线性代数/子空间的组合/解

解

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问题 1

判断 $\mathbb {R} ^{2}$ 是否是每个 $W_{1}$ 和 $W_{2}$ 的直和。

1. $W_{1}=\{{\begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x\in \mathbb {R} \}$, $W_{2}=\{{\begin{pmatrix}x\\x\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x\in \mathbb {R} \}$
2. $W_{1}=\{{\begin{pmatrix}s\\s\end{pmatrix}}\,{\big |}\,s\in \mathbb {R} \}$, $W_{2}=\{{\begin{pmatrix}s\\1.1s\end{pmatrix}}\,{\big |}\,s\in \mathbb {R} \}$
3. $W_{1}=\mathbb {R} ^{2}$, $W_{2}=\{{\vec {0}}\}$
4. $W_{1}=W_{2}=\{{\begin{pmatrix}t\\t\end{pmatrix}}\,{\big |}\,t\in \mathbb {R} \}$
5. $W_{1}=\{{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x\in \mathbb {R} \}$, $W_{2}=\{{\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\y\end{pmatrix}}\,{\big |}\,y\in \mathbb {R} \}$

答案

我们可以对每个子空间应用引理 4.15。

1. 是的。平面是$W_{1}$ 和 $W_{2}$ 的和，因为对于任何标量 $a$ 和 $b$

   ${\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a-b\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b\\b\end{pmatrix}}$

   表明一般向量是来自两个部分的向量的和。而且，这两个子空间是（不同的）穿过原点的直线，因此它们的交集是平凡的。
2. 是的。为了看到平面中的任何向量都是来自这些部分的向量的组合，请考虑这种关系。

   ${\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}=c_{1}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}1\\1.1\end{pmatrix}}$

   我们现在可以简单地注意到集合

   $\{{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1.1\end{pmatrix}}\}$

   是该空间的基（因为它显然是线性无关的，并且在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中大小为 2），因此上述方程只有一个解，这意味着所有分解都是唯一的。或者，我们可以求解

   ${\begin{array}{*{2}{rc}r}c_{1}&+&c_{2}&=&a\\c_{1}&+&1.1c_{2}&=&b\end{array}}\;{\xrightarrow[{}]{-\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\begin{array}{*{2}{rc}r}c_{1}&+&c_{2}&=&a\\&&0.1c_{2}&=&-a+b\end{array}}$

   得到 $c_{2}=10(-a+b)$ 和 $c_{1}=11a-10b$，因此我们有

   ${\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}11a-10b\\11a-10b\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-10a+10b\\1.1\cdot (-10a+10b)\end{pmatrix}}$

   如所要求的。与之前的答案一样，两个子空间中的每一个都是一条穿过原点的直线，它们的交集是平凡的。
3. 是的。平面中的每个向量都可以用这种方式表示为一个和

   ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$

   这两个子空间的交集是平凡的。
4. 不。交集不是平凡的。
5. 不。这些不是子空间。

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问题 2

证明 $\mathbb {R} ^{3}$ 是 $xy$ 平面与以下每个平面/直线的直和。

1. the $z$ 轴
2. 直线

   $\{{\begin{pmatrix}z\\z\\z\end{pmatrix}}\,{\big |}\,z\in \mathbb {R} \}$

答案

对于每一个，我们都可以使用 引理 4.15。

1. 在 $\mathbb {R} ^{3}$ 中的任何向量都可以分解成这个和。

   ${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\0\\z\end{pmatrix}}$

   此外，$xy$平面与$z$轴的交集是平凡子空间。
2. 在$\mathbb {R} ^{3}$ 中，任何向量都可以分解为：

   ${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x-z\\y-z\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}z\\z\\z\end{pmatrix}}$

   并且这两个空间的交集是平凡的。

问题 3

${\mathcal {P}}_{2}$ 是 $\{a+bx^{2}\,{\big |}\,a,b\in \mathbb {R} \}$ 和 $\{cx\,{\big |}\,c\in \mathbb {R} \}$ 的直和吗？

答案

是的。证明这两个都是子空间是例行公事。要看到这个空间是这两个的直和，只需注意 ${\mathcal {P}}_{2}$ 的每个成员都有唯一的分解 $m+nx+px^{2}=(m+px^{2})+(nx)$。

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问题 4

在 ${\mathcal {P}}_{n}$ 中，偶数 多项式是此集合的成员

${\mathcal {E}}=\{p\in {\mathcal {P}}_{n}\,{\big |}\,p(-x)=p(x){\text{ for all }}x\}$

并且奇数 多项式是此集合的成员。

${\mathcal {O}}=\{p\in {\mathcal {P}}_{n}\,{\big |}\,p(-x)=-p(x){\text{ for all }}x\}$

证明这些是互补子空间。

答案

证明它们是子空间是例行公事。我们将使用引理 4.15来论证它们是互补的。它们的交集${\mathcal {E}}\cap {\mathcal {O}}$ 是平凡的，因为唯一满足条件$p(-x)=p(x)$ 和 $p(-x)=-p(x)$ 的多项式是零多项式。要看到整个空间是子空间${\mathcal {E}}+{\mathcal {O}}={\mathcal {P}}_{n}$ 的和，请注意，多项式$p_{0}(x)=1$，$p_{2}(x)=x^{2}$，$p_{4}(x)=x^{4}$ 等在${\mathcal {E}}$ 中，并且还注意到，多项式$p_{1}(x)=x$，$p_{3}(x)=x^{3}$ 等在${\mathcal {O}}$ 中。因此，${\mathcal {P}}_{n}$ 的任何成员都是${\mathcal {E}}$ 和 ${\mathcal {O}}$ 成员的组合。

问题 5

以下哪些子空间是$\mathbb {R} ^{3}$ 的子空间

$W_{1}$: $x$轴，     $W_{2}$: $y$轴，     $W_{3}$: $z$轴，    
$W_{4}$: $x+y+z=0$ 平面，     $W_{5}$: $yz$平面

可以组合成

1. 求和为 $\mathbb {R} ^{3}$ 吗？
2. 直接求和为 $\mathbb {R} ^{3}$ 吗？

答案

它们中的每一个都是 $\mathbb {R} ^{3}$。

1. 这些行被拆分是为了便于阅读。

   $W_{1}+W_{2}+W_{3}$, $W_{1}+W_{2}+W_{3}+W_{4}$, $W_{1}+W_{2}+W_{3}+W_{5}$, $W_{1}+W_{2}+W_{3}+W_{4}+W_{5}$,
       $W_{1}+W_{2}+W_{4}$, $W_{1}+W_{2}+W_{4}+W_{5}$, $W_{1}+W_{2}+W_{5}$,
   $W_{1}+W_{3}+W_{4}$, $W_{1}+W_{3}+W_{5}$, $W_{1}+W_{3}+W_{4}+W_{5}$,
   $W_{1}+W_{4}$, $W_{1}+W_{4}+W_{5}$,
   $W_{1}+W_{5}$,
   $W_{2}+W_{3}+W_{4}$, $W_{2}+W_{3}+W_{4}+W_{5}$,
   $W_{2}+W_{4}$, $W_{2}+W_{4}+W_{5}$,
   $W_{3}+W_{4}$, $W_{3}+W_{4}+W_{5}$,
   $W_{4}+W_{5}$

2. $W_{1}\oplus W_{2}\oplus W_{3}$, $W_{1}\oplus W_{4}$, $W_{1}\oplus W_{5}$, $W_{2}\oplus W_{4}$, $W_{3}\oplus W_{4}$

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问题 6

证明 ${\mathcal {P}}_{n}=\{a_{0}\,{\big |}\,a_{0}\in \mathbb {R} \}\oplus \dots \oplus \{a_{n}x^{n}\,{\big |}\,a_{n}\in \mathbb {R} \}$.

答案

显然，每个子空间都是一个子空间。子空间的基底 $B_{i}=\langle x^{i}\rangle$，当拼接在一起时，形成整个空间的基底。

问题 7

如果 $W_{1}\subseteq W_{2}$，那么 $W_{1}+W_{2}$ 等于多少？

答案

它等于 $W_{2}$.

问题 8

例子 4.5 是否可以推广？也就是说，以下说法是真还是假：如果向量空间 $V$ 的基底是 $\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$，那么它就是一维子空间 $V=[\{{\vec {\beta }}_{1}\}]\oplus \dots \oplus [\{{\vec {\beta }}_{n}\}]$ 的直接和？

答案

引理 4.8 说明这是真的。

问题 9

是否可以以两种不同的方式将 $\mathbb {R} ^{4}$ 分解为直接和？是否可以将 $\mathbb {R} ^{1}$？

答案

很容易找到$\mathbb {R} ^{4}$ 的两种不同的直和分解。其中两种分别是 $W_{1}=[\{{\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2}\}]$ 和 $W_{2}=[\{{\vec {e}}_{3},{\vec {e}}_{4}\}]$，还有 $U_{1}=[\{{\vec {e}}_{1}\}]$ 和 $U_{2}=[\{{\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{3},{\vec {e}}_{4}\}]$。（许多其他的分解方式也是可能的，例如 $\mathbb {R} ^{4}$ 及其平凡子空间。）

相反，$\mathbb {R} ^{1}$ 单向量基的任何划分都会产生一个没有元素的基和另一个只有一个元素的基。因此，任何分解都包含 $\mathbb {R} ^{1}$ 及其平凡子空间。

问题 10

此练习使用 “$+$” 符号来表示集合之间的运算更加自然。证明，当 $W_{1},\dots ,W_{k}$ 是向量空间的子空间时，

$W_{1}+\dots +W_{k}=\{{\vec {w}}_{1}+{\vec {w}}_{2}+\dots +{\vec {w}}_{k}\,{\big |}\,{\vec {w}}_{1}\in W_{1},\dots ,{\vec {w}}_{k}\in W_{k}\},$

因此，子空间的和是所有和的子空间。

答案

集合包含的一种方式很简单：$\{{\vec {w}}_{1}+\dots +{\vec {w}}_{k}\,{\big |}\,{\vec {w}}_{i}\in W_{i}\}$ 是 $[W_{1}\cup \dots \cup W_{k}]$ 的一个子集，因为每个 ${\vec {w}}_{1}+\dots +{\vec {w}}_{k}$ 都是来自并集的向量的和。

对于另一个包含，对来自并集的向量的任何线性组合，应用向量加法的交换律，将来自 $W_{1}$ 的向量放在最前面，然后是来自 $W_{2}$ 的向量，等等。将来自 $W_{1}$ 的向量加起来得到一个 ${\vec {w}}_{1}\in W_{1}$，将来自 $W_{2}$ 的向量加起来得到一个 ${\vec {w}}_{2}\in W_{2}$，等等。结果具有所需的格式。

问题 11

(参考 示例 4.19。这个练习表明，成对交集为平凡的要求确实比只要求所有子空间的交集为平凡的要求更强。) 给出一个向量空间和三个子空间 $W_{1}$、$W_{2}$ 和 $W_{3}$，使得空间是子空间的和，所有三个子空间的交集 $W_{1}\cap W_{2}\cap W_{3}$ 是平凡的，但成对交集 $W_{1}\cap W_{2}$、$W_{1}\cap W_{3}$ 和 $W_{2}\cap W_{3}$ 不是平凡的。

答案

举个例子，空间可以是 $\mathbb {R} ^{3}$，子空间可以是 $xy$ 平面、$xz$ 平面和 $yz$ 平面。

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问题 12

证明如果 $V=W_{1}\oplus \dots \oplus W_{k}$，那么 $W_{i}\cap W_{j}$ 在 $i\neq j$ 时是平凡的。这表明 引理 4.15 的证明前半部分可以扩展到两个以上子空间的情况。（例 4.19 显示这种蕴涵关系不能反转；后半部分不能扩展。）

答案

当然，零向量在所有子空间中，所以交集至少包含这个向量。根据直和的定义，集合 $\{W_{1},\dots ,W_{k}\}$ 是独立的，因此 $W_{i}$ 中的任何非零向量都不是 $W_{j}$ 中成员的倍数，当 $i\neq j$。特别地，$W_{i}$ 中的任何非零向量都不等于 $W_{j}$ 中的成员。

问题 13

回想一下，任何线性无关集都不包含零向量。一个独立的子空间集可以包含平凡子空间吗？

答案

它可以包含一个平凡子空间；这个 $\mathbb {R} ^{3}$ 的子空间集合是独立的：$\{\{{\vec {0}}\},x{\text{-axis}}\}$。平凡空间 $\{{\vec {0}}\}$ 中的任何非零向量都不是来自 $x$ 轴的倍数，仅仅因为平凡空间没有非零向量可以作为这种倍数的候选者（并且 $x$ 轴上也没有非零向量是平凡子空间中的零向量的倍数）。

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问题 14

每个子空间都有补空间吗？

答案

是的。对于向量空间的任何子空间，我们可以取该子空间的任何基底 $\langle {\vec {\omega }}_{1},\dots ,{\vec {\omega }}_{k}\rangle$ 并将其扩展为整个空间的基底 $\langle {\vec {\omega }}_{1},\dots ,{\vec {\omega }}_{k},{\vec {\beta }}_{k+1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ 。那么，原子空间的补空间以以下为基底： $\langle {\vec {\beta }}_{k+1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ 。

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问题 15

令 $W_{1},W_{2}$ 是向量空间的子空间。

1. 假设集合 $S_{1}$ 张成 $W_{1}$ ，集合 $S_{2}$ 张成 $W_{2}$ 。 $S_{1}\cup S_{2}$ 能否张成 $W_{1}+W_{2}$ ？必须吗？
2. 假设 $S_{1}$ 是 $W_{1}$ 的线性无关子集， $S_{2}$ 是 $W_{2}$ 的线性无关子集。 $S_{1}\cup S_{2}$ 能否成为 $W_{1}+W_{2}$ 的线性无关子集？必须吗？

答案

1. 必须。任何$W_{1}+W_{2}$ 的成员都可以写成${\vec {w}}_{1}+{\vec {w}}_{2}$ 的形式，其中${\vec {w}}_{1}\in W_{1}$ 且${\vec {w}}_{2}\in W_{2}$。因为$S_{1}$ 生成$W_{1}$，向量${\vec {w}}_{1}$ 是$S_{1}$ 成员的组合。类似地${\vec {w}}_{2}$ 是$S_{2}$ 成员的组合。
2. 一个简单的方法来证明它可以是线性无关的是将它们都设为空集。另一方面，在空间$\mathbb {R} ^{1}$ 中，如果$W_{1}=\mathbb {R} ^{1}$ 且$W_{2}=\mathbb {R} ^{1}$，且$S_{1}=\{1\}$ 且$S_{2}=\{2\}$，那么它们的并集$S_{1}\cup S_{2}$ 不是独立的。

问题 16

当一个向量空间被分解为一个直和时，子空间的维度加起来等于空间的维度。对于一个被给出为其子空间之和的空间，情况就没有那么简单了。本练习考虑了两个子空间的特殊情况。

1. 对于这些 ${\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}$ 的子空间，求 $W_{1}\cap W_{2}$，$\dim(W_{1}\cap W_{2})$，$W_{1}+W_{2}$ 以及 $\dim(W_{1}+W_{2})$。

   $W_{1}=\{{\begin{pmatrix}0&0\\c&d\end{pmatrix}}\,{\big |}\,c,d\in \mathbb {R} \}\qquad W_{2}=\{{\begin{pmatrix}0&b\\c&0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,b,c\in \mathbb {R} \}$

2. 假设 $U$ 和 $W$ 是向量空间的子空间。假设序列 $\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{k}\rangle$ 是 $U\cap W$ 的一个基。最后，假设先前的序列被扩展为序列 $\langle {\vec {\mu }}_{1},\dots ,{\vec {\mu }}_{j},{\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{k}\rangle$，它是 $U$ 的一个基，以及序列 $\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{k},{\vec {\omega }}_{1},\dots ,{\vec {\omega }}_{p}\rangle$，它是 $W$ 的一个基。证明这个序列

   $\langle {\vec {\mu }}_{1},\dots ,{\vec {\mu }}_{j},{\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{k},{\vec {\omega }}_{1},\dots ,{\vec {\omega }}_{p}\rangle$

   是$U+W$的基。
3. 得出$\dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W)$。
4. 设$W_{1}$和$W_{2}$是十维空间中的两个八维子空间。列出所有可能的$\dim(W_{1}\cap W_{2})$值。

答案

1. 交集和并集是

   $\{{\begin{pmatrix}0&0\\c&0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,c\in \mathbb {R} \}\qquad \{{\begin{pmatrix}0&b\\c&d\end{pmatrix}}\,{\big |}\,b,c,d\in \mathbb {R} \}$

   它们的维数分别是 1 和 3。
2. 我们将 $B_{U\cap W}$ 称为 $U\cap W$ 的基底，我们将 $B_{U}$ 称为 $U$ 的基底，我们将 $B_{W}$ 称为 $W$ 的基底，我们将 $B_{U+W}$ 称为所考虑的基底。为了证明 $B_{U+W}$ 可以张成 $U+W$，可以观察到，来自 $U+W$ 的任何向量 $c{\vec {u}}+d{\vec {w}}$ 可以写成 $B_{U+W}$ 中向量的线性组合，只需将 ${\vec {u}}$ 用 $B_{U}$ 表示，并将 ${\vec {w}}$ 用 $B_{W}$ 表示。最后，我们证明 $B_{U+W}$ 是线性无关的。考虑

   $c_{1}{\vec {\mu }}_{1}+\dots +c_{j+1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{j+k+p}{\vec {\omega }}_{p}={\vec {0}}$

   可以改写为这种形式。

   $c_{1}{\vec {\mu }}_{1}+\dots +c_{j}{\vec {\mu }}_{j}=-c_{j+1}{\vec {\beta }}_{1}-\dots -c_{j+k+p}{\vec {\omega }}_{p}$

   需要注意的是，等式左侧的向量属于 $U$，而右侧的向量属于 $W$，因此两边都属于 $U\cap W$。由于等式左侧属于 $U\cap W$，它可以用 $B_{U\cap W}$ 的成员表示，这将等式左侧的 ${\vec {\mu }}$ 的组合等同于等式右侧的 ${\vec {\beta }}$ 的组合。但是，基础 $B_{U}$ 是线性无关的，这表明任何这种组合都是平凡的，特别是等式左侧的系数 $c_{1}$，…，$c_{j}$ 都为零。类似地，${\vec {\omega }}$ 的系数也都为零。这使得上述等式成为 ${\vec {\beta }}$ 之间的线性关系，但 $B_{U\cap W}$ 是线性无关的，因此所有 ${\vec {\beta }}$ 的系数也为零。
3. 只需计算上一个项目中的基向量数量：$\dim(U+W)=j+k+p$，以及 $\dim(U)=j+k$，以及 $\dim(W)=k+p$，以及 $\dim(U\cap W)=k$。
4. 我们知道 $\dim(W_{1}+W_{2})=\dim(W_{1})+\dim(W_{2})-\dim(W_{1}\cap W_{2})$。由于 $W_{1}\subseteq W_{1}+W_{2}$，我们知道 $W_{1}+W_{2}$ 的维数必须大于 $W_{1}$ 的维数，即必须为八、九或十维。代入后，我们得到三个可能性：$8=8+8-\dim(W_{1}\cap W_{2})$ 或 $9=8+8-\dim(W_{1}\cap W_{2})$ 或 $10=8+8-\dim(W_{1}\cap W_{2})$。因此 $\dim(W_{1}\cap W_{2})$ 必须是八、七或六。 （举一些例子来说明这三种情况都是可能的很容易，例如在 $\mathbb {R} ^{10}$ 中。）

问题 17

令 $V=W_{1}\oplus \dots \oplus W_{k}$，对于每个索引 $i$ 假设 $S_{i}$ 是 $W_{i}$ 的一个线性无关子集。证明所有 $S_{i}$ 的并集是线性无关的。

答案

将每个 $S_{i}$ 扩展成 $W_{i}$ 的基 $B_{i}$。这些基的连接 $B_{1}\!{\mathbin {{}^{\frown }}}\!\cdots \!{\mathbin {{}^{\frown }}}\!B_{k}$ 是 $V$ 的基，因此其成员构成一个线性无关集。但并集 $S_{1}\cup \cdots \cup S_{k}$ 是该线性无关集的子集，因此本身也是线性无关的。

问题 18

如果对于每对索引 $i$ 和 $j$，矩阵的 $i,j$ 元素等于 $j,i$ 元素，则该矩阵为对称矩阵。如果每个 $i,j$ 元素是 $j,i$ 元素的负数，则该矩阵为反对称矩阵。

1. 给出 $2\!\times \!2$ 的对称矩阵和 $2\!\times \!2$ 的反对称矩阵。（注意：对于第二个矩阵，请注意对角线上的元素。）
2. 方阵的对称矩阵与其转置之间有什么关系？方阵的反对称矩阵与其转置之间有什么关系？
3. 证明 ${\mathcal {M}}_{n\!\times \!n}$ 是对称矩阵空间和反对称矩阵空间的直和。

答案

1. 以下是两个例子。

   ${\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}$

   对于反对称矩阵，对角线上的元素必须为零。
2. 一个对称方阵等于它的转置。一个反对称方阵等于它的转置的负数。
3. 证明这两个集合是子空间很容易。假设 $A\in {\mathcal {M}}_{n\!\times \!n}$。要将 $A$ 表示为对称矩阵和反对称矩阵的和，我们观察到

   $A=(1/2)(A+{{A}^{\rm {trans}}})+(1/2)(A-{{A}^{\rm {trans}}})$

   并注意到第一个加数是对称的，而第二个是反对称的。因此 ${\mathcal {M}}_{n\!\times \!n}$ 是这两个子空间的和。为了证明这个和是直接的，假设一个矩阵 $A$ 既是对称的 $A={{A}^{\rm {trans}}}$ 又是反对称的 $A=-{{A}^{\rm {trans}}}$。那么 $A=-A$ 因此 $A$ 的所有元素都是零。

问题 19

设 $W_{1},W_{2},W_{3}$ 是向量空间的子空间。证明 $(W_{1}\cap W_{2})+(W_{1}\cap W_{3})\subseteq W_{1}\cap (W_{2}+W_{3})$。是否包含关系反转？

答案

假设${\vec {v}}\in (W_{1}\cap W_{2})+(W_{1}\cap W_{3})$。 那么${\vec {v}}={\vec {w}}_{2}+{\vec {w}}_{3}$，其中${\vec {w}}_{2}\in W_{1}\cap W_{2}$ 且 ${\vec {w}}_{3}\in W_{1}\cap W_{3}$。 注意${\vec {w}}_{2},{\vec {w}}_{3}\in W_{1}$，并且，由于子空间在加法下封闭，${\vec {w}}_{2}+{\vec {w}}_{3}\in W_{1}$。 因此${\vec {v}}={\vec {w}}_{2}+{\vec {w}}_{3}\in W_{1}\cap (W_{2}+W_{3})$。

这个例子证明了包含关系可能是严格的：在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中，取 $W_{1}$ 为 $x$ 轴，取 $W_{2}$ 为 $y$ 轴，取 $W_{3}$ 为直线 $y=x$。那么 $W_{1}\cap W_{2}$ 和 $W_{1}\cap W_{3}$ 是平凡的，所以它们的和是平凡的。但 $W_{2}+W_{3}$ 是整个 $\mathbb {R} ^{2}$，所以 $W_{1}\cap (W_{2}+W_{3})$ 是 $x$ 轴。

问题 20

在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中，$x$ 轴和 $y$ 轴的例子表明 $W_{1}\oplus W_{2}=V$ 并不意味着 $W_{1}\cup W_{2}=V$。那么 $W_{1}\oplus W_{2}=V$ 和 $W_{1}\cup W_{2}=V$ 会同时发生吗？

答案

当至少一个 $W_{1},W_{2}$ 是平凡的时，这种情况就会发生。但这仅仅是它发生的方式。

为了证明这一点，假设两者都不平凡，选择非零向量 ${\vec {w}}_{1},{\vec {w}}_{2}$ 来自每个向量，并考虑 ${\vec {w}}_{1}+{\vec {w}}_{2}$。这个和不在 $W_{1}$ 中，因为 ${\vec {w}}_{1}+{\vec {w}}_{2}={\vec {v}}\in W_{1}$ 将意味着 ${\vec {w}}_{2}={\vec {v}}-{\vec {w}}_{1}$ 在 $W_{1}$ 中，这违反了子空间独立性的假设。类似地，${\vec {w}}_{1}+{\vec {w}}_{2}$ 不在 $W_{2}$ 中。因此，存在一个 $V$ 的元素不在 $W_{1}\cup W_{2}$ 中。

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问题 21

我们对互补子空间的模型，即 $x$ 轴和 $y$ 轴在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中，有一个在这里没有使用过的性质。当 $U$ 是 $\mathbb {R} ^{n}$ 的子空间时，我们定义 $U$ 的**正交补**为

$U^{\perp }=\{{\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{n}\,{\big |}\,{\vec {v}}\cdot {\vec {u}}=0{\text{ for all }}{\vec {u}}\in U\}$

(读作 “$U$ 的正交补”)。

1. 求 $x$ 轴在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中的正交补。
2. 求 $x$ 轴在 $\mathbb {R} ^{3}$ 中的正交补。
3. 求 $xy$ 平面在 $\mathbb {R} ^{3}$ 中的正交补。
4. 证明一个子空间的正交补也是子空间。
5. 证明如果 $W$ 是 $U$ 的正交补，那么 $U$ 是 $W$ 的正交补。
6. 证明一个子空间与其正交补的交集是平凡的。
7. 由此得出，对于任何 $n$ 和子空间 $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$，我们有 $\mathbb {R} ^{n}=U\oplus U^{\perp }$.
8. 证明 $\dim(U)+\dim(U^{\perp })$ 等于包含空间的维数。

答案

1. 集合

   $\{{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}\,{\big |}\,{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix}}=0{\text{ for all }}x\in \mathbb {R} \}$

   很容易看出是 $y$-轴。
2. The $yz$-平面。
3. The $z$-轴。
4. 假设 $U$ 是某个 $\mathbb {R} ^{n}$ 的子空间。因为 $U^{\perp }$ 包含零向量，因为该向量垂直于所有向量，我们只需要证明正交补在两个元素的线性组合下是封闭的。如果 ${\vec {w}}_{1},{\vec {w}}_{2}\in U^{\perp }$ 那么 ${\vec {w}}_{1}\cdot {\vec {u}}=0$ 和 ${\vec {w}}_{2}\cdot {\vec {u}}=0$ 对所有 ${\vec {u}}\in U$。因此 $(c_{1}{\vec {w}}_{1}+c_{2}{\vec {w}}_{2})\cdot {\vec {u}}=c_{1}({\vec {w}}_{1}\cdot {\vec {u}})+c_{2}({\vec {w}}_{2}\cdot {\vec {u}})=0$ 对所有 ${\vec {u}}\in U$，因此 $U^{\perp }$ 在线性组合下是封闭的。
5. 唯一与自身正交的向量是零向量。
6. 这是直接的。
7. 为了证明维度相加，根据 推论 4.13 和 引理 4.15，只需要证明 $U\cap U^{\perp }$ 是平凡子空间 $\{{\vec {0}}\}$。但这正是本题中前面提到的内容。

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问题 22

考虑推论 4.13。它是否双向有效？也就是说，假设$V=W_{1}+\dots +W_{k}$，$V=W_{1}\oplus \dots \oplus W_{k}$当且仅当$\dim(V)=\dim(W_{1})+\dots +\dim(W_{k})$？

答案

是的。从左到右的蕴涵是推论 4.13。对于另一个方向，假设$\dim(V)=\dim(W_{1})+\dots +\dim(W_{k})$。令$B_{1},\dots ,B_{k}$ 是$W_{1},\dots ,W_{k}$ 的基。由于$V$ 是子空间的和，任何${\vec {v}}\in V$ 可以写成${\vec {v}}={\vec {w}}_{1}+\cdots +{\vec {w}}_{k}$，并将每个${\vec {w}}_{i}$ 表示为来自相关基$B_{i}$ 的向量的组合，表明连接$B_{1}\!{\mathbin {{}^{\frown }}}\!\cdots \!{\mathbin {{}^{\frown }}}\!B_{k}$ 张成$V$。现在，该连接有$\dim(W_{1})+\dots +\dim(W_{k})$ 个成员，因此它是一个大小为$\dim(V)$ 的生成集。因此，连接是$V$ 的基。因此$V$ 是直和。

问题 23

我们知道，如果 $V=W_{1}\oplus W_{2}$，那么存在 $V$ 的一个基，它可以拆分为 $W_{1}$ 的一个基和 $W_{2}$ 的一个基。我们可以得出更强的结论，即 $V$ 的每个基都可以拆分为 $W_{1}$ 的一个基和 $W_{2}$ 的一个基吗？

答案

不。$\mathbb {R} ^{2}$ 的标准基不能拆分为直线 $x=y$ 和直线 $x=-y$ 的基。

问题 24

我们可以问一下“$+$”运算的代数性质。

1. 它是否满足交换律，即 $W_{1}+W_{2}=W_{2}+W_{1}$？
2. 它是否满足结合律，即 $(W_{1}+W_{2})+W_{3}=W_{1}+(W_{2}+W_{3})$？
3. 令 $W$ 是某个向量空间的子空间。证明 $W+W=W$。
4. 是否必须存在一个单位元，即一个子空间 $I$，使得对于所有子空间 $W$ 都有 $I+W=W+I=W$？
5. 左消去律是否成立：如果 $W_{1}+W_{2}=W_{1}+W_{3}$，那么 $W_{2}=W_{3}$？右消去律呢？

答案

1. 是的，$W_{1}+W_{2}=W_{2}+W_{1}$对于所有子空间 $W_{1},W_{2}$成立，因为等式两边都是 $W_{1}\cup W_{2}=W_{2}\cup W_{1}$的生成空间。
2. 这个与上一个问题类似——该等式两边都是 $(W_{1}\cup W_{2})\cup W_{3}=W_{1}\cup (W_{2}\cup W_{3})$的生成空间。
3. 因为这是集合之间的等式，我们可以通过相互包含来证明它的成立。显然 $W\subseteq W+W$。对于 $W+W\subseteq W$，只需要回顾每个子空间对加法封闭，所以任何形如 ${\vec {w}}_{1}+{\vec {w}}_{2}$的和都在 $W$中。
4. 在每个向量空间中，关于子空间加法的单位元是平凡子空间。
5. 左消去律和右消去律都不一定成立。举个例子，在 $\mathbb {R} ^{3}$中，令 $W_{1}$ 为 $xy$ 平面，令 $W_{2}$ 为 $x$ 轴，令 $W_{3}$ 为 $y$ 轴。

问题 25

考虑直和运算的代数性质。

1. 直接和运算是否满足交换律：$V=W_{1}\oplus W_{2}$ 是否意味着 $V=W_{2}\oplus W_{1}$?
2. 证明直接和运算是结合的：$(W_{1}\oplus W_{2})\oplus W_{3}=W_{1}\oplus (W_{2}\oplus W_{3})$.
3. 证明$\mathbb {R} ^{3}$ 是三个坐标轴的直接和（这里需要注意的是，根据前一项，我们不需要指定三个坐标轴中哪两个首先组合）。
4. 直接和运算是否满足左消去律：$W_{1}\oplus W_{2}=W_{1}\oplus W_{3}$ 是否意味着 $W_{2}=W_{3}$？它是否满足右消去律？
5. 对于该运算，存在一个单位元。找到它。
6. 某些或所有子空间对于该运算是否有逆元：是否存在某个向量空间的子空间$W$，使得存在一个子空间$U$，具有性质 $U\oplus W$ 等于前一项中的单位元？

答案

1. 它们相等，因为对于每一个，$V$ 是直接和当且仅当每一个${\vec {v}}\in V$ 可以以唯一的方式写成一个和${\vec {v}}={\vec {w}}_{1}+{\vec {w}}_{2}$ 和 ${\vec {v}}={\vec {w}}_{2}+{\vec {w}}_{1}$.
2. 它们相等，因为对于每一个，$V$ 是直接和，当且仅当每一个 ${\vec {v}}\in V$ 可以唯一地写成每个 ${\vec {v}}=({\vec {w}}_{1}+{\vec {w}}_{2})+{\vec {w}}_{3}$ 和 ${\vec {v}}={\vec {w}}_{1}+({\vec {w}}_{2}+{\vec {w}}_{3})$ 的向量之和。
3. 在 $\mathbb {R} ^{3}$ 中的任何向量都可以唯一地分解为来自每个轴的向量的和。
4. 不。例如，在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中，取 $W_{1}$ 为 $x$ 轴，取 $W_{2}$ 为 $y$ 轴，取 $W_{3}$ 为直线 $y=x$。
5. 在任何向量空间中，平凡子空间充当直接和的单位元。
6. 在任何向量空间中，只有平凡子空间具有直接和逆（即本身）。观察这一点的一种方法是维度会相加，因此会增加。