线性代数/比较集合描述

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比较集合描述

一个集合可以用多种方式描述。以下是同一个集合的两种不同描述

$\{{\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}z\,{\big |}\,z\in \mathbb {R} \}\quad {\text{and}}\quad \{{\begin{pmatrix}2\\4\\6\end{pmatrix}}w\,{\big |}\,w\in \mathbb {R} \}.$

例如，此集合包含

${\begin{pmatrix}5\\10\\15\end{pmatrix}}$

(取 $z=5$ 和 $w=5/2$)，但它不包含

${\begin{pmatrix}4\\8\\11\end{pmatrix}}$

(第一个分量给出 $z=4$ 但这与第三个分量冲突，类似地，第一个分量给出 $w=4/5$ 但第三个分量给出了不同的结果）。以下是同一个集合的第三种描述

$\{{\begin{pmatrix}3\\6\\9\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-1\\-2\\-3\end{pmatrix}}y\,{\big |}\,y\in \mathbb {R} \}.$

我们需要判断何时两种描述描述的是同一个集合。更实际地说，一个人如何才能判断作业答案描述的集合与书后答案描述的集合是否相同？

集合相等

当且仅当两个集合具有相同的成员时，它们才是相等的。 一个常用的方法来证明两个集合，$S_{1}$ 和 $S_{2}$ 相等，是证明它们的相互包含关系：$S_{1}$ 中的任何成员也在 $S_{2}$ 中，并且 $S_{2}$ 中的任何成员也在 $S_{1}$ 中。

示例 4.1

为了证明

$S_{1}=\{{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}c+{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}d\,{\big |}\,c,d\in \mathbb {R} \}$

等于

$S_{2}=\{{\begin{pmatrix}4\\1\\0\end{pmatrix}}m+{\begin{pmatrix}-1\\-3\\0\end{pmatrix}}n\,{\big |}\,m,n\in \mathbb {R} \}$

我们首先证明 $S_{1}\subseteq S_{2}$，然后证明 $S_{2}\subseteq S_{1}$。

对于前半部分，我们必须检查 $S_{1}$ 中的任何向量是否也在 $S_{2}$ 中。我们首先考虑两个例子，并将它们用作一般论证的模型。如果我们尝试 $c=1$ 和 $d=1$ 构建一个 $S_{1}$ 的成员，那么为了证明它在 $S_{2}$ 中，我们需要 $m$ 和 $n$ 使得

${\begin{pmatrix}4\\1\\0\end{pmatrix}}m+{\begin{pmatrix}-1\\-3\\0\end{pmatrix}}n={\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}}$

也就是说，$m$ 和 $n$ 之间存在这种关系。

${\begin{array}{*{2}{rc}r}4m&-&n&=&2\\1m&-&3n&=&0\\&&0&=&0\end{array}}$

类似地，如果我们尝试 $c=2$ 和 $d=-1$，那么为了证明得到的 $S_{1}$ 的成员在 $S_{2}$ 中，我们需要 $m$ 和 $n$ 使得

${\begin{pmatrix}4\\1\\0\end{pmatrix}}m+{\begin{pmatrix}-1\\-3\\0\end{pmatrix}}n={\begin{pmatrix}3\\-3\\0\end{pmatrix}}$

也就是说，这个成立。

${\begin{array}{*{2}{rc}r}4m&-&n&=&3\\1m&-&3n&=&-3\\&&0&=&0\end{array}}$

一般情况下，要证明从 $S_{1}$ 出发的任何向量都是 $S_{2}$ 的成员，我们必须证明对于任何 $c$ 和 $d$，存在合适的 $m$ 和 $n$。我们遵循示例的模式，固定

${\begin{pmatrix}c+d\\-c+d\\0\end{pmatrix}}\in S_{1}$

并寻找 $m$ 和 $n$ 使得

${\begin{pmatrix}4\\1\\0\end{pmatrix}}m+{\begin{pmatrix}-1\\-3\\0\end{pmatrix}}n={\begin{pmatrix}c+d\\-c+d\\0\end{pmatrix}}$

也就是说，这是真的。

${\begin{array}{*{2}{rc}r}4m&-&n&=&c+d\\m&-&3n&=&-c+d\\&&0&=&0\end{array}}$

应用高斯消元法

${\begin{array}{rcl}{\begin{array}{*{2}{rc}r}4m&-&n&=&c+d\\m&-&3n&=&-c+d\end{array}}&{\xrightarrow[{}]{-(1/4)\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{array}{*{2}{rc}r}4m&-&n&=&c+d\\&&-(11/4)n&=&-(5/4)c+(3/4)d\end{array}}\end{array}}$

给出 $n=(5/11)c-(3/11)d$ 和 $m=(4/11)c+(2/11)d$。这表明对于 $c$ 和 $d$ 的任何选择，都有相应的 $m$ 和 $n$。我们得出结论，$S_{1}$ 的任何成员都是 $S_{2}$ 的成员，因为它可以以这种方式改写

${\begin{pmatrix}c+d\\-c+d\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4\\1\\0\end{pmatrix}}((4/11)c+(2/11)d)+{\begin{pmatrix}-1\\-3\\0\end{pmatrix}}((5/11)c-(3/11)d).$

对于另一个包含关系，$S_{2}\subseteq S_{1}$，我们想要做相反的事情。我们要证明，对于 $m$ 和 $n$ 的任何选择，都有相应的 $c$ 和 $d$。所以固定 $m$ 和 $n$，并求解 $c$ 和 $d$

${\begin{array}{rcl}{\begin{array}{*{2}{rc}r}c&+&d&=&4m-n\\-c&+&d&=&m-3n\end{array}}&{\xrightarrow[{}]{\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{array}{*{2}{rc}r}c&+&d&=&4m-n\\&&2d&=&5m-4n\end{array}}\end{array}}$

表明 $d=(5/2)m-2n$ 以及 $c=(3/2)m+n$。因此，从 $S_{2}$ 出发的任何向量

${\begin{pmatrix}4\\1\\0\end{pmatrix}}m+{\begin{pmatrix}-1\\-3\\0\end{pmatrix}}n$

也符合 $S_{1}$ 的正确形式

${\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}((3/2)m+n)+{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}((5/2)m-2n).$

例 4.2

当然，有时集合并不相等。前面例子的方法将有助于我们了解两个集合之间的关系。这些

$P=\{{\begin{pmatrix}x+y\\2x\\y\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x,y\in \mathbb {R} \}\quad {\text{and}}\quad R=\{{\begin{pmatrix}m+p\\n\\p\end{pmatrix}}\,{\big |}\,m,n,p\in \mathbb {R} \}$

两者不是相等的集合。虽然 $P$ 是 $R$ 的子集，但它是 $R$ 的真子集，因为 $R$ 不是 $P$ 的子集。

要看到这一点，首先观察到，给定一个来自 $P$ 的向量，我们可以将它表示为 $R$ 的形式——如果我们固定 $x$ 和 $y$，我们可以求解出合适的 $m$、$n$ 和 $p$。

${\begin{array}{*{3}{rc}r}m&&&+&p&=&x+y\\&&n&&&=&2x\\&&&&p&=&y\end{array}}$

表明任何

${\vec {v}}={\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}}x+{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}y$

可以表示为 $R$ 的成员，其中 $m=x$、$n=2x$ 和 $p=y$。

${\vec {v}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}x+{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}2x+{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}y.$

因此，$P\subseteq R$.

但是，对于另一个方向，通过固定 $m$，$n$，和 $p$，并寻找 $x$ 和 $y$ 所得的约简

${\begin{array}{rcl}{\begin{array}{*{2}{rc}r}x&+&y&=&m+p\\2x&&&=&n\\&&y&=&p\end{array}}&{\xrightarrow[{}]{-2\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{array}{*{2}{rc}r}x&+&y&=&m+p\\&&-2y&=&-2m+n-2p\\&&y&=&p\end{array}}\\&{\xrightarrow[{}]{(1/2)\rho _{2}+\rho _{3}}}&{\begin{array}{*{2}{rc}r}x&+&y&=&m+p\\&&-2y&=&-2m+n-2p\\&&0&=&m+(1/2)n\end{array}}\end{array}}$

表明，唯一能够表示为

${\begin{pmatrix}m+p\\n\\p\end{pmatrix}}\in R$

形式的向量是那些满足 $0=m+(1/2)n$ 的向量。例如，

${\begin{pmatrix}x+y\\2x\\y\end{pmatrix}}$

是属于 $R$ 但不属于 $P$ 的向量。

${\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}$

属于 $R$，但不是属于 $P$ 的。

练习

问题 1

确定向量是否为集合的成员。

1. ${\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}$, $\{{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}k\,{\big |}\,k\in \mathbb {R} \}$
2. ${\begin{pmatrix}-3\\3\end{pmatrix}}$, $\{{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}k\,{\big |}\,k\in \mathbb {R} \}$
3. ${\begin{pmatrix}-3\\3\\4\end{pmatrix}}$, $\{{\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}}k\,{\big |}\,k\in \mathbb {R} \}$
4. ${\begin{pmatrix}-3\\3\\4\end{pmatrix}}$, $\{{\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}}k+{\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}}m\,{\big |}\,k,m\in \mathbb {R} \}$
5. ${\begin{pmatrix}1\\4\\14\end{pmatrix}}$, $\{{\begin{pmatrix}2\\2\\5\end{pmatrix}}k+{\begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix}}m\,{\big |}\,k,m\in \mathbb {R} \}$
6. ${\begin{pmatrix}1\\4\\6\end{pmatrix}}$, $\{{\begin{pmatrix}2\\2\\5\end{pmatrix}}k+{\begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix}}m\,{\big |}\,k,m\in \mathbb {R} \}$

问题 2

用两种不同的方式描述这个集合。

$\{{\begin{pmatrix}2\\-5\end{pmatrix}}k\,{\big |}\,k\in \mathbb {R} \}$

建议所有读者做这道练习题。

问题 3

证明本小节开头给出的三种描述都描述了同一个集合。

建议所有读者做这道练习题。

问题 4

证明以下集合相等。

$\{{\begin{pmatrix}1\\4\\1\\1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-1\\0\\1\\0\end{pmatrix}}z\,{\big |}\,z\in \mathbb {R} \}\quad {\text{and}}\quad \{{\begin{pmatrix}0\\4\\2\\1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-1\\0\\1\\0\end{pmatrix}}k\,{\big |}\,k\in \mathbb {R} \},$

并且证明两者都描述了这个方程组的解集。

${\begin{array}{*{4}{rc}r}x&-&y&+&z&+&w&=&-1\\&&y&&&-&w&=&3\\x&&&+&z&+&2w&=&4\end{array}}$

建议所有读者做这道练习题。

问题 5

判断以下两个集合是否相等。

1. $\{{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}}t\,{\big |}\,t\in \mathbb {R} \}$ 和 $\{{\begin{pmatrix}1\\8\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix}}s\,{\big |}\,s\in \mathbb {R} \}$
2. $\{{\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}}t+{\begin{pmatrix}2\\1\\5\end{pmatrix}}s\,{\big |}\,t,s\in \mathbb {R} \}$ 和 $\{{\begin{pmatrix}4\\7\\7\end{pmatrix}}m+{\begin{pmatrix}-4\\-2\\-10\end{pmatrix}}n\,{\big |}\,m,n\in \mathbb {R} \}$
3. $\{{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}t\,{\big |}\,t\in \mathbb {R} \}$ 和 $\{{\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}}m+{\begin{pmatrix}4\\8\end{pmatrix}}n\,{\big |}\,m,n\in \mathbb {R} \}$
4. $\{{\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}}s+{\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}}t\,{\big |}\,s,t\in \mathbb {R} \}$ 和 $\{{\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}}m+{\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}}n\,{\big |}\,m,n\in \mathbb {R} \}$
5. $\{{\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}}t+{\begin{pmatrix}2\\4\\6\end{pmatrix}}s\,{\big |}\,t,s\in \mathbb {R} \}$ 和 $\{{\begin{pmatrix}3\\7\\7\end{pmatrix}}t+{\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}}s\,{\big |}\,t,s\in \mathbb {R} \}$

解