线性代数/向量表示的改变/解答

解答

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问题1

在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中，其中

D=\langle {\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-2\\4\end{pmatrix}}\rangle

求从 $D$ 到 ${\mathcal {E}}_{2}$ 以及从 ${\mathcal {E}}_{2}$ 到 $D$ 的基变换矩阵。将这两个矩阵相乘。

答案

为了将矩阵从基 $D$ 变换到基 ${\mathcal {E}}_{2}$ ，我们需要满足 ${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2}}({\mbox{id}}({\vec {\delta }}_{1}))={\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2}}({\vec {\delta }}_{1})$ 以及 ${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2}}({\mbox{id}}({\vec {\delta }}_{2}))={\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2}}({\vec {\delta }}_{2})$ 。当然，在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中，关于标准基的向量表示非常简单。

{\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2}}({\vec {\delta }}_{1})={\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}\qquad {\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2}}({\vec {\delta }}_{2})={\begin{pmatrix}-2\\4\end{pmatrix}}

将这两个向量拼接起来作为基变换矩阵的列，得到以下结果。

{\rm {Rep}}_{D,{\mathcal {E}}_{2}}({\mbox{id}})={\begin{pmatrix}2&-2\\1&4\end{pmatrix}}

另一个方向上的基变换矩阵可以通过计算 ${\rm {Rep}}_{D}({\mbox{id}}({\vec {e}}_{1}))={\rm {Rep}}_{D}({\vec {e}}_{1})$ 和 ${\rm {Rep}}_{D}({\mbox{id}}({\vec {e}}_{2}))={\rm {Rep}}_{D}({\vec {e}}_{2})$ （这个过程是常规的），或者可以通过取上面矩阵的逆来找到。由于 $2\!\times \!2$ 矩阵的逆的公式，这很容易。

{\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},D}({\mbox{id}})={\frac {1}{10}}\cdot {\begin{pmatrix}4&2\\-1&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4/10&2/10\\-1/10&2/10\end{pmatrix}}

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问题 2

找到 $B,D\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ 的基变换矩阵。

$B={\mathcal {E}}_{2}$ ， $D=\langle {\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{1}\rangle$
$B={\mathcal {E}}_{2}$ ， $D=\langle {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}}\rangle$
$B=\langle {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}}\rangle$ ， $D={\mathcal {E}}_{2}$
$B=\langle {\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}\rangle$ , $D=\langle {\begin{pmatrix}0\\4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}\rangle$

答案

在每种情况下，列向量 ${\rm {Rep}}_{D}({\mbox{id}}({\vec {\beta }}_{1}))={\rm {Rep}}_{D}({\vec {\beta }}_{1})$ 和 ${\rm {Rep}}_{D}({\mbox{id}}({\vec {\beta }}_{2}))={\rm {Rep}}_{D}({\vec {\beta }}_{2})$ 连接起来构成基变换矩阵 ${\rm {Rep}}_{B,D}({\mbox{id}})$ 。

${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}2&-1/2\\-1&1/2\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}1&1\\2&4\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}}$

问题 3

对于问题 2中的基，求另一个方向的基变换矩阵，从 $D$ 到 $B$ 。

答案

一种方法是找到 ${\rm {Rep}}_{B}({\vec {\delta }}_{1})$ 和 ${\rm {Rep}}_{B}({\vec {\delta }}_{2})$ ，然后将它们连接到所需基变换矩阵的列中。另一种方法是找到回答问题 2的矩阵的逆。

${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}1&1\\2&4\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}2&-1/2\\-1&1/2\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}$

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问题 4

找到每个 $B,D\subseteq {\mathcal {P}}_{2}$ 的基变换矩阵。

$B=\langle 1,x,x^{2}\rangle ,D=\langle x^{2},1,x\rangle$
$B=\langle 1,x,x^{2}\rangle ,D=\langle 1,1+x,1+x+x^{2}\rangle$
$B=\langle 2,2x,x^{2}\rangle ,D=\langle 1+x^{2},1-x^{2},x+x^{2}\rangle$

答案

列向量表示 ${\rm {Rep}}_{D}({\mbox{id}}({\vec {\beta }}_{1}))={\rm {Rep}}_{D}({\vec {\beta }}_{1})$ ， ${\rm {Rep}}_{D}({\mbox{id}}({\vec {\beta }}_{2}))={\rm {Rep}}_{D}({\vec {\beta }}_{2})$ 和 ${\rm {Rep}}_{D}({\mbox{id}}({\vec {\beta }}_{3}))={\rm {Rep}}_{D}({\vec {\beta }}_{3})$ 构成了基变换矩阵 ${\rm {Rep}}_{B,D}({\mbox{id}})$ 。

${\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}1&-1&0\\0&1&-1\\0&0&1\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}1&-1&1/2\\1&1&-1/2\\0&2&0\end{pmatrix}}$

例如，对于第一个矩阵的第一列， $1=0\cdot x^{2}+1\cdot 1+0\cdot x$ 。

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问题 5

判断每个矩阵是否改变了 $\mathbb {R} ^{2}$ 中的基。 ${\mathcal {E}}_{2}$ 被改变成了什么基？

${\begin{pmatrix}5&0\\0&4\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}2&1\\3&1\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}-1&4\\2&-8\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}}$

答案

当且仅当矩阵是非奇异的，它才会改变基。

该矩阵是非奇异的，因此改变了基。找到 ${\mathcal {E}}_{2}$ 被改变成的基，意味着找到 $D$ ，使得
${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},D}({\mbox{id}})={\begin{pmatrix}5&0\\0&4\end{pmatrix}}$
根据矩阵如何表示线性映射的定义，我们得到了这个结果。

${\rm {Rep}}_{D}({\mbox{id}}({\vec {e}}_{1}))={\rm {Rep}}_{D}({\vec {e}}_{1})={\begin{pmatrix}5\\0\end{pmatrix}}\qquad {\rm {Rep}}_{D}({\mbox{id}}({\vec {e}}_{2}))={\rm {Rep}}_{D}({\vec {e}}_{2})={\begin{pmatrix}0\\4\end{pmatrix}}$
其中
$D=\langle {\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{pmatrix}}\rangle$
我们可以求解该方程组
${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}=5{\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}+0{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{1}\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}=0{\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}+4{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{1}\end{pmatrix}}$
或者根据（引理 1.4 的证明）直接得出答案。
$D=\langle {\begin{pmatrix}1/5\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1/4\end{pmatrix}}\rangle$
是的，该矩阵是非奇异的，因此可以改变基。为了计算 $D$ ，我们像上面一样继续进行，
$D=\langle {\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{pmatrix}}\rangle$
求解
${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}=2{\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}+3{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{1}\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}=1{\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}+1{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{1}\end{pmatrix}}$
并得到以下结果。
$D=\langle {\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}}\rangle$
否，该矩阵不是基变换矩阵，因为它是非奇异的。
是，该矩阵是基变换矩阵，因为它是非奇异的。改变基后的计算如上。

$D=\langle {\begin{pmatrix}1/2\\-1/2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1/2\\1/2\end{pmatrix}}\rangle$

问题 6

找到这样的基，使得该矩阵相对于这些基表示恒等映射。

{\begin{pmatrix}3&1&4\\2&-1&1\\0&0&4\end{pmatrix}}

答案

这个问题有很多不同的解法。一种解决方法是为任何空间构建一个基 $B$ ，然后计算相应的 $D$ （当然，必须是在同一个空间中）。另一种更简单的方法是将陪域固定为 $\mathbb {R} ^{3}$ ，并将陪域基固定为 ${\mathcal {E}}_{3}$ 。这样（回想一下，任何向量相对于标准基的表示就是向量本身），我们就得到了这个。

B=\langle {\begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}4\\1\\4\end{pmatrix}}\rangle \qquad D={\mathcal {E}}_{3}

问题 7

考虑具有基 $\langle \sin(x),\cos(x)\rangle$ 的实值函数向量空间。证明 $\langle 2\sin(x)+\cos(x),3\cos(x)\rangle$ 也是该空间的基。找到每个方向上的基变换矩阵。

答案

验证 $B=\langle 2\sin(x)+\cos(x),3\cos(x)\rangle$ 是否为一个基是常规操作。将自然基称为 $D$ 。为了计算基变换矩阵 ${\rm {Rep}}_{B,D}({\mbox{id}})$ ，我们必须找到 ${\rm {Rep}}_{D}(2\sin(x)+\cos(x))$ 和 ${\rm {Rep}}_{D}(3\cos(x))$ ，也就是说，我们需要 $x_{1},y_{1},x_{2},y_{2}$ 使得这些等式成立。

{\begin{array}{rl}x_{1}\cdot \sin(x)+y_{1}\cdot \cos(x)&=2\sin(x)+\cos(x)\\x_{2}\cdot \sin(x)+y_{2}\cdot \cos(x)&=3\cos(x)\end{array}}

显然，答案是。

{\rm {Rep}}_{B,D}({\mbox{id}})={\begin{pmatrix}2&0\\1&3\end{pmatrix}}

对于另一个方向的基变换矩阵，我们可以通过求解以下方程找到 ${\rm {Rep}}_{B}(\sin(x))$ 和 ${\rm {Rep}}_{B}(\cos(x))$ 。

{\begin{array}{rl}w_{1}\cdot (2\sin(x)+\cos(x))+z_{1}\cdot (3\cos(x))&=\sin(x)\\w_{2}\cdot (2\sin(x)+\cos(x))+z_{2}\cdot (3\cos(x))&=\cos(x)\end{array}}

一种更简单的方法是找到上面找到的矩阵的逆矩阵。

{\rm {Rep}}_{D,B}({\mbox{id}})={\begin{pmatrix}2&0\\1&3\end{pmatrix}}^{-1}={\frac {1}{6}}\cdot {\begin{pmatrix}3&0\\-1&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1/2&0\\-1/6&1/3\end{pmatrix}}

问题 8

这个矩阵

{\begin{pmatrix}\cos(2\theta )&\sin(2\theta )\\\sin(2\theta )&-\cos(2\theta )\end{pmatrix}}

将 $\mathbb {R} ^{2}$ 的标准基映射到哪里？其他任何基？ *提示：*考虑逆变换。

答案

我们首先取矩阵的逆，即确定目标映射的逆映射是什么。

{\rm {Rep}}_{D,{\mathcal {E}}_{2}}({\mbox{id}}){\rm {Rep}}_{D,{\mathcal {E}}_{2}}({\mbox{id}})^{-1}={\frac {1}{-\cos ^{2}(2\theta )-\sin ^{2}(2\theta )}}\cdot {\begin{pmatrix}-\cos(2\theta )&-\sin(2\theta )\\-\sin(2\theta )&\cos(2\theta )\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos(2\theta )&\sin(2\theta )\\\sin(2\theta )&-\cos(2\theta )\end{pmatrix}}

这比反向表示更容易处理，因为此矩阵是这两个列向量的串联

{\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2}}({\vec {\delta }}_{1})={\begin{pmatrix}\cos(2\theta )\\\sin(2\theta )\end{pmatrix}}\qquad {\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2}}({\vec {\delta }}_{2})={\begin{pmatrix}\sin(2\theta )\\-\cos(2\theta )\end{pmatrix}}

并且关于 ${\mathcal {E}}_{2}$ 的表示是清晰的。

{\vec {\delta }}_{1}={\begin{pmatrix}\cos(2\theta )\\\sin(2\theta )\end{pmatrix}}\qquad {\vec {\delta }}_{2}={\begin{pmatrix}\sin(2\theta )\\-\cos(2\theta )\end{pmatrix}}

这幅图描绘了将 $D$ 变换到 ${\mathcal {E}}_{2}$ 的映射的作用（再次强调，它是这个问题答案中映射的逆）。该直线与 $x$ 轴的夹角为 $\theta$ 。

此映射将向量关于该直线进行反射。由于反射是自身逆运算，因此问题的答案是：原始映射关于过原点且仰角为 $\theta$ 的直线进行反射。（当然，它对任何基都执行此操作。）

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问题 9

关于 $B,B$ 的基变换矩阵是什么？

答案

适当大小的单位矩阵。

问题 10

证明矩阵改变基当且仅当它是可逆的。

答案

当且仅当矩阵是非奇异的时，两者都成立。

问题 11

完成引理 1.4的证明。

答案

剩下的需要证明的是，左乘一个化简矩阵表示从另一个基到 $B=\langle {\vec {\beta }}_{1},\ldots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ 的变换。

应用行乘法矩阵 $M_{i}(k)$ 将关于基 $\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,k{\vec {\beta }}_{i},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ 的表示变换到关于 $B$ 的表示，如这里所示。

{\vec {v}}=c_{1}\cdot {\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{i}\cdot (k{\vec {\beta }}_{i})+\dots +c_{n}\cdot {\vec {\beta }}_{n}\;\mapsto \;c_{1}\cdot {\vec {\beta }}_{1}+\dots +(kc_{i})\cdot {\vec {\beta }}_{i}+\dots +c_{n}\cdot {\vec {\beta }}_{n}={\vec {v}}

应用行交换矩阵 $P_{i,j}$ 将关于 $\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{j},\dots ,{\vec {\beta }}_{i},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ 的表示转换为关于 $\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{i},\dots ,{\vec {\beta }}_{j},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ 的表示。最后，应用行组合矩阵 $C_{i,j}(k)$ 将关于 $\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{i}+k{\vec {\beta }}_{j},\dots ,{\vec {\beta }}_{j},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ 的表示转换为关于 $B$ 的表示。

{\vec {v}}=c_{1}\cdot {\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{i}\cdot ({\vec {\beta }}_{i}+k{\vec {\beta }}_{j})+\dots +c_{j}{\vec {\beta }}_{j}+\dots +c_{n}\cdot {\vec {\beta }}_{n}

\mapsto \;c_{1}\cdot {\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{i}\cdot {\vec {\beta }}_{i}+\dots +(kc_{i}+c_{j})\cdot {\vec {\beta }}_{j}+\dots +c_{n}\cdot {\vec {\beta }}_{n}={\vec {v}}

(如同本小节正文中证明部分，行操作的各种条件，例如标量 $k$ 非零，确保这些都是基。)

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习题 12

令 $H$ 为一个 $n\!\times \!n$ 非奇异矩阵。 $H$ 将 $\mathbb {R} ^{n}$ 的哪个基变换为标准基？

答案

将 $H$ 作为基变换矩阵 $H={\rm {Rep}}_{B,{\mathcal {E}}_{n}}({\mbox{id}})$ ，它的列为

{\begin{pmatrix}h_{1,i}\\\vdots \\h_{n,i}\end{pmatrix}}={\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{n}}({\mbox{id}}({\vec {\beta }}_{i}))={\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{n}}({\vec {\beta }}_{i})

并且，由于相对于标准基的表示是透明的，我们有以下结果。

{\begin{pmatrix}h_{1,i}\\\vdots \\h_{n,i}\end{pmatrix}}={\vec {\beta }}_{i}

也就是说，基是**由** $H$ 的列**组成**的那一个。

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问题 13

在**以** ${\mathcal {P}}_{3}$ **为向量空间，且** $B=\langle 1+x,1-x,x^{2}+x^{3},x^{2}-x^{3}\rangle$ **为其基**，我们有以下表示。
${\rm {Rep}}_{B}(1-x+3x^{2}-x^{3})={\begin{pmatrix}0\\1\\1\\2\end{pmatrix}}_{B}$
找到一个基 $D$ ，使得对于同一个多项式，给出以下不同的表示。
${\rm {Rep}}_{D}(1-x+3x^{2}-x^{3})={\begin{pmatrix}1\\0\\2\\0\end{pmatrix}}_{D}$
说明并证明任何非零向量表示都可以更改为任何其他表示。

提示。 引理 1.4 的证明是**具有建设性的**——它不仅说明基会发生变化，还展示了它们是如何变化的。

答案

我们可以通过一系列行操作将起始向量表示更改为结束向量表示。证明告诉我们基是如何变化的。我们首先交换相对于 $B$ 的向量表示的第一行和第二行，以获得相对于新基 $B_{1}$ 的表示。
${\rm {Rep}}_{B_{1}}(1-x+3x^{2}-x^{3})={\begin{pmatrix}1\\0\\1\\2\end{pmatrix}}_{B_{1}}\qquad B_{1}=\langle 1-x,1+x,x^{2}+x^{3},x^{2}-x^{3}\rangle$
接下来，我们将向量表示的第三行的 $-2$ 倍加到第四行。

${\rm {Rep}}_{B_{3}}(1-x+3x^{2}-x^{3})={\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}}_{B_{2}}\qquad B_{2}=\langle 1-x,1+x,3x^{2}-x^{3},x^{2}-x^{3}\rangle$
（ $B_{2}$ 的第三个元素是 $B_{1}$ 的第三个元素减去 $-2$ 乘以 $B_{1}$ 的第四个元素的结果。）现在我们可以通过将第三行乘以2来完成。
${\rm {Rep}}_{D}(1-x+3x^{2}-x^{3})={\begin{pmatrix}1\\0\\2\\0\end{pmatrix}}_{D}\qquad D=\langle 1-x,1+x,(3x^{2}-x^{3})/2,x^{2}-x^{3}\rangle$
Here are three different approaches to stating such a result. The first is the assertion: where $V$ is a vector space with basis $B$ and ${\vec {v}}\in V$ is nonzero, for any nonzero column vector ${\vec {z}}$ (whose number of components equals the dimension of $V$ ) there is a change of basis matrix $M$ such that $M\cdot {\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}})={\vec {z}}$ . The second possible statement: for any ( $n$ -dimensional) vector space $V$ and any nonzero vector ${\vec {v}}\in V$ , where ${\vec {z}}_{1},{\vec {z}}_{2}\in \mathbb {R} ^{n}$ are nonzero, there are bases $B,D\subset V$ such that ${\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}})={\vec {z}}_{1}$ and ${\rm {Rep}}_{D}({\vec {v}})={\vec {z}}_{2}$ . The third is: for any nonzero ${\vec {v}}$ member of any vector space (of dimension $n$ ) and any nonzero column vector (with $n$ components) there is a basis such that ${\vec {v}}$ is represented with respect to that basis by that column vector. The first and second statements follow easily from the third. The first follows because the third statement gives a basis $D$ such that ${\rm {Rep}}_{D}({\vec {v}})={\vec {z}}$ and then ${\rm {Rep}}_{B,D}({\mbox{id}})$ is the desired $M$ . The second follows from the third because it is just a doubled application of it. A way to prove the third is as in the answer to the first part of this question. Here is a sketch. Represent ${\vec {v}}$ with respect to any basis $B$ with a column vector ${\vec {z}}_{1}$ . This column vector must have a nonzero component because ${\vec {v}}$ is a nonzero vector. Use that component in a sequence of row operations to convert ${\vec {z}}_{1}$ to ${\vec {z}}$ . (This sketch could be filled out as an induction argument on the dimension of $V$ .)

问题 14

设 $V,W$ 为向量空间，且 $B,{\hat {B}}$ 为 $V$ 的基， $D,{\hat {D}}$ 为 $W$ 的基。其中 $h:V\to W$ 是线性变换，求一个将 ${\rm {Rep}}_{B,D}(h)$ 与 ${\rm {Rep}}_{{\hat {B}},{\hat {D}}}(h)$ 联系起来的公式。

答案

这是下一小节的主题。

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问题 15

证明一个 $n\!\times \!n$ 变基矩阵的列构成 $\mathbb {R} ^{n}$ 的一个基。所有基都以这种方式出现吗？即，来自 $\mathbb {R} ^{n}$ 任何一个基的向量能否构成一个变基矩阵的列？

答案

变基矩阵是非奇异的，因此其秩等于其列数。因此，其列集是 $\mathbb {R} ^{n}$ 中大小为 $n$ 的一个线性无关子集，因此它是一个基。后半部分的答案也是“是”；前一句中的所有蕴含关系都反过来（即，前一句中的所有“如果……那么……”部分都转换为“当且仅当”部分）。

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问题 16

找到一个具有此效果的矩阵。

{\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}\;\mapsto \;{\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}}

也就是说，找到一个 $M$ ，使其左乘起始向量得到结束向量。是否存在一个矩阵具有这两个效果？

${\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}2\\6\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}}$

给出存在一个矩阵使得 ${\vec {v}}_{1}\mapsto {\vec {w}}_{1}$ 和 ${\vec {v}}_{2}\mapsto {\vec {w}}_{2}$ 的充要条件。

答案

针对问题的前半部分，存在无限多个这样的矩阵。其中一个矩阵表示关于 ${\mathcal {E}}_{2}$ 的 $\mathbb {R} ^{2}$ 的此变换。

{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}0\\-1/3\end{pmatrix}}

指定两个不同的输入/输出对的问题有点棘手。矩阵具有线性作用这一事实排除了某些可能性。

是的，存在这样的矩阵。这些条件
${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}}$
可以求解
${\begin{array}{*{4}{rc}r}a&+&3b&&&&&=&1\\&&&&c&+&3d&=&1\\2a&-&b&&&&&=&-1\\&&&&2c&-&d&=&-1\end{array}}$
得到这个矩阵。
${\begin{pmatrix}-2/7&3/7\\-2/7&3/7\end{pmatrix}}$
不，因为
$2\cdot {\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\6\end{pmatrix}}\quad {\text{but}}\quad 2\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}}$
没有线性作用可以产生这种效果。
一个充分条件是 $\{{\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2}\}$ 线性无关，但这并不是一个必要条件。一个充要条件是，起始向量之间的任何线性相关性也出现在结束向量之间。也就是说，
$c_{1}{\vec {v}}_{1}+c_{2}{\vec {v}}_{2}={\vec {0}}\quad {\text{implies}}\quad c_{1}{\vec {w}}_{1}+c_{2}{\vec {w}}_{2}={\vec {0}}.$
这个条件的证明是常规的。