线性代数/零空间

在与 m x n 阶矩阵相关的三个重要向量空间中，有一个是零空间。零空间应用于线性变换。

值域

设 T 是从 m 维向量空间 X 到 n 维向量空间 Y 的线性变换，设 x₁, x₂, x₃, ..., x_m 是 X 的基，设 y₁, y₂, y₃, ..., y_n 是 Y 的基，并考虑其对应的 n × m 矩阵，

$M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\ldots &a_{1m}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\ldots &a_{2m}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\ldots &a_{3m}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\ldots &a_{nm}\\\end{pmatrix}}$ .

X 的像，T(X)，称为 T 的值域。T(A) 显然是 Y 的子空间。

由于 X 中的任何元素 x 都可以表示为

$x=\sum _{i=1}^{m}c_{i}x_{i}$ ,

$T(x)=T(\sum _{i=1}^{m}c_{i}x_{i})=\sum _{i=1}^{n}c_{i}T(x_{i})$

这意味着 T 的值域是 T(x_i) 向量所张成的向量空间，而这由矩阵的列表示。根据之前证明的一个定理，由这些向量张成的向量空间的维数等于线性无关的向量数量的最大值。由于矩阵中列的线性相关性与向量 T(x_i) 的线性相关性相同，所以维数等于线性无关的列数量的最大值，这等于秩。我们有以下重要结论

线性变换值域的维数等于其对应矩阵的秩。

零空间

例如，考虑矩阵： $A={\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}}$ .

此矩阵的零空间包含以下集合

{\hbox{Null Space}}(A)=\left\{\mathbf {\begin{pmatrix}-2r\\r\end{pmatrix}} :r\in \mathbb {R} \right\}

我们如何找到这个集合可能并不立即明了，但可以很容易地验证，该集合的任何元素乘以 A 都会得到零向量。显然地，

${\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}}\in {\hbox{Null Space}}(A)$ ，因为

${\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$ .

零空间作为一个向量空间

很容易证明零空间实际上是一个向量空间。如果我们将一个 n x 1 列矩阵与 n 维欧几里得空间中的一个元素等同起来，那么零空间就变成了它的子空间，并且具有通常的运算。零空间也可以被视为所有 n x 1 列矩阵的向量空间的子空间，其中矩阵加法和矩阵的标量乘法是两个运算。

为了证明零空间确实是一个向量空间，只需证明

$x_{1},x_{2}\in {\hbox{Null Space}}(A)\Rightarrow x_{1}+x_{2}\in {\hbox{Null Space}}(A)$

以及

$x\in {\hbox{Null Space}}(A)\Rightarrow \alpha x\in {\hbox{Null Space}}(A)$

这些都由矩阵的分配律得出。证明的细节留作练习，供读者完成。

性质

行等价矩阵的零空间

如果 A 和 B 是两个行等价矩阵，那么它们具有相同的零空间。这个事实，实际上是一个小定理，可以如下证明

假设 x 是 A 的零空间中的一个元素。那么 Ax = 0。另外，由于 A 与 B 行等价，因此 $B=E_{1}E_{2}\cdots E_{k}A$ ，其中每个 $E_{i}$ 都是初等矩阵。（回想一下，初等矩阵是通过执行任何初等行运算得到的矩阵。）现在，

$Bx=E_{1}E_{2}\cdots E_{k}Ax=0$

因此 x 也在 B 的零空间中。所以 A 的零空间包含在 B 的零空间中。类似地，B 的零空间包含在 A 的零空间中。现在很明显 A 和 B 具有相同的零空间。

零空间的基

由于矩阵的零空间是一个向量空间，自然会想知道它的基是什么。当然，由于零空间是 $\mathbb {R} ^{n}$ 的子空间，它的基最多可以包含 n 个元素。零空间基中元素的数量很重要，被称为 A 的 **零度**。为了找出 A 的零空间的基，我们遵循以下步骤

首先将给定矩阵转换为行阶梯型，例如 U。
接下来，将每行中第一个非零元素圈起来。
如果第一列有一个圈起来的元素，则将变量 $x_{1}$ 称为基本变量，如果第一列没有圈起来的元素，则将其称为自由变量。类似地，如果第二列有一个非零元素，则将变量 $x_{2}$ 称为基本变量，否则将其称为自由变量。以此类推，命名 n 个变量 $x_{1},x_{2}...,x_{n}$ 。
如果对于任何 i， $x_{i}$ 是一个自由变量，那么令 $v_{1}$ 为通过求解方程组 Ux = 0 获得的解，其中所有自由变量都为 0，除了 $x_{i}$ 为 1。如果 $x_{i}$ 不是自由变量，则不做任何操作。
对所有自由变量重复上述步骤，得到向量 $v_{2},v_{3}$ 等等。
集合 $\{v_{1},v_{2}...\}$ 是所需要的基。

上述算法的关键在于 A 和 U 有相同的零空间。对于算法有效性的完整证明，我们建议读者参考霍夫曼和孔兹在参考文献中给出的优秀教科书。

让我们看一个例子

假设 $A={\begin{pmatrix}1&1&0&1&5\\1&0&0&2&2\\0&0&1&4&-1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}$

第一步涉及将 A 化简为其行阶梯形式 U。

现在 $U={\begin{pmatrix}1&0&0&2&2\\0&1&0&-1&3\\0&0&1&4&-1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}$

我们将每行中的第一个非零元素用括号圈起来

$U={\begin{pmatrix}(1)&0&0&2&2\\0&(1)&0&-1&3\\0&0&(1)&4&-1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}$

很明显，自由变量是 $x_{4}$ 和 $x_{5}$ ，而其余的 $x_{1},x_{2}$ 和 $x_{3}$ 是基本变量。现在我们将用 $x_{4}=1,x_{5}=0$ 求解系统 Ux = 0，得到向量 $v_{1}$ 。因此我们需要求解：

${\begin{pmatrix}1&0&0&2&2\\0&1&0&-1&3\\0&0&1&4&-1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}$

这简化为矩阵乘法后的以下系统

${\begin{pmatrix}x_{1}+2\\x_{2}-1\\x_{3}+4\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}$

从这里很明显， $x_{1}=-2,\ x_{2}=1,\ x_{3}=-4,\ x_{4}=1,\ x_{5}=0$ 是解。

因此 $v_{1}=(-2,\ 1,\ -4,\ 1,\ 0)$ 。类似地， $v_{2}$ 被发现是 $(-2,\ -3,\ 1,\ 0,\ 1)$ 。

集合 $\{v_{1},v_{2}\}$ 是零空间的基，矩阵 A 的零度为 2。事实上，这种方法为我们提供了一种描述零空间的方法，即： $\{\alpha v_{1}+\beta v_{2}:\alpha ,\beta \in \mathbb {R} \}$ （为什么？——因为解的线性组合也是一个解）。

零度为零的含义

上面给出的例子没有暗示当 A 的行阶梯形式中没有自由变量时会发生什么。我们只是在算法的步骤 4 中说，如果 $x_{i}$ 不是自由变量，那么就不要做任何事情。根据这个逻辑，如果没有任何变量是自由的，那么我们就继续什么也不做，从而得出结论：如果没有任何变量是自由的，那么零空间的基就是一个空集，即 $\emptyset$ 。在这种情况下，我们说零空间的零度为 0。请注意，零空间本身不是空的，它包含一个精确的元素，即零向量。

现在假设 A 是一个 m x n 阶矩阵，其列为 $c_{1},c_{2},...c_{n}$ 。每个 $c_{i}$ 是 m 维空间中的一个向量。如果 A 的零度为零，那么 Ax=0 只有零向量作为解。

更准确地说，

$Ax={\begin{pmatrix}c_{1}&c_{2}&\ldots &c_{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}=x_{1}c_{1}+x_{2}c_{2}+\ldots +x_{n}c_{n}=0$

只有平凡解。这意味着零度为零使得 A 的列必须线性无关。通过回溯我们的步骤，我们可以证明反之亦然。

让我们考察一下方阵的特殊情况，即当 m = n 时。现在如果零度为零，那么矩阵 A 的行简化阶梯形式（假设为 U）中没有自由变量。因此，每一行都包含一个主元，或一个非零首项。在这种情况下，U 必须是以下形式： ${\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}$

或者 U 必须正好是单位矩阵 I。反之，如果 A 与 I 行等价，那么 Ax = 0 和 Ix = 0 具有相同的解，因为它们是等价的。由于 Ix = 0 只有平凡解 x = 0，所以 Ax = 0 也是如此。因此，A 的零空间仅仅是 {0}，所以 A 的零度为 0。

因此，A 的零度为 0 $\iff$ A 与 I 行等价。

现在如果 A 行等价于 I，那么 $A=E_{1}E_{2}\cdots E_{k}$ 其中每个 $E_{i}$ 是一个初等矩阵。由于可逆矩阵的乘积是可逆的，并且每个 $E_{i}$ 都是可逆的，所以 A 是可逆的。相反，如果 A 是可逆的，并且 U 是它的行阶梯形，那么 $U=E_{1}\cdots E_{k}A$ 显然是可逆的（因为它是由可逆矩阵的乘积得到）。现在一个包含零行的矩阵永远不可能是可逆的（为什么？），所以 U 在每一行都有主元。由此可知有 n 个主元，它们都等于 1，并且在它们的上方和下方都是零，所以 U = I。因此，A 行等价于 I。

总结一下，A 行等价于 I $\iff$ A 是可逆的。

我们可以收集本节的全部论据，来陈述

定理：对于一个 n 阶方阵，以下等价

A 是可逆的。
A 的零度为 0。
A 行等价于单位矩阵。
A 的列向量线性无关。
系统 Ax = 0 只有平凡解。
A 是初等矩阵的乘积。

在这一阶段，读者尝试详细地重写定理的证明将是一个很好的练习。

练习

评估以下矩阵的零空间和基
1. ${\begin{pmatrix}2&1&-2\\1&-2&1\\-3&1&1\\\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}-2&-1&4&2\\1&-2&1&1\\-3&3&-5&-3\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}1&1&1\\1&0&1\\0&1&1\end{pmatrix}}$
证明矩阵的零空间是一个向量空间。
证明关于方阵可逆性的定理。并且通过证明 A 是可逆的当且仅当 A $^{T}$ 是可逆的，来证明行向量线性无关的条件可以添加到列表中。
Ax = b 的解集，其中 b 是一个非零向量（即至少有一个分量非零），是一个向量空间吗？说明理由。
设 r 是与一个 n 阶矩阵 A 相关的基本变量的数量（它等于与它的行阶梯形相关的基本变量的数量）。证明 A 是可逆的当且仅当 r = n。

参考文献