线性代数/列空间和行空间

列空间 是研究 m x n 矩阵时一个重要的向量空间。如果我们将矩阵乘法视为向量经历的一种变换，那么零空间和列空间是理解这种变换运作方式的两个自然向量集合。虽然零空间专注于在矩阵作用下消失的向量（即 Ax = 0 的解），但列空间对应于变换后的向量本身（即所有 Ax）。它是变换后所有向量的集合。那些研究过抽象代数的读者可以将零空间与同态的核联系起来，将列空间与范围联系起来。

另一个与矩阵相关的重要的空间是行空间。顾名思义，它完全由矩阵的行构成。我们将在后面看到，行空间在某种意义上可以与列空间等同起来。在可逆矩阵的特殊情况下，行空间和列空间完全相等。

列空间

给定一个 m x n 矩阵 A，A 的列空间，记为 C(A)，是所有由 A 的列的线性组合形成的向量的集合。

更准确地说，如果 A 的列是 $c_{1},c_{2}\cdots c_{n}$，其中每个 $c_{i}$ 是一个 m 维向量，那么，

${\hbox{C}}(A)=\{\mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{m}:\mathbf {v} =\mathbf {\alpha _{1}c_{1}+\alpha _{2}c_{2}+\cdots \alpha _{n}c_{n}} ,\ \alpha _{i}\in \mathbb {R} \}$

因此，列空间本质上是由矩阵的列构成的。它是列的线性跨度，因此也是一个具有标准运算的向量空间。（回想一下，任何向量集合的跨度始终是一个向量空间）。此外，由于列是 m 维空间中的向量，因此列空间自然地是 $\mathbb {R} ^{m}$ 的一个子空间。

显然，如果我们令，

$x={\begin{pmatrix}\alpha _{1}\\\alpha _{2}\\\vdots \\\alpha _{n}\end{pmatrix}}$

那么我们可以说，

$Ax={\begin{pmatrix}c_{1}&c_{2}&\ldots &c_{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha _{1}\\\alpha _{2}\\\vdots \\\alpha _{n}\end{pmatrix}}=\alpha _{1}c_{1}+\alpha _{2}c_{2}+\ldots +\alpha _{n}c_{n}$

因此，我们的定义可以修改为，

${\hbox{C}}(A)=\{\mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{m}:\mathbf {v} =\mathbf {Ax} ,\ x\in \mathbb {R} ^{n}\}$

这让我们明白，列空间正是矩阵乘法作用下变换后的向量集合。

列空间的基

现在我们将证明一个关于矩阵列空间基的定理。这个构造性证明也将使我们能够将一个非常重要的定理称为秩零化度定理作为推论。

定理：与基本变量相对应的 m x n 矩阵 A 的列构成 A 的列空间的基。

证明：首先要注意，A 的列空间是由所有列的线性组合形成的，$c_{1},c_{2}$...$c_{n}$。如果我们取 A 的零空间的基 如前所述，那么由于

$v_{1}\in {\hbox{Null Space}}(A)$

所以 $Av_{1}$=0。但这表明与 $v_{1}$ 相关的列是与基本变量相关的列的线性组合。（注意，其他自由变量列的贡献为 0，而与 $v_{1}$ 相关的列的贡献为 1。）这样所有自由变量相关的列都是基本变量相关的列的线性组合。因此所有基本变量相关的列都跨越整个列空间。

现在假设矩阵 $A$ 的行阶梯形式为 $U$，如果我们取基本变量所在的列，从矩阵 A 中获得的子矩阵为 $A_{1}$，从矩阵 U 中获得的子矩阵为 $U_{1}$。显然，$U_{1}$ 是 $A_{1}$ 的行阶梯形式（参见练习），因此这两个矩阵具有相同的零空间。现在 $U_{1}$ 只有与它相关的基本变量，因为我们只从 A 中取基本变量到 A1，因此它的零度为零。这告诉我们 $U_{1}x=0$ 只有平凡解。因此，$A_{1}x=0$ 也只有平凡解，因此它的零度也为零。因此，矩阵 $A_{1}$ 的列，也就是矩阵 A 中与基本变量相关的列，是线性无关的。

因此，基本变量所在的列是线性无关且生成空间的，因此它们构成列空间的基。Q.E.D

让我们看一个例子

假设 $A={\begin{pmatrix}1&2&0&2&5\\-2&-5&1&-1&-8\\0&-3&3&4&1\\3&6&0&-7&2\end{pmatrix}}$

第一步是将矩阵 A 化为其行阶梯形式 U。

现在 $U={\begin{pmatrix}1&0&2&0&1\\0&1&-1&0&1\\0&0&0&1&1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}$

我们用括号将每行中第一个非零元素圈起来

$U={\begin{pmatrix}(1)&0&2&0&1\\0&(1)&-1&0&1\\0&0&0&(1)&1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}$

很明显，基本变量是 $x_{1},x_{2}$ 和 $x_{4}$，自由变量是 $x_{3}$ 和 $x_{5}$。

因此，根据定理，矩阵 A 的列空间的基由列 $c_{1},c_{2}$ 和 $c_{4}$ 组成，表示为：

${\Bigg \{}{\begin{pmatrix}1\\-2\\0\\3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\-5\\-3\\6\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\-1\\4\\-7\end{pmatrix}}{\Bigg \}}$

注意，A 的零度为 2，等于列数减去列空间中的元素数。

行空间

顾名思义，行空间是由矩阵的行组成的空间。给定一个 m x n 矩阵 A，A 的行空间，记为 RS(A)，定义为所有由 A 的行的线性组合形成的向量集合。

更准确地说，如果 A 的行是 $r_{1},r_{2}$...$r_{m}$，其中每个 $r_{i}$ 是一个 n 维向量，那么：

${\hbox{RS}}(A)=\{\mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n}:\mathbf {v} =\mathbf {\alpha _{1}r_{1}+\alpha _{2}r_{2}+\cdots \alpha _{m}r_{m}} ,\ \alpha _{i}\in \mathbb {R} \}$

因此，行空间是行的线性生成空间，因此也是一个具有标准运算的向量空间。它是 $\mathbb {R} ^{n}$ 的一个子空间。

行空间的基

矩阵 A 的行空间的基由 U 的非零行组成，其中 U 是 A 的行阶梯形式。这个结论源于两个结论的结合：

1. 如果 U 是 A 的行阶梯形式，则 R(A) = R(U)。
2. 行阶梯形式矩阵的非零行是线性无关的。

证明概述在习题中。

让我们看一个例子

假设 $A={\begin{pmatrix}1&2&0&2&5\\-2&-5&1&-1&-8\\0&-3&3&4&1\\3&6&0&-7&2\end{pmatrix}}$

如果我们取它的行阶梯形式，则有：

$U={\begin{pmatrix}1&0&2&0&1\\0&1&-1&0&1\\0&0&0&1&1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}$

前三行是非零行，因此行空间的基是：$\{(1,\ 0,\ 2,\ 0,\ 1),(0,\ 1,\ -1,\ 0,\ 1),(0,\ 0,\ 0,\ 1,\ 1)\}$

矩阵的秩

请注意，在我们的例子中，行空间的基有 3 个元素，这与我们之前推导出的列空间的基中的元素数量相同。这不是巧合。事实上，行空间的基中的元素数量与列空间的基中的元素数量总是相等。推理步骤如下：

1. U 中非零行的数量等于 U 中主元（或每行中的领先非零项）的数量。
2. 基本变量的数量根据定义等于包含主元的列的数量（因此等于主元的数量）。
3. 根据前面的定理，基本变量的数量等于列空间基中的元素数量。
4. 因此，两个基的元素数量相等。

这两个基中的这个唯一的元素数量称为矩阵的 **秩**。显然，由于矩阵的行是其转置的列，因此 **矩阵及其转置具有相同的秩**。矩阵 A 的秩通常写成 Rank(A)，就像零度写成 Nullity(A) 一样。

秩零度定理

现在我们来介绍线性代数中一个非常重要的定理，称为 **秩零度定理**。这个定理的另一种形式将在关于线性变换的章节中出现。在我们的上下文中，定理是：

对于一个 m x n 矩阵 A，

Rank(A) + Nullity(A) = n = A 的列数

这个定理背后的逻辑很清楚。正如我们之前所见，秩对应于基本变量的数量，零度对应于自由变量的数量。由于任何列要么是基本变量，要么是自由变量（但不能同时是两者），因此这个定理显然是正确的。

熟悉群的第一同构定理的读者可以注意到，这个定理可以与它相关联。我们将在后面看到如何做到这一点。

习题

1. 计算以下矩阵的列空间和行空间的基：

1. ${\begin{pmatrix}2&1&-2\\1&-2&1\\-3&1&1\end{pmatrix}}$

2. ${\begin{pmatrix}-2&-1&4&2\\1&-2&1&1\\-3&3&-5&-3\end{pmatrix}}$

3. ${\begin{pmatrix}1&1&1\\1&0&1\\0&1&1\end{pmatrix}}$

2. 证明如果 A 是一个 m x n 矩阵，则 A 的行空间与它的行阶梯形式 U 的行空间一致。

提示：证明对 A 的任何行的初等行变换不会改变它是否是 A 的行的线性组合这一事实。

3. 证明行阶梯形式矩阵的非零行是线性无关的。

提示: 假设 $\alpha _{1}r_{1}+\cdots \alpha _{m}r_{m}=0$，其中 $\alpha _{i}$ 是标量，$r_{i}$ 是非零行。现在如果第一个主元出现在矩阵的 (1,j) 位置，那么除 $r_{1}$ 外的每一行的第 j 个分量都是 0。因此 $\alpha _{1}$ 为零。类似地，所有其他 $\alpha _{i}$ 也必须为零。

4. 结合以上两个结果，证明矩阵的行阶梯形式 U 中的非零行构成 R(A) 和 R(U) 的基。

5. 证明一个 n 阶方阵可逆 $\iff$ 它的秩为 n $\iff$ R(A) = C(A) = $\mathbb {R} ^{n}$ $\iff$ 对每个 m 维向量 b，Ax = b 都有唯一解。

6. 证明如果 A 是一个 m x n 矩阵，B 是一个 n x p 矩阵，那么

1. C(AB) $\subseteq$ C(A)。

2. R(AB) $\subseteq$ R(B)。

提示: 对于 (1)，注意 $\{ABx:x\in \mathbb {R} ^{p}\}\subseteq \{Ay:y\in \mathbb {R} ^{n}\}$，对于 (2)，注意 $R(AB)=C((AB)^{T})=C(B^{T}A^{T})\subseteq C(B^{T})=R(B)$

7. 矩阵 A 的子矩阵是通过删除 A 的某些行和/或列得到的矩阵。证明对于 A 的每个子矩阵 C，我们有 Rank (C) $\leq$ Rank (A)。

提示：考虑一个矩阵 B，它是由从 A 中删除不在 C 中的行形成的。那么 Rank (B) $\leq$ Rank (A) 且 Rank (C) $\leq$ Rank (B)。

8. 证明一个秩为 r 的 m x n 矩阵 A 至少有一个秩为 r 的 r x r 子矩阵，也就是说，A 具有一个 r 阶可逆子矩阵。

提示：令 B 为由 A 的 r 个线性无关行向量组成的矩阵。由于 Rank (B) = r，因此我们可以从 B 中取 r 个线性无关向量得到一个 r x r 可逆子矩阵 C。