我们有

   ${\rm {Rep}}_{B,B}(t)={\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},B}({\mbox{id}})\cdot T\cdot {\rm {Rep}}_{B,{\mathcal {E}}_{2}}({\mbox{id}})$

   并且，正如这个问题的第一条一样

   ${\rm {Rep}}_{B,{\mathcal {E}}_{2}}({\mbox{id}})=\left({\begin{array}{c|c|c}{\vec {\beta }}_{1}&\;\cdots \;&{\vec {\beta }}_{n}\end{array}}\right)\qquad {\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},B}({\mbox{id}})={\rm {Rep}}_{B,{\mathcal {E}}_{2}}({\mbox{id}})^{-1}$

   因此，将$Q$表示为以基向量为列的矩阵，我们有${\rm {Rep}}_{B,B}(t)=Q^{-1}TQ$。

问题16

1. 令$V$具有基$B_{1}$和$B_{2}$，并假设$W$具有基$D$。其中$h:V\to W$，求计算${\rm {Rep}}_{B_{2},D}(h)$的公式，从${\rm {Rep}}_{B_{1},D}(h)$中得到。
2. 重复前一个问题，使用$V$的一个基和$W$的两个基。

答案

1. 箭头图的改编形式如下。

   

   由于不需要在$W$中更改基（或者我们可以说基变换矩阵$P$是单位矩阵），我们有${\rm {Rep}}_{B_{2},D}(h)={\rm {Rep}}_{B_{1},D}(h)\cdot Q$，其中$Q={\rm {Rep}}_{B_{2},B_{1}}({\mbox{id}})$。
2. 箭头图如下。

   

   我们有 ${\rm {Rep}}_{B,D_{2}}(h)=P\cdot {\rm {Rep}}_{B,D_{1}}(h)$ 其中 $P={\rm {Rep}}_{D_{1},D_{2}}({\mbox{id}})$.

问题 17

1. 如果两个矩阵矩阵等价且可逆，那么它们的逆矩阵是否一定矩阵等价？
2. 如果两个矩阵的逆矩阵矩阵等价，那么这两个矩阵是否一定矩阵等价？
3. 如果两个矩阵是方阵且矩阵等价，那么它们的平方是否一定矩阵等价？
4. 如果两个矩阵是方阵且它们的平方矩阵等价，那么它们是否一定矩阵等价？

答案

1. 这是箭头图，以及该图用于逆函数的版本。

   是的，矩阵的逆矩阵表示映射的逆函数。也就是说，我们可以通过向上、向左、向下移动来从右下角移动到左下角。换句话说，当 ${\hat {H}}=PHQ$（以及 $P,Q$ 可逆）并且 $H,{\hat {H}}$ 可逆时，那么 ${\hat {H}}^{-1}=Q^{-1}H^{-1}P^{-1}$.

2. 是的；这与之前部分相同，只是用不同的术语表达。
3. 不，我们需要另一个假设：如果 $H$ 表示 $h$ 相对于相同的起始和结束基 $B,B$，对于某些 $B$ 那么 $H^{2}$ 表示 $h\circ h$。举个具体的例子，这两个矩阵都是秩为一的，因此它们矩阵等价

   ${\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}$

   但它们的平方矩阵不等价 - 第一个矩阵的平方秩为一，而第二个矩阵的平方秩为零。
4. 不。这两个矩阵不等价，但它们的平方矩阵矩阵等价。

   ${\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}$

建议所有读者完成此练习。

问题 18

如果方阵表示同一个变换，但每个方阵相对于相同的结束基和起始基，那么它们是相似的。也就是说，${\rm {Rep}}_{B_{1},B_{1}}(t)$ 与 ${\rm {Rep}}_{B_{2},B_{2}}(t)$ 相似。

1. 给出矩阵相似性的定义，类似于定义 2.3。
2. 证明相似矩阵是矩阵等价的。
3. 证明相似性是一种等价关系。
4. 证明如果$T$ 与 ${\hat {T}}$ 相似，那么 $T^{2}$ 与 ${\hat {T}}^{2}$ 相似，立方也是，等等。与前面的练习对比。
5. 证明存在矩阵等价但并不相似的矩阵。

答案

1. 这个定义由相应的箭头图给出。

   

   如果存在一个非奇异矩阵 $P$ 使得 ${\hat {T}}=P^{-1}TP$，则称矩阵 $T,{\hat {T}}$ **相似**。
2. 取 $P^{-1}$ 为 $P$，取 $P$ 为 $Q$。
3. 这与问题 10 中的情况相同。 反身性是显而易见的：$T=I^{-1}TI$。对称性也很容易：${\hat {T}}=P^{-1}TP$ 意味着 $T=P{\hat {T}}P^{-1}$（将第一个方程从右边乘以 $P^{-1}$，从左边乘以 $P$）。对于传递性，假设 $T_{1}={P_{2}}^{-1}T_{2}P_{2}$ 并且 $T_{2}={P_{3}}^{-1}T_{3}P_{3}$。那么 $T_{1}={P_{2}}^{-1}({P_{3}}^{-1}T_{3}P_{3})P_{2}=({P_{2}}^{-1}{P_{3}}^{-1})T_{3}(P_{3}P_{2})$，我们注意到 $P_{3}P_{2}$ 是一个可逆矩阵，其逆矩阵为 ${P_{2}}^{-1}{P_{3}}^{-1}$，我们完成了证明。
4. 假设 ${\hat {T}}=P^{-1}TP$。对于平方：${\hat {T}}^{2}=(P^{-1}TP)(P^{-1}TP)=P^{-1}T(PP^{-1})TP=P^{-1}T^{2}P$。更高的幂可以通过归纳法得出。
5. 这两个矩阵是等价的，但它们的平方不是等价的。

   ${\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}$

   根据前一项，矩阵相似性和矩阵等价性是不同的。