- 问题 1
确定向量是否为集合的成员。
-
, 
-
, 
-
, 
-
, 
-
, 
-
, 
- 答案
- 否。
- 是。
- 否。
- 是。
- 是;使用高斯消元法可以得到
和
. - 否;使用高斯消元法可以得出没有解。
- 问题 2
为该集合写出两个不同的描述,与原描述不同。

- 答案
一个简单的方法是将向量乘以 2 和 3

- 建议所有读者尝试这道练习。
- 问题 3
证明本小节开头给出的三个描述所代表的集合相同。
- 答案
无需证明三个集合都相等,只需证明第一个集合等于第二个集合,第二个集合等于第三个集合即可。使用本小节的方法可以轻松证明这两条等式。
- 建议所有读者尝试这道练习。
- 问题 4
证明这两个集合相等。

并证明这两个集合是该方程组的解集。

- 答案
该方程组可简化为以下形式
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}&{\xrightarrow[{}]{-\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{array}{*{4}{rc}r}x&-&y&+&z&+&w&=&-1\\&&y&&&-&w&=&3\\&&y&&&+&w&=&5\end{array}}\\&{\xrightarrow[{}]{-\rho _{2}+\rho _{3}}}&{\begin{array}{*{4}{rc}r}x&-&y&+&z&+&w&=&-1\\&&y&&&-&w&=&3\\&&&&&&2w&=&2\end{array}}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08ad40a05a4e11f239161f9502583b8d8d608049)
表明
,
和
.
- 建议所有读者尝试这道练习。
- 问题 5
确定这些集合是否相等。
-
和 
-
和 
-
和 
-
和 
-
和 
- 答案
对于每个项目,我们将第一个集合称为
,另一个集合称为
。
- 它们是相等的。为了证明
,我们必须证明第一个集合中的任何元素都在第二个集合中,也就是说,对于任何形式为
存在一个合适的
使得
换句话说,给定
,我们必须找到
,使之成立。
该系统简化为
也就是说,
因此,
中的任何向量都可以用
中包含的所需形式表示。对于
,我们寻找
,使这些方程成立。
将其改写为
因此,
- 这两个是相等的。为了证明
,我们需要检查对于任何
,我们都能找到合适的
,使得以下等式成立。
使用高斯消元法![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}4&-4&1t+2s\\7&-2&3t+1s\\7&-10&1t+5s\end{array}}\right)&{\xrightarrow[{(-7/4)\rho _{1}+\rho _{3}}]{(-7/4)\rho _{1}+\rho _{2}}}&\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}4&-4&1t+2s\\0&5&(5/4)t-(10/4)s\\0&-3&-(3/4)t+(6/4)s\end{array}}\right)\\&{\xrightarrow[{}]{(3/5)\rho _{2}+\rho _{3}}}&\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}4&-4&1t+2s\\0&5&(5/4)t-(10/4)s\\0&0&0\end{array}}\right)\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18e6345a99a0dda5217f3a50004014cc6c6e9f07)
得出结论
因此
。为了证明
,解下列方程组
使用高斯消元法![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}1&2&4m-4n\\3&1&7m-2n\\1&5&7m-10n\end{array}}\right)&{\xrightarrow[{-\rho _{1}+\rho _{3}}]{-3\rho _{1}+\rho _{2}}}&\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}1&2&4m-4n\\0&-5&-5m+10n\\0&3&3m-6n\end{array}}\right)\\&{\xrightarrow[{}]{(3/5)\rho _{2}+\rho _{3}}}&\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}1&2&4m-4n\\0&-5&-5m+10n\\0&0&0\end{array}}\right)\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ce7bc4f6039965e319643f7f333b0484d007e63)
得到
因此,
的任何成员都可以用
所需的形式表示。 - 这两个集合是相等的。要证明
,我们必须能够解出
将
和
表示为
的函数。应用高斯消元法。![{\displaystyle \left({\begin{array}{*{2}{c}|c}2&4&1t\\4&8&2t\end{array}}\right){\xrightarrow[{}]{-2\rho _{1}+\rho _{2}}}\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}2&4&1t\\0&0&0\end{array}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45166a9712ae2874df071cc021ceb2f97644b8d4)
从而得出,任何满足
的
对都满足条件。例如,
或者
因此,
。对于
,我们解
使用高斯消元法![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\left({\begin{array}{*{1}{c}|c}1&2m+4n\\2&4m+8n\end{array}}\right)&{\xrightarrow[{}]{-2\rho _{1}+\rho _{2}}}&\left({\begin{array}{*{1}{c}|c}1&2m+4n\\0&0\end{array}}\right)\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12e6fbbbb8d73738a326bdd481c22ec2ce9574c8)
可以推断,
中的任何向量也在
中。
- 这两个集合之间没有子集关系。为了满足
,我们需要能够求解
关于
和
的表达式,用
和
表示。高斯消元法![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}-1&0&1s-1t\\1&1&0s+1t\\1&3&2s+0t\end{array}}\right)&{\xrightarrow[{\rho _{1}+\rho _{3}}]{\rho _{1}+\rho _{2}}}&\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}-1&0&1s-1t\\0&1&1s+0t\\0&3&3s-1t\end{array}}\right)\\&{\xrightarrow[{}]{-3\rho _{2}+\rho _{3}}}&\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}-1&0&1s-1t\\0&1&1s+0t\\0&3&0s-1t\end{array}}\right)\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fb46ca62de5c1148a5800e53387219825aea67e)
表明,我们只能在
时找到合适的
对。也就是说,
没有以下形式的表达式
已知
不是
的子集,我们知道
,所以,严格来说,我们无需进一步研究。但我们也会证明
也不是
的子集。为了使
成立,我们必须能够解出
对于
和
。使用行变换![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}1&-1&-1m+0n\\0&1&1m+1n\\2&0&1m+3n\end{array}}\right)&{\xrightarrow[{}]{-2\rho _{1}+\rho _{3}}}&\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}1&-1&-1m+0n\\0&1&1m+1n\\0&2&3m+3n\end{array}}\right)\\&{\xrightarrow[{}]{-2\rho _{2}+\rho _{3}}}&\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}1&-1&-1m+0n\\0&1&1m+1n\\0&0&1m+1n\end{array}}\right)\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59fbce7a4a56260621facf17aec2463054026aee)
推断出唯一来自
也在
中的向量形式为
例如,
在
中,但在
中没有。 - 这些集合是相等的。首先,我们改变参数

现在,为了证明
,我们求解
使用高斯消元法![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}3&1&1t+2s\\7&3&3t+4s\\7&1&1t+6s\end{array}}\right)&{\xrightarrow[{(-7/3)\rho _{1}+\rho _{3}}]{(-7/3)\rho _{1}+\rho _{2}}}&\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}3&1&1t+2s\\0&2/3&(2/3)t-(2/3)s\\0&-4/3&(-4/3)t+(4/3)s\end{array}}\right)\\&{\xrightarrow[{}]{2\rho _{2}+\rho _{3}}}&\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}3&1&1t+2s\\0&2/3&(2/3)t-(2/3)s\\0&0&0\end{array}}\right)\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ffde0a4dbfa0a4a867f9c09b561a4f71fba90f2)
得到
因此
。证明
包含解以下方程
使用高斯消元法![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}1&2&3m+1n\\3&4&7m+3n\\1&6&7m+1n\end{array}}\right)&{\xrightarrow[{-\rho _{1}+\rho _{3}}]{-3\rho _{1}+\rho _{2}}}&\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}1&2&3m+1n\\0&-2&-2m\\0&4&4m\end{array}}\right)\\&{\xrightarrow[{}]{2\rho _{2}+\rho _{3}}}&\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}1&2&3m+1n\\0&-2&-2m\\0&0&0\end{array}}\right)\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f4d43cd9953135aad7368b1b651b928e1e29fb9)
得出结论
因此,
中的任何向量也在
中。