本小节为可选内容。后面的内容不需要这里的内容。
一个集合可以用多种方式描述。以下是同一个集合的两种不同描述

例如,此集合包含

(取
和
),但它不包含

(第一个分量给出
但这与第三个分量冲突,类似地,第一个分量给出
但第三个分量给出了不同的结果)。以下是同一个集合的第三种描述

我们需要判断何时两种描述描述的是同一个集合。更实际地说,一个人如何才能判断作业答案描述的集合与书后答案描述的集合是否相同?
当且仅当两个集合具有相同的成员时,它们才是相等的。 一个常用的方法来证明两个集合,
和
相等,是证明它们的相互包含关系:
中的任何成员也在
中,并且
中的任何成员也在
中。[1]
- 例 4.2
当然,有时集合并不相等。前面例子的方法将有助于我们了解两个集合之间的关系。这些

两者不是相等的集合。虽然
是
的子集,但它是
的真子集,因为
不是
的子集。
要看到这一点,首先观察到,给定一个来自
的向量,我们可以将它表示为
的形式——如果我们固定
和
,我们可以求解出合适的
、
和
。

表明任何

可以表示为
的成员,其中
、
和
。

因此,
.
但是,对于另一个方向,通过固定
,
,和
,并寻找
和
所得的约简
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\begin{array}{*{2}{rc}r}x&+&y&=&m+p\\2x&&&=&n\\&&y&=&p\end{array}}&{\xrightarrow[{}]{-2\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{array}{*{2}{rc}r}x&+&y&=&m+p\\&&-2y&=&-2m+n-2p\\&&y&=&p\end{array}}\\&{\xrightarrow[{}]{(1/2)\rho _{2}+\rho _{3}}}&{\begin{array}{*{2}{rc}r}x&+&y&=&m+p\\&&-2y&=&-2m+n-2p\\&&0&=&m+(1/2)n\end{array}}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f31f6502a17d50bba5d6db09993eef416f025f30)
表明,唯一能够表示为

形式的向量是那些满足
的向量。例如,

是属于
但不属于
的向量。

属于
,但不是属于
的。
- 问题 1
确定向量是否为集合的成员。
-
, 
-
, 
-
, 
-
, 
-
, 
-
, 
- 问题 2
用两种不同的方式描述这个集合。

- 建议所有读者做这道练习题。
- 问题 3
证明本小节开头给出的三种描述都描述了同一个集合。
- 建议所有读者做这道练习题。
- 问题 4
证明以下集合相等。

并且证明两者都描述了这个方程组的解集。

- 建议所有读者做这道练习题。
- 问题 5
判断以下两个集合是否相等。
-
和 
-
和 
-
和 
-
和 
-
和 
解
- ↑ 关于集合相等的更多信息在附录中。