线性代数/子空间的组合

本小节是可选的。它仅在第三章和第五章的最后几节以及偶尔的练习中需要，可以跳过而不会影响连贯性。

本章以向量空间的定义开始，中间部分是对该概念的初步分析。本小节通过完成分析来结束本章，"分析"的意思是"通过将事物分解成部分来确定其...基本特征的方法" (Halsey 1979)。

理解事物的常见方法是观察它们如何由组成部分构成。例如，我们认为 $\mathbb {R} ^{3}$ 以某种方式由 $x$ 轴、$y$ 轴和 $z$ 轴构成。在本小节中，我们将对此进行精确说明；我们将描述如何将向量空间分解成其一些子空间的组合。在发展子空间组合这一概念时，我们将牢记 $\mathbb {R} ^{3}$ 示例作为基准模型。

子空间是子集，而集合通过并集组合。但将子空间的组合运算视为简单的并集运算并非我们想要的。一方面，$x$ 轴、$y$ 轴和 $z$ 轴的并集并非整个 $\mathbb {R} ^{3}$，因此基准模型将被排除在外。此外，并集在这方面是完全错误的：子空间的并集不一定是子空间（它可能不闭合；例如，此 $\mathbb {R} ^{3}$ 向量

${\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}$

不在三个轴中的任何一个中，因此不在并集中）。除了子空间的成员外，我们至少还必须包括所有线性组合。

定义 4.1

当 $W_{1},\dots ,W_{k}$ 是向量空间的子空间时，它们的和是其并集的线性组合 $W_{1}+W_{2}+\dots +W_{k}=[W_{1}\cup W_{2}\cup \dots W_{k}]$。

(用“$+$”符号来表示集合之间的加法，以及用它来表示向量之间的加法，这符合将该符号用于任何自然累加运算的习惯做法。)

例 4.2

$\mathbb {R} ^{3}$ 模型符合这种运算。 任何向量 ${\vec {w}}\in \mathbb {R} ^{3}$ 可以写成线性组合 $c_{1}{\vec {v}}_{1}+c_{2}{\vec {v}}_{2}+c_{3}{\vec {v}}_{3}$，其中 ${\vec {v}}_{1}$ 是 $x$ 轴的成员，依此类推

${\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\\w_{3}\end{pmatrix}}=1\cdot {\begin{pmatrix}w_{1}\\0\\0\end{pmatrix}}+1\cdot {\begin{pmatrix}0\\w_{2}\\0\end{pmatrix}}+1\cdot {\begin{pmatrix}0\\0\\w_{3}\end{pmatrix}}$

因此 $\mathbb {R} ^{3}=x{\text{-axis}}+y{\text{-axis}}+z{\text{-axis}}$。

例 4.3

子空间的和可能小于整个空间。在 ${\mathcal {P}}_{4}$ 中，设 $L$ 是线性多项式 $\{a+bx\,{\big |}\,a,b\in \mathbb {R} \}$ 的子空间，设 $C$ 是纯三次多项式 $\{cx^{3}\,{\big |}\,c\in \mathbb {R} \}$ 的子空间。则 $L+C$ 不是整个 ${\mathcal {P}}_{4}$。相反，它是子空间 $L+C=\{a+bx+cx^{3}\,{\big |}\,a,b,c\in \mathbb {R} \}$.

例 4.4

空间可以以多种方式描述为子空间的组合。除了分解 $\mathbb {R} ^{3}=x{\text{-axis}}+y{\text{-axis}}+z{\text{-axis}}$ 之外，我们还可以写成 $\mathbb {R} ^{3}=xy{\text{-plane}}+yz{\text{-plane}}$。为了验证这一点，请注意，任何 ${\vec {w}}\in \mathbb {R} ^{3}$ 可以写成 $xy$ 平面和 $yz$ 平面的成员的线性组合；这里有两个这样的组合。

${\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\\w_{3}\end{pmatrix}}=1\cdot {\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\\0\end{pmatrix}}+1\cdot {\begin{pmatrix}0\\0\\w_{3}\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\\w_{3}\end{pmatrix}}=1\cdot {\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}/2\\0\end{pmatrix}}+1\cdot {\begin{pmatrix}0\\w_{2}/2\\w_{3}\end{pmatrix}}$

上面的定义提供了一种将空间视为其部分组合的方式。但是，前面的例子表明，我们的基准模型至少存在一个有趣的特性，该特性不能用子空间之和的定义来捕获。在熟悉的$\mathbb {R} ^{3}$的分解中，我们经常谈论一个向量的"$x$部分"或"$y$部分"或"$z$部分”。也就是说，在这个模型中，每个向量都有一个唯一的分解，分解成来自构成整个空间的部分的部分。但在示例 4.4中使用的分解中，我们无法引用向量的"$xy$部分”—— 这三个和

${\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\2\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}}$

都描述了该向量由第一个平面中的某个东西加上第二个平面中的某个东西组成，但"$xy$部分”在每个中都不同。

也就是说，当我们考虑如何将$\mathbb {R} ^{3}$从三个轴以“某种方式”组合在一起时，我们可能指的是“以这样一种方式，即每个向量至少有一个分解”，这将导致上面的定义。但如果我们将它理解为“以这样一种方式，即每个向量只有一个且只有一个分解”，那么我们需要组合的另一个条件。要了解这个条件是什么，请回想向量是以基的形式唯一表示的。我们可以用它将一个空间分解成子空间之和，使得空间中的任何向量都唯一地分解成这些子空间的成员之和。

示例 4.5

基准是$\mathbb {R} ^{3}$，其标准基是${\mathcal {E}}_{3}=\langle {\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{3}\rangle$。以$B_{1}=\langle {\vec {e}}_{1}\rangle$为基的子空间是$x$轴。以$B_{2}=\langle {\vec {e}}_{2}\rangle$为基的子空间是$y$轴。以$B_{3}=\langle {\vec {e}}_{3}\rangle$为基的子空间是$z$轴。$\mathbb {R} ^{3}$ 中的任何成员都可以表示为来自这些子空间的向量的和。

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\y\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\0\\z\end{pmatrix}}$

反映了${\mathcal {E}}_{3}$ 跨越空间 - 这个等式

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}=c_{1}{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}+c_{3}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$

对于任何 $x,y,z\in \mathbb {R}$ 都有一个解。并且，每个这种表达式都是唯一的，这反映了这样一个事实：${\mathcal {E}}_{3}$ 线性无关 - 任何像上面这样的方程都有唯一的解。

示例 4.6

我们不必一次只取一个基向量，如果我们将它们合并成更大的序列，同样的想法仍然适用。再次考虑空间 $\mathbb {R} ^{3}$ 和来自标准基 ${\mathcal {E}}_{3}$ 的向量。具有基 $B_{1}=\langle {\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{3}\rangle$ 的子空间是 $xz$-平面。具有基 $B_{2}=\langle {\vec {e}}_{2}\rangle$ 的子空间是 $y$-轴。就像在前面的例子中，任何空间成员都是两个子空间成员的和这一事实，并且仅以一种方式

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\0\\z\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\y\\0\end{pmatrix}}$

反映了这些向量构成一个基 - 这个系统

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}=(c_{1}{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+c_{3}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}})+c_{2}{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}$

对于任何 $x,y,z\in \mathbb {R}$ 只有一个解。

这些例子说明了一种自然的方式将空间分解成子空间的和，这样每个向量都唯一地分解成来自各个部分的向量之和。下面的结果表明，这种方式是唯一的方式。

定义 4.7

序列 $B_{1}=\langle {\vec {\beta }}_{1,1},\dots ,{\vec {\beta }}_{1,n_{1}}\rangle$，...，$B_{k}=\langle {\vec {\beta }}_{k,1},\dots ,{\vec {\beta }}_{k,n_{k}}\rangle$ 的 **连接** 是它们的并置。

$B_{1}\!{\mathbin {{}^{\frown }}}\!B_{2}\!{\mathbin {{}^{\frown }}}\!\cdots \!{\mathbin {{}^{\frown }}}\!B_{k}=\langle {\vec {\beta }}_{1,1},\dots ,{\vec {\beta }}_{1,n_{1}},{\vec {\beta }}_{2,1},\dots ,{\vec {\beta }}_{k,n_{k}}\rangle$

引理 4.8

令 $V$ 是一个向量空间，它是其一些子空间 $V=W_{1}+\dots +W_{k}$ 的和。令 $B_{1}$, ..., $B_{k}$ 是这些子空间的任意基。那么以下等价。

1. 对于每个 ${\vec {v}}\in V$，表达式 ${\vec {v}}={\vec {w}}_{1}+\dots +{\vec {w}}_{k}$（其中 ${\vec {w}}_{i}\in W_{i}$）是唯一的。
2. $B_{1}\!{\mathbin {{}^{\frown }}}\!\cdots \!{\mathbin {{}^{\frown }}}\!B_{k}$ 的连接是 $V$ 的一个基。
3. 集合 $\{{\vec {w}}_{1},\dots ,{\vec {w}}_{k}\}$ 中的非零成员（其中 ${\vec {w}}_{i}\in W_{i}$）构成一个线性无关的集合，即来自不同 $W_{i}$ 的非零向量之间的任何线性关系都是平凡的。

证明

我们将证明 ${\text{(1)}}\implies {\text{(2)}}$，${\text{(2)}}\implies {\text{(3)}}$，最后是 ${\text{(3)}}\implies {\text{(1)}}$。对于这些论点，请注意，我们可以从 ${\vec {w}}$ 的组合转换为 ${\vec {\beta }}$ 的组合。

$(*)\qquad d_{1}{\vec {w}}_{1}+\dots +d_{k}{\vec {w}}_{k}=$

${\begin{array}{rl}&=d_{1}(c_{1,1}{\vec {\beta }}_{1,1}+\dots +c_{1,n_{1}}{\vec {\beta }}_{1,n_{1}})+\dots +d_{k}(c_{k,1}{\vec {\beta }}_{k,1}+\dots +c_{k,n_{k}}{\vec {\beta }}_{k,n_{k}})\\&=d_{1}c_{1,1}\cdot {\vec {\beta }}_{1,1}+\dots +d_{k}c_{k,n_{k}}\cdot {\vec {\beta }}_{k,n_{k}}\end{array}}$

反之亦然。

对于 ${\text{(1)}}\implies {\text{(2)}}$，假设所有分解都是唯一的。我们将证明 $B_{1}\!{\mathbin {{}^{\frown }}}\!\cdots \!{\mathbin {{}^{\frown }}}\!B_{k}$ 跨越空间并且线性无关。它跨越空间是因为假设 $V=W_{1}+\dots +W_{k}$ 意味着每个 ${\vec {v}}$ 可以表示为 ${\vec {v}}={\vec {w}}_{1}+\dots +{\vec {w}}_{k}$，通过方程式 ($*$) 转化为 ${\vec {v}}$ 作为 ${\vec {\beta }}$ 在拼接中的线性组合。对于线性无关性，考虑这种线性关系。

${\vec {0}}=c_{1,1}{\vec {\beta }}_{1,1}+\dots +c_{k,n_{k}}{\vec {\beta }}_{k,n_{k}}$

如（$*$) 中那样重新分组（即，取 $d_{1}$，…，$d_{k}$ 为 $1$，并从底部移动到顶部）得到分解 ${\vec {0}}={\vec {w}}_{1}+\dots +{\vec {w}}_{k}$。由于假设分解是唯一的，并且因为零向量显然具有分解 ${\vec {0}}={\vec {0}}+\dots +{\vec {0}}$，我们现在有每个 ${\vec {w}}_{i}$ 是零向量。这意味着 $c_{i,1}{\vec {\beta }}_{i,1}+\dots +c_{i,n_{i}}{\vec {\beta }}_{i,n_{i}}={\vec {0}}$。因此，由于每个 $B_{i}$ 是一个基底，我们得到了想要的结论，即所有 $c$ 都为零。

对于 ${\text{(2)}}\implies {\text{(3)}}$，假设 $B_{1}\!{\mathbin {{}^{\frown }}}\!\cdots \!{\mathbin {{}^{\frown }}}\!B_{k}$ 是该空间的基底。考虑来自不同 $W_{i}$ 的非零向量之间的线性关系，

${\vec {0}}=\dots +d_{i}{\vec {w}}_{i}+\cdots$

为了证明它微不足道。(之所以以这种方式写关系，是因为我们正在考虑从某些$W_{i}$中获取的非零向量的组合；例如，可能不存在此组合中的${\vec {w}}_{1}$。) 如同($*$)中，${\vec {0}}=\dots +d_{i}(c_{i,1}{\vec {\beta }}_{i,1}+\dots +c_{i,n_{i}}{\vec {\beta }}_{i,n_{i}})+\cdots =\dots +d_{i}c_{i,1}\cdot {\vec {\beta }}_{i,1}+\dots +d_{i}c_{i,n_{i}}\cdot {\vec {\beta }}_{i,n_{i}}+\cdots$ 以及$B_{1}\!{\mathbin {{}^{\frown }}}\!\cdots \!{\mathbin {{}^{\frown }}}\!B_{k}$ 的线性无关性表明，每个系数$d_{i}c_{i,j}$ 为零。 现在，${\vec {w}}_{i}$ 是一个非零向量，因此至少一个$c_{i,j}$ 不为零，因此$d_{i}$ 为零。 这对于每个$d_{i}$ 都成立，因此线性关系是微不足道的。

最后，对于${\text{(3)}}\implies {\text{(1)}}$，假设在来自不同$W_{i}$的非零向量中，任何线性关系都是平凡的。考虑一个向量${\vec {v}}={\vec {w}}_{1}+\dots +{\vec {w}}_{k}$和${\vec {v}}={\vec {u}}_{1}+\dots +{\vec {u}}_{k}$的两种分解，以证明它们是相同的。我们有

${\vec {0}}=({\vec {w}}_{1}+\dots +{\vec {w}}_{k})-({\vec {u}}_{1}+\dots +{\vec {u}}_{k})=({\vec {w}}_{1}-{\vec {u}}_{1})+\dots +({\vec {w}}_{k}-{\vec {u}}_{k})$

这违反了假设，除非每个${\vec {w}}_{i}-{\vec {u}}_{i}$是零向量。因此，分解是唯一的。

定义 4.9

子空间的集合$\{W_{1},\ldots ,W_{k}\}$是独立的，如果来自任何$W_{i}$的非零向量不是来自其他子空间$W_{1},\dots ,W_{i-1},W_{i+1},\dots ,W_{k}$的向量的线性组合。

定义 4.10

向量空间$V$是其子空间$W_{1},\dots ,W_{k}$的直和（或内部直和），如果$V=W_{1}+W_{2}+\dots +W_{k}$，并且集合$\{W_{1},\dots ,W_{k}\}$是独立的。我们写$V=W_{1}\oplus W_{2}\oplus \dots \oplus W_{k}$.

示例 4.11

基准模型拟合：$\mathbb {R} ^{3}=x{\text{-axis}}\oplus y{\text{-axis}}\oplus z{\text{-axis}}$.

例 4.12

$2\!\times \!2$ 矩阵的空间是这个直和。

$\{{\begin{pmatrix}a&0\\0&d\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a,d\in \mathbb {R} \}\,\oplus \,\{{\begin{pmatrix}0&b\\0&0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,b\in \mathbb {R} \}\,\oplus \,\{{\begin{pmatrix}0&0\\c&0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,c\in \mathbb {R} \}$

它也是子空间的直和，以许多其他的方式；直和分解不是唯一的。

推论 4.13

直和的维数是其直和因子的维数之和。

证明

在 引理 4.8 中，连接中的基向量数量等于组成连接的子基中向量数量的总和。

两个子空间的特殊情况值得单独提及。

定义 4.14

当一个向量空间是其两个子空间的直和时，则称它们为 **补集**。

引理 4.15

一个向量空间 $V$ 是其两个子空间 $W_{1}$ 和 $W_{2}$ 的直和当且仅当它是两个 $V=W_{1}+W_{2}$ 的和，并且它们的交集是平凡的 $W_{1}\cap W_{2}=\{{\vec {0}}\,\}$。

证明

首先假设 $V=W_{1}\oplus W_{2}$。根据定义，$V$ 是这两个空间的直和。为了证明这两个空间的交集是平凡的，令 ${\vec {v}}$ 是来自 $W_{1}\cap W_{2}$ 的向量，并考虑方程 ${\vec {v}}={\vec {v}}$。该方程的左侧是 $W_{1}$ 的一个元素，而右侧是 $W_{2}$ 的元素的线性组合（实际上只有一个元素）。但是，这两个空间的独立性意味着 ${\vec {v}}={\vec {0}}$，如我们所期望的。

对于另一个方向，假设 $V$ 是两个具有平凡交集的空间的总和。为了证明 $V$ 是这两个空间的直和，我们只需要证明这两个空间是独立的——第一个空间中没有非零成员可以表示为第二个空间中成员的线性组合，反之亦然。这是因为任何关系 ${\vec {w}}_{1}=c_{1}{\vec {w}}_{2,1}+\dots +d_{k}{\vec {w}}_{2,k}$（其中 ${\vec {w}}_{1}\in W_{1}$ 且 ${\vec {w}}_{2,j}\in W_{2}$ 对所有 $j$）表明左边的向量也在 $W_{2}$ 中，因为右边是 $W_{2}$ 中成员的组合。这两个空间的交集是平凡的，所以 ${\vec {w}}_{1}={\vec {0}}$。同样的论证适用于任何 ${\vec {w}}_{2}$。

示例 4.16

在空间 $\mathbb {R} ^{2}$ 中，$x$ 轴和 $y$ 轴是互补的，也就是说，$\mathbb {R} ^{2}=x{\text{-axis}}\oplus y{\text{-axis}}$。一个空间可以有多对互补子空间；这里另一对是包含直线 $y=x$ 和 $y=2x$ 的子空间。

示例 4.17

在空间 $F=\{a\cos \theta +b\sin \theta \,{\big |}\,a,b\in \mathbb {R} \}$ 中，子空间 $W_{1}=\{a\cos \theta \,{\big |}\,a\in \mathbb {R} \}$ 和 $W_{2}=\{b\sin \theta \,{\big |}\,b\in \mathbb {R} \}$ 是互补的。除了像 $F$ 这样的空间可以有多对互补子空间之外，在空间内部，像 $W_{1}$ 这样的单个子空间可以有多个互补—— $W_{1}$ 的另一个互补是 $W_{3}=\{b\sin \theta +b\cos \theta \,{\big |}\,b\in \mathbb {R} \}$。

例 4.18

在 $\mathbb {R} ^{3}$ 中，$xy$ 平面和 $yz$ 平面不是互补的，这就是 例 4.4 之后讨论的重点。 $xy$ 平面的一个互补是 $z$ 轴。 $yz$ 平面的一个互补是经过 $(1,1,1)$ 的直线。

例 4.19

根据引理 4.15，我们可以提出一个自然的问题：简单和 $V=W_{1}+\dots +W_{k}$ 是否也为直和，当且仅当子空间的交集是平凡的？答案是如果有多于两个子空间，那么平凡的交集不足以保证唯一的分解（即，不足以确保这些空间是独立的）。在 $\mathbb {R} ^{3}$ 中，令 $W_{1}$ 为 $x$ 轴，令 $W_{2}$ 为 $y$ 轴，令 $W_{3}$ 为：

$W_{3}=\{{\begin{pmatrix}q\\q\\r\end{pmatrix}}\,{\big |}\,q,r\in \mathbb {R} \}$

很容易验证 $\mathbb {R} ^{3}=W_{1}+W_{2}+W_{3}$。交集 $W_{1}\cap W_{2}\cap W_{3}$ 是平凡的，但分解并不唯一。

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\y-x\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x\\x\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x-y\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}y\\y\\z\end{pmatrix}}$

（此例还表明，这个要求也不够：所有子空间的成对交集是平凡的。参见练习 11。）

例 4.20

在 $\mathbb {R} ^{3}$ 中，该子空间 $\{{\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}}\,\mid \,x,y\in \mathbb {R} \}=\{{\begin{pmatrix}x\\0\\0\end{pmatrix}}\,\mid \,x\in \mathbb {R} \}\,\oplus \,\{{\begin{pmatrix}0\\y\\0\end{pmatrix}}\,\mid \,y\in \mathbb {R} \}$.

这表明直和不必是最大空间。

例 4.21

直接和 $\{a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}\,\mid \,a_{0},a_{1},a_{2}\in \mathbb {R} \}\,\oplus \,\{a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}\,\mid \,a_{3},a_{4}\in \mathbb {R} \}={\mathcal {P}}_{4}$ 也就是说，度数不超过 4 的多项式空间。

而直接和 ${\mathcal {P}}_{4}\,\oplus \,\{a_{5}x^{5}+a_{6}x^{6}+a_{7}x^{7}\,\mid \,a_{5},a_{6},a_{7}\in \mathbb {R} \}={\mathcal {P}}_{7}$ 也就是说，度数不超过 7 的多项式空间。

这表明，两个向量空间的直接和可以再次直接相加，形成一个更大的向量空间（至少对于有限维多项式向量空间 ${\mathcal {P}}_{n}$ 来说，可以无限次重复）。

例 4.22

某些直接和的直接和元可以写成直接和本身，
$\mathbb {R} ^{3}=x{\text{-axis}}\,\oplus \,yz{\text{-plane}}=x{\text{-axis}}\,\oplus \,(y{\text{-axis}}\,\oplus \,z{\text{-axis}})$,
${\mathcal {P}}_{2}=\{a_{2}x^{2}\mid a_{2}\in \mathbb {R} \}\oplus {\mathcal {P}}_{1}=\{a_{2}x^{2}\mid a_{2}\in \mathbb {R} \}\oplus (\,\{a_{1}x\mid a_{1}\in \mathbb {R} \}\oplus {\mathcal {P}}_{0}\,)$.

在本小节中，我们看到了将空间视为由组成部分构建的两种方法。两者都有用；特别是在本书中，直接和定义是第五章中进行 Jordan 形式构造所必需的。

练习

建议所有读者完成此练习。

问题 1

判断 $\mathbb {R} ^{2}$ 是否是每个 $W_{1}$ 和 $W_{2}$ 的直接和。

1. $W_{1}=\{{\begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x\in \mathbb {R} \}$, $W_{2}=\{{\begin{pmatrix}x\\x\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x\in \mathbb {R} \}$
2. $W_{1}=\{{\begin{pmatrix}s\\s\end{pmatrix}}\,{\big |}\,s\in \mathbb {R} \}$, $W_{2}=\{{\begin{pmatrix}s\\1.1s\end{pmatrix}}\,{\big |}\,s\in \mathbb {R} \}$
3. $W_{1}=\mathbb {R} ^{2}$, $W_{2}=\{{\vec {0}}\}$
4. $W_{1}=W_{2}=\{{\begin{pmatrix}t\\t\end{pmatrix}}\,{\big |}\,t\in \mathbb {R} \}$
5. $W_{1}=\{{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x\in \mathbb {R} \}$, $W_{2}=\{{\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\y\end{pmatrix}}\,{\big |}\,y\in \mathbb {R} \}$

建议所有读者完成此练习。

问题 2

证明 $\mathbb {R} ^{3}$ 是 $xy$ 平面与以下每个元素的直和：

1. $z$ 轴
2. 直线

   $\{{\begin{pmatrix}z\\z\\z\end{pmatrix}}\,{\big |}\,z\in \mathbb {R} \}$

问题 3

是 ${\mathcal {P}}_{2}$ 的直接和 $\{a+bx^{2}\,{\big |}\,a,b\in \mathbb {R} \}$ 和 $\{cx\,{\big |}\,c\in \mathbb {R} \}$ 吗？

建议所有读者完成此练习。

问题 4

在 ${\mathcal {P}}_{n}$ 中，**偶**多项式是这个集合中的成员

${\mathcal {E}}=\{p\in {\mathcal {P}}_{n}\,{\big |}\,p(-x)=p(x){\text{ for all }}x\}$

而**奇**多项式是这个集合中的成员。

${\mathcal {O}}=\{p\in {\mathcal {P}}_{n}\,{\big |}\,p(-x)=-p(x){\text{ for all }}x\}$

证明它们是互补子空间。

问题 5

这些 $\mathbb {R} ^{3}$ 的子空间中的哪些

$W_{1}$: $x$ 轴，      $W_{2}$: $y$ 轴，      $W_{3}$: $z$ 轴，     
$W_{4}$: 平面 $x+y+z=0$,      $W_{5}$: $yz$ 平面

可以组合成

1. 加起来得到 $\mathbb {R} ^{3}$ 吗？
2. 直接和得到 $\mathbb {R} ^{3}$ 吗？

建议所有读者完成此练习。

问题 6

证明 ${\mathcal {P}}_{n}=\{a_{0}\,{\big |}\,a_{0}\in \mathbb {R} \}\oplus \dots \oplus \{a_{n}x^{n}\,{\big |}\,a_{n}\in \mathbb {R} \}$.

问题 7

如果 $W_{1}\subseteq W_{2}$，则 $W_{1}+W_{2}$ 是什么？

问题 8

例子 4.5 是否可以推广？也就是说，以下说法是正确还是错误：如果向量空间 $V$ 有一个基 $\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$，那么它是这些一维子空间的跨度的直接和 $V=[\{{\vec {\beta }}_{1}\}]\oplus \dots \oplus [\{{\vec {\beta }}_{n}\}]$ 吗？

问题 9

可以将 $\mathbb {R} ^{4}$ 分解成两种不同的直接和吗？可以将 $\mathbb {R} ^{1}$ 吗？

问题 10

本练习使编写“$+$”符号在集合之间的书写更加自然。证明当$W_{1},\dots ,W_{k}$是向量空间的子空间时，

$W_{1}+\dots +W_{k}=\{{\vec {w}}_{1}+{\vec {w}}_{2}+\dots +{\vec {w}}_{k}\,{\big |}\,{\vec {w}}_{1}\in W_{1},\dots ,{\vec {w}}_{k}\in W_{k}\},$

因此子空间的和是所有和的子空间。

习题 11

(参考例 4.19。本练习表明，两两交集为零的条件实际上比所有子空间交集为零的条件更强。) 给出一个向量空间和三个子空间$W_{1}$, $W_{2}$, 以及$W_{3}$，使得该空间是这些子空间的和，所有三个子空间的交集$W_{1}\cap W_{2}\cap W_{3}$是零空间，但两两交集$W_{1}\cap W_{2}$, $W_{1}\cap W_{3}$，以及$W_{2}\cap W_{3}$是非零空间。

建议所有读者完成此练习。

习题 12

证明如果$V=W_{1}\oplus \dots \oplus W_{k}$，则$W_{i}\cap W_{j}$当$i\neq j$时是零空间。这表明引理 4.15的证明前半部分可以推广到两个以上子空间的情况。(例 4.19表明这种推论不能逆转；后半部分无法推广)。

习题 13

回顾线性无关集不包含零向量。独立的子空间集可以包含零子空间吗？

建议所有读者完成此练习。

习题 14

每个子空间都有一个补空间吗？

建议所有读者完成此练习。

习题 15

设$W_{1},W_{2}$是向量空间的子空间。

1. 假设集合 $S_{1}$ 张成 $W_{1}$，并且集合 $S_{2}$ 张成 $W_{2}$。集合 $S_{1}\cup S_{2}$ 能否张成 $W_{1}+W_{2}$？ 一定可以吗？
2. 假设 $S_{1}$ 是 $W_{1}$ 的线性无关子集，并且 $S_{2}$ 是 $W_{2}$ 的线性无关子集。集合 $S_{1}\cup S_{2}$ 能否成为 $W_{1}+W_{2}$ 的线性无关子集？ 一定可以吗？

问题 16

当向量空间被分解为直和时，子空间的维数加起来等于整个空间的维数。但当空间被表示为其子空间的和时，情况就不那么简单了。本练习考虑两个子空间的特殊情况。

1. 对于 ${\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}$ 的这些子空间，求 $W_{1}\cap W_{2}$，$\dim(W_{1}\cap W_{2})$，$W_{1}+W_{2}$ 和 $\dim(W_{1}+W_{2})$。

   $W_{1}=\{{\begin{pmatrix}0&0\\c&d\end{pmatrix}}\,{\big |}\,c,d\in \mathbb {R} \}\qquad W_{2}=\{{\begin{pmatrix}0&b\\c&0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,b,c\in \mathbb {R} \}$

2. 假设 $U$ 和 $W$ 是向量空间的子空间。假设序列 $\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{k}\rangle$ 是 $U\cap W$ 的一个基。最后，假设前面的序列被扩展成一个序列 $\langle {\vec {\mu }}_{1},\dots ,{\vec {\mu }}_{j},{\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{k}\rangle$，它是 $U$ 的一个基，以及一个序列 $\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{k},{\vec {\omega }}_{1},\dots ,{\vec {\omega }}_{p}\rangle$，它是 $W$ 的一个基。证明这个序列

   $\langle {\vec {\mu }}_{1},\dots ,{\vec {\mu }}_{j},{\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{k},{\vec {\omega }}_{1},\dots ,{\vec {\omega }}_{p}\rangle$

   是和 $U+W$ 的一个基。
3. 得出结论 $\dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W)$。
4. 设 $W_{1}$ 和 $W_{2}$ 是十维空间的八维子空间。列出所有可能的 $\dim(W_{1}\cap W_{2})$ 值。

问题 17

设 $V=W_{1}\oplus \dots \oplus W_{k}$ 并且对于每个索引 $i$ 假设 $S_{i}$ 是 $W_{i}$ 的线性无关子集。证明所有 $S_{i}$ 的并集是线性无关的。

问题 18

如果对于每一对索引 $i$ 和 $j$，$i,j$ 元素等于 $j,i$ 元素，则矩阵是**对称**的。如果每个 $i,j$ 元素是 $j,i$ 元素的负数，则矩阵是**反对称**的。

1. 给出对称的 $2\!\times \!2$ 矩阵和反对称的 $2\!\times \!2$ 矩阵。(备注：对于第二个矩阵，要注意对角线上的元素。)
2. 方阵的对称矩阵与其转置之间有什么关系？方阵的反对称矩阵与其转置之间有什么关系？
3. 证明 ${\mathcal {M}}_{n\!\times \!n}$ 是对称矩阵空间和反对称矩阵空间的直和。

问题 19

令 $W_{1},W_{2},W_{3}$ 是向量空间的子空间。证明 $(W_{1}\cap W_{2})+(W_{1}\cap W_{3})\subseteq W_{1}\cap (W_{2}+W_{3})$。这个包含关系能否反转？

问题 20

在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中，$x$ 轴和 $y$ 轴的例子表明，$W_{1}\oplus W_{2}=V$ 并不意味着 $W_{1}\cup W_{2}=V$。$W_{1}\oplus W_{2}=V$ 和 $W_{1}\cup W_{2}=V$ 会同时发生吗？

建议所有读者完成此练习。

问题 21

我们用于互补子空间的模型，$x$ 轴和 $y$ 轴在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中，具有我们这里没有使用的一个性质。当 $U$ 是 $\mathbb {R} ^{n}$ 的子空间时，我们定义 $U$ 的 **正交补** 为

$U^{\perp }=\{{\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{n}\,{\big |}\,{\vec {v}}\cdot {\vec {u}}=0{\text{ for all }}{\vec {u}}\in U\}$

(读作 "$U$ 垂直")。

1. 在$\mathbb {R} ^{2}$ 中找到$x$轴的正交补。
2. 在$\mathbb {R} ^{3}$ 中找到$x$轴的正交补。
3. 在$\mathbb {R} ^{3}$ 中找到$xy$平面的正交补。
4. 证明子空间的正交补也是子空间。
5. 证明如果$W$ 是$U$ 的正交补，那么$U$ 是$W$ 的正交补。
6. 证明子空间及其正交补的交集是平凡的。
7. 由此得出，对于任何$n$ 和子空间$U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$，我们有$\mathbb {R} ^{n}=U\oplus U^{\perp }$。
8. 证明$\dim(U)+\dim(U^{\perp })$ 等于封闭空间的维数。

建议所有读者完成此练习。

问题 22

考虑推论 4.13。它是否双向适用——也就是说，假设$V=W_{1}+\dots +W_{k}$，$V=W_{1}\oplus \dots \oplus W_{k}$ 当且仅当$\dim(V)=\dim(W_{1})+\dots +\dim(W_{k})$ 吗？

问题 23

我们知道，如果$V=W_{1}\oplus W_{2}$，那么存在$V$ 的基底，它可以分解成$W_{1}$ 的基底和$W_{2}$ 的基底。我们能否得出更强结论，即$V$ 的每一个基底都可以分解成$W_{1}$ 的基底和$W_{2}$ 的基底？

问题 24

我们可以讨论“$+$”运算的代数性质。

1. 它是否满足交换律？即$W_{1}+W_{2}=W_{2}+W_{1}$ 是否成立？
2. 它是否满足结合律？即$(W_{1}+W_{2})+W_{3}=W_{1}+(W_{2}+W_{3})$ 是否成立？
3. 设$W$ 是某个向量空间的子空间。证明$W+W=W$。
4. 是否存在单位元素，即某个子空间$I$，使得对所有子空间$W$ 都有$I+W=W+I=W$？
5. 左消去律是否成立？即如果$W_{1}+W_{2}=W_{1}+W_{3}$，那么$W_{2}=W_{3}$ 是否成立？右消去律呢？

问题 25

考虑直和运算的代数性质。

1. 直和是否满足交换律？即$V=W_{1}\oplus W_{2}$ 是否意味着$V=W_{2}\oplus W_{1}$？
2. 证明直和是结合的：$(W_{1}\oplus W_{2})\oplus W_{3}=W_{1}\oplus (W_{2}\oplus W_{3})$.
3. 证明 $\mathbb {R} ^{3}$ 是三个轴的直和（这里相关的是，根据前面的内容，我们不需要指定三个轴中的哪两个轴首先组合）。
4. 直和运算是否左消去：$W_{1}\oplus W_{2}=W_{1}\oplus W_{3}$ 是否意味着 $W_{2}=W_{3}$？它是否右消去？
5. 关于此运算，存在一个单位元。找出它。
6. 某些子空间或所有子空间关于此运算是否有逆：是否存在某个向量空间的子空间 $W$，使得存在一个子空间 $U$，具有 $U\oplus W$ 等于前一项中的单位元的性质？

解决方案

参考文献

• Halsey, William D. (1979), Macmillian Dictionary, Macmillian.