线性代数/同构的定义和示例/解答

解答

建议所有读者进行此练习。

问题 1

使用示例 1.4 作为模型，验证在定义之前给出的两个对应关系是同构的。

1. 示例 1.1
2. 示例 1.2

答案

1. 将映射称为$f$.

   ${\begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix}}{\stackrel {f}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}$

   它是单射的，因为如果$f$ 将域中的两个成员映射到相同的像，也就是说，如果$f\left({\begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix}}\right)=f\left({\begin{pmatrix}c&d\end{pmatrix}}\right)$，那么$f$ 的定义给出

   ${\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}}$

   并且由于列向量只有在它们具有相同的分量时才相等，因此我们有 $a=c$ 并且 $b=d$。因此，如果$f$ 将域中的两个行向量映射到相同的列向量，那么这两个行向量是相等的：${\begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c&d\end{pmatrix}}$。为了表明$f$ 是满射的，我们必须表明陪域中的任何成员$\mathbb {R} ^{2}$ 都是 $f$ 下某个行向量的像。这很简单；

   ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$

   是$f\left({\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}}\right)$。加法保持性的计算如下。

   $f\left({\begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}c&d\end{pmatrix}}\right)=f\left({\begin{pmatrix}a+c&b+d\end{pmatrix}}\right)={\begin{pmatrix}a+c\\b+d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}}=f\left({\begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix}}\right)+f\left({\begin{pmatrix}c&d\end{pmatrix}}\right)$

   标量乘法保持性的计算类似。

   $f\left(r\cdot {\begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix}}\right)=f\left({\begin{pmatrix}ra&rb\end{pmatrix}}\right)={\begin{pmatrix}ra\\rb\end{pmatrix}}=r\cdot {\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}=r\cdot f\left({\begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix}}\right)$

2. 用$f$表示例子 1.2中的映射。为了证明它是单射，假设$f(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2})=f(b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2})$。根据函数的定义，

   ${\begin{pmatrix}a_{0}\\a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{0}\\b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}$

   因此 $a_{0}=b_{0}$ 和 $a_{1}=b_{1}$ 和 $a_{2}=b_{2}$。因此 $a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}=b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}$，因此 $f$ 是一一映射的。函数 $f$ 是满射的，因为存在一个多项式被映射到

   ${\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}$

   由 $f$，即 $a+bx+cx^{2}$。至于结构，这表明 $f$ 保持加法

   ${\begin{array}{rl}f\left(\,(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2})+(b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2})\,\right)&=f\left(\,(a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})x+(a_{2}+b_{2})x^{2}\,\right)\\&={\begin{pmatrix}a_{0}+b_{0}\\a_{1}+b_{1}\\a_{2}+b_{2}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}a_{0}\\a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b_{0}\\b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}\\&=f(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2})+f(b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2})\end{array}}$

   这表明

   ${\begin{array}{rl}f(\,r(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2})\,)&=f(\,(ra_{0})+(ra_{1})x+(ra_{2})x^{2}\,)\\&={\begin{pmatrix}ra_{0}\\ra_{1}\\ra_{2}\end{pmatrix}}\\&=r\cdot {\begin{pmatrix}a_{0}\\a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}\\&=r\,f(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2})\end{array}}$

   它保持了标量乘法。

建议所有读者进行此练习。

问题 2

对于映射 $f:{\mathcal {P}}_{1}\to \mathbb {R} ^{2}$ 由以下给出

$a+bx{\stackrel {f}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}a-b\\b\end{pmatrix}}$

找到域中这些元素的图像。

1. $3-2x$
2. $2+2x$
3. $x$

证明该映射是同构。

答案

这些是图像。

1. ${\begin{pmatrix}5\\-2\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}$

为了证明 $f$ 是单射，假设它将两个线性多项式映射到相同的图像 $f(a_{1}+b_{1}x)=f(a_{2}+b_{2}x)$。然后

${\begin{pmatrix}a_{1}-b_{1}\\b_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{2}-b_{2}\\b_{2}\end{pmatrix}}$

因此，由于列向量仅在其分量相等时才相等，$b_{1}=b_{2}$ 且 $a_{1}=a_{2}$。这表明两个线性多项式相等，因此 $f$ 是单射。

为了证明 $f$ 是满射，请注意，陪域中的这个成员

${\begin{pmatrix}s\\t\end{pmatrix}}$

是定义域中这个成员的像 $(s+t)+tx$。

为了验证 $f$ 保持结构，我们可以使用 引理 1.9 的第 2 项。

${\begin{array}{rl}f\left(c_{1}\cdot (a_{1}+b_{1}x)+c_{2}\cdot (a_{2}+b_{2}x)\right)&=f\left((c_{1}a_{1}+c_{2}a_{2})+(c_{1}b_{1}+c_{2}b_{2})x\right)\\&={\begin{pmatrix}(c_{1}a_{1}+c_{2}a_{2})-(c_{1}b_{1}+c_{2}b_{2})\\c_{1}b_{1}+c_{2}b_{2}\end{pmatrix}}\\&=c_{1}\cdot {\begin{pmatrix}a_{1}-b_{1}\\b_{1}\end{pmatrix}}+c_{2}\cdot {\begin{pmatrix}a_{2}-b_{2}\\b_{2}\end{pmatrix}}\\&=c_{1}\cdot f(a_{1}+b_{1}x)+c_{2}\cdot f(a_{2}+b_{2}x)\end{array}}$

问题 3

证明来自 示例 1.5 的自然映射 $f_{1}$ 是一个同构。

答案

为了验证它是单射的，假设 $f_{1}(c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z)=f_{1}(d_{1}x+d_{2}y+d_{3}z)$。然后 $c_{1}+c_{2}x+c_{3}x^{2}=d_{1}+d_{2}x+d_{3}x^{2}$，根据 $f_{1}$ 的定义。 ${\mathcal {P}}_{2}$ 中的成员只有当它们的系数相同时才相等，因此这意味着 $c_{1}=d_{1}$ 且 $c_{2}=d_{2}$ 且 $c_{3}=d_{3}$。因此 $f_{1}(c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z)=f_{1}(d_{1}x+d_{2}y+d_{3}z)$ 意味着 $c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z=d_{1}x+d_{2}y+d_{3}z$，因此 $f_{1}$ 是单射的。

为了验证它是满射的，考虑余域 $a_{1}+a_{2}x+a_{3}x^{2}$ 中的任意成员，并观察到它实际上是定义域中的一个成员的像，即它是 $f_{1}(a_{1}x+a_{2}y+a_{3}z)$。（例如，$0+3x+6x^{2}=f_{1}(0x+3y+6z)$。）

验证 $f_{1}$ 保持加法的计算如下。

${\begin{array}{rl}f_{1}\left(\,(c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z)+(d_{1}x+d_{2}y+d_{3}z)\,\right)&=f_{1}\left(\,(c_{1}+d_{1})x+(c_{2}+d_{2})y+(c_{3}+d_{3})z\,\right)\\&=(c_{1}+d_{1})+(c_{2}+d_{2})x+(c_{3}+d_{3})x^{2}\\&=(c_{1}+c_{2}x+c_{3}x^{2})+(d_{1}+d_{2}x+d_{3}x^{2})\\&=f_{1}(c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z)+f_{1}(d_{1}x+d_{2}y+d_{3}z)\end{array}}$

检查 $f_{1}$ 是否保留了标量乘法，如下所示。

${\begin{array}{rl}f_{1}(\,r\cdot (c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z)\,)&=f_{1}(\,(rc_{1})x+(rc_{2})y+(rc_{3})z\,)\\&=(rc_{1})+(rc_{2})x+(rc_{3})x^{2}\\&=r\cdot (c_{1}+c_{2}x+c_{3}x^{2})\\&=r\cdot f_{1}(c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z)\end{array}}$

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问题 4

判断每个映射是否为同构（如果它是同构，则证明它；如果不是，则说明它不满足的条件）。

1. $f:{\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}\to \mathbb {R}$ 由以下给出

   ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mapsto ad-bc$

2. $f:{\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}\to \mathbb {R} ^{4}$ 由以下给出

   ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}a+b+c+d\\a+b+c\\a+b\\a\end{pmatrix}}$

3. $f:{\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}\to {\mathcal {P}}_{3}$ 给出的

   ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mapsto c+(d+c)x+(b+a)x^{2}+ax^{3}$

4. $f:{\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}\to {\mathcal {P}}_{3}$ 给出的

   ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mapsto c+(d+c)x+(b+a+1)x^{2}+ax^{3}$

答案

1. 不；该映射不是一对一的。 特别地，全零矩阵与全一矩阵映射到相同的像。
2. 是的，这是一个同构。 它是单射的

   ${\text{if }}f({\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}\\c_{1}&d_{1}\end{pmatrix}})=f({\begin{pmatrix}a_{2}&b_{2}\\c_{2}&d_{2}\end{pmatrix}}){\text{ then }}{\begin{pmatrix}a_{1}+b_{1}+c_{1}+d_{1}\\a_{1}+b_{1}+c_{1}\\a_{1}+b_{1}\\a_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{2}+b_{2}+c_{2}+d_{2}\\a_{2}+b_{2}+c_{2}\\a_{2}+b_{2}\\a_{2}\end{pmatrix}}$

   表明 $a_{1}=a_{2}$，并且 $b_{1}=b_{2}$，并且 $c_{1}=c_{2}$，并且 $d_{1}=d_{2}$。 它是满射的，因为这表明

   ${\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}=f({\begin{pmatrix}w&z-w\\y-z&x-y\end{pmatrix}})$

   任何一个四维向量都是一个 $2\!\times \!2$ 矩阵的像。最后，它保持组合

   ${\begin{array}{rl}f(\,r_{1}\cdot {\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}\\c_{1}&d_{1}\end{pmatrix}}+r_{2}\cdot {\begin{pmatrix}a_{2}&b_{2}\\c_{2}&d_{2}\end{pmatrix}}\,)&=f({\begin{pmatrix}r_{1}a_{1}+r_{2}a_{2}&r_{1}b_{1}+r_{2}b_{2}\\r_{1}c_{1}+r_{2}c_{2}&r_{1}d_{1}+r_{2}d_{2}\end{pmatrix}})\\&={\begin{pmatrix}r_{1}a_{1}+\dots +r_{2}d_{2}\\r_{1}a_{1}+\dots +r_{2}c_{2}\\r_{1}a_{1}+\dots +r_{2}b_{2}\\r_{1}a_{1}+r_{2}a_{2}\end{pmatrix}}\\&=r_{1}\cdot {\begin{pmatrix}a_{1}+\dots +d_{1}\\a_{1}+\dots +c_{1}\\a_{1}+b_{1}\\a_{1}\end{pmatrix}}+r_{2}\cdot {\begin{pmatrix}a_{2}+\dots +d_{2}\\a_{2}+\dots +c_{2}\\a_{2}+b_{2}\\a_{2}\end{pmatrix}}\\&=r_{1}\cdot f({\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}\\c_{1}&d_{1}\end{pmatrix}})+r_{2}\cdot f({\begin{pmatrix}a_{2}&b_{2}\\c_{2}&d_{2}\end{pmatrix}})\end{array}}$

   因此， 引理 1.9 的第 2 条表明它保持结构。
3. 是的，它是一个同构。为了证明它是单射的，我们假设域中的两个成员在 $f$ 下有相同的像。

   $f({\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}\\c_{1}&d_{1}\end{pmatrix}})=f({\begin{pmatrix}a_{2}&b_{2}\\c_{2}&d_{2}\end{pmatrix}})$

   根据 $f$ 的定义，我们得到 $c_{1}+(d_{1}+c_{1})x+(b_{1}+a_{1})x^{2}+a_{1}x^{3}=c_{2}+(d_{2}+c_{2})x+(b_{2}+a_{2})x^{2}+a_{2}x^{3}$，然后，由于多项式只有在系数相等时才相等，因此得到一组线性方程

   ${\begin{array}{rl}c_{1}&=c_{2}\\d_{1}+c_{1}&=d_{2}+c_{2}\\b_{1}+a_{1}&=b_{2}+a_{2}\\a_{1}&=a_{2}\end{array}}$

   该方程组只有一个解 $a_{1}=a_{2}$，$b_{1}=b_{2}$，$c_{1}=c_{2}$ 以及 $d_{1}=d_{2}$。为了表明 $f$ 是满射，我们注意到 $p+qx+rx^{2}+sx^{3}$ 是该矩阵在 $f$ 下的像。

   ${\begin{pmatrix}s&r-s\\p&q-p\end{pmatrix}}$

   我们可以通过使用引理 1.9 的第 2 条来检查$f$ 是否保留结构。

   ${\begin{array}{rl}f(r_{1}\cdot {\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}\\c_{1}&d_{1}\end{pmatrix}}+r_{2}\cdot {\begin{pmatrix}a_{2}&b_{2}\\c_{2}&d_{2}\end{pmatrix}})&=f({\begin{pmatrix}r_{1}a_{1}+r_{2}a_{2}&r_{1}b_{1}+r_{2}b_{2}\\r_{1}c_{1}+r_{2}c_{2}&r_{1}d_{1}+r_{2}d_{2}\end{pmatrix}})\\&={\begin{array}{rl}&(r_{1}c_{1}+r_{2}c_{2})+(r_{1}d_{1}+r_{2}d_{2}+r_{1}c_{1}+r_{2}c_{2})x\\&\,\quad +(r_{1}b_{1}+r_{2}b_{2}+r_{1}a_{1}+r_{2}a_{2})x^{2}+(r_{1}a_{1}+r_{2}a_{2})x^{3}\end{array}}\\&={\begin{array}{rl}&r_{1}\cdot \left(c_{1}+(d_{1}+c_{1})x+(b_{1}+a_{1})x^{2}+a_{1}x^{3}\right)\\&\,\quad +r_{2}\cdot \left(c_{2}+(d_{2}+c_{2})x+(b_{2}+a_{2})x^{2}+a_{2}x^{3}\right)\end{array}}\\&=r_{1}\cdot f({\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}\\c_{1}&d_{1}\end{pmatrix}})+r_{2}\cdot f({\begin{pmatrix}a_{2}&b_{2}\\c_{2}&d_{2}\end{pmatrix}})\end{array}}$

4. 不，这个映射不保留结构。例如，它不会将零矩阵映射到零多项式。

问题 5

证明映射 $f:\mathbb {R} ^{1}\to \mathbb {R} ^{1}$ 由$f(x)=x^{3}$ 给出，是一对一的且满射。它是一个同构吗？

答案

该映射是一对一的且满射，因为存在逆映射（即，$f^{-1}(x)={\sqrt[{3}]{x}}$）。然而，它不是同构。例如，$f(1)+f(1)\neq f(1+1)$.

建议所有读者进行此练习。

问题 6

参考 示例 1.1。给出另外两个同构（当然，需要验证它们是否满足同构定义中的条件）。

答案

许多映射都是可能的。这里给出两个。

${\begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}b\\a\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad {\begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}2a\\b\end{pmatrix}}$

验证是上面其他验证的直接推广。

问题 7

参考 示例 1.2。给出另外两个同构（并验证它们是否满足条件）。

答案

这里给出两个。

$a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}\mapsto {\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{0}\\a_{2}\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}\mapsto {\begin{pmatrix}a_{0}+a_{1}\\a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}$

验证是直接的（对于第二个映射，为了证明它是满射，注意

${\begin{pmatrix}s\\t\\u\end{pmatrix}}$

是 $(s-t)+tx+ux^{2}$的像）。

建议所有读者进行此练习。

问题 8

证明，尽管 $\mathbb {R} ^{2}$本身不是 $\mathbb {R} ^{3}$的子空间，但它与 $\mathbb {R} ^{3}$的 $xy$-平面子空间同构。

答案

空间 $\mathbb {R} ^{2}$ 不是 $\mathbb {R} ^{3}$ 的子空间，因为它不是 $\mathbb {R} ^{3}$ 的子集。 $\mathbb {R} ^{2}$ 中的二维向量不是 $\mathbb {R} ^{3}$ 的成员。

自然同构 $\iota :\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}$（称为注入映射）如下。

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}{\stackrel {\iota }{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}}$

此映射是一对一的，因为

$f({\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}})=f({\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{pmatrix}})\quad {\text{implies}}\quad {\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\0\end{pmatrix}}$

进而意味着 $x_{1}=x_{2}$ 且 $y_{1}=y_{2}$，因此最初的两个二维向量相等。

因为

${\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}}=f({\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}})$

此映射映入 $xy$ 平面。

为了表明此映射保持结构，我们将使用 引理 1.9 的第 2 项并证明

$f(c_{1}\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}+c_{2}\cdot {\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{pmatrix}})=f({\begin{pmatrix}c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}\\c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}\\c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}\\0\end{pmatrix}}$

$=c_{1}\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\0\end{pmatrix}}+c_{2}\cdot {\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\0\end{pmatrix}}=c_{1}\cdot f({\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}})+c_{2}\cdot f({\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{pmatrix}})$

也就是说它保留了两个向量的组合。

问题 9

找出 $\mathbb {R} ^{16}$ 和 ${\mathcal {M}}_{4\!\times \!4}$ 之间的两个同构。

答案

这里有两个

${\begin{pmatrix}r_{1}\\r_{2}\\\vdots \\r_{16}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}r_{1}&r_{2}&\ldots \\&\\&&\ldots &r_{16}\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad {\begin{pmatrix}r_{1}\\r_{2}\\\vdots \\r_{16}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}r_{1}&\\r_{2}&\\\vdots &&&\vdots \\&&&r_{16}\end{pmatrix}}$

验证每个同构都很容易。

建议所有读者进行此练习。

问题 10

对于什么 $k$，${\mathcal {M}}_{m\!\times \!n}$ 与 $\mathbb {R} ^{k}$ 同构？

答案

当 $k$ 是乘积 $k=mn$ 时，这里有一个同构。

${\begin{pmatrix}r_{1}&r_{2}&\ldots \\&\vdots \\&&\ldots &r_{m\cdot n}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}r_{1}\\r_{2}\\\vdots \\r_{m\cdot n}\end{pmatrix}}$

检查这个同构很简单。

问题 11

对于什么 $k$，${\mathcal {P}}_{k}$ 与 $\mathbb {R} ^{n}$ 同构？

答案

如果 $n\geq 1$，则 ${\mathcal {P}}_{n-1}\cong \mathbb {R} ^{n}$。（如果我们取 ${\mathcal {P}}_{-1}$ 和 $\mathbb {R} ^{0}$ 作为平凡向量空间，那么这个关系会扩展到更低一维。）它们之间的自然同构是这个。

$a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n-1}x^{n-1}\mapsto {\begin{pmatrix}a_{0}\\a_{1}\\\vdots \\a_{n-1}\end{pmatrix}}$

检查它是一个同构很简单。

问题 12

证明 示例 1.7 中，从 ${\mathcal {P}}_{5}$ 到 ${\mathcal {P}}_{5}$ 的映射，由 $p(x)\mapsto p(x-1)$ 给出，是向量空间同构。

答案

这是扩展的映射。

${\begin{array}{rl}f(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}+a_{5}x^{5})&={\begin{array}{rl}&a_{0}+a_{1}(x-1)+a_{2}(x-1)^{2}+a_{3}(x-1)^{3}\\&\,\quad +a_{4}(x-1)^{4}+a_{5}(x-1)^{5}\end{array}}\\&={\begin{array}{rl}&a_{0}+a_{1}(x-1)+a_{2}(x^{2}-2x+1)\\&\,\quad +a_{3}(x^{3}-3x^{2}+3x-1)\\&\,\quad +a_{4}(x^{4}-4x^{3}+6x^{2}-4x+1)\\&\,\quad +a_{5}(x^{5}-5x^{4}+10x^{3}-10x^{2}+5x-1)\end{array}}\\&={\begin{array}{rl}&(a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+a_{4}-a_{5})\\&\,\quad +(a_{1}-2a_{2}+3a_{3}-4a_{4}+5a_{5})x\\&\,\quad +(a_{2}-3a_{3}+6a_{4}-10a_{5})x^{2}+(a_{3}-4a_{4}+10a_{5})x^{3}\\&\,\quad +(a_{4}-5a_{5})x^{4}+a_{5}x^{5}\end{array}}\end{array}}$

为了最终验证它是否是同构，我们应用 引理 1.9 的第 2 条，并证明它保留了两个多项式的线性组合。简而言之，检查过程如下。

$f(c\cdot (a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{5}x^{5})+d\cdot (b_{0}+b_{1}x+\dots +b_{5}x^{5}))$

$=\dots =(ca_{0}-ca_{1}+ca_{2}-ca_{3}+ca_{4}-ca_{5}+db_{0}-db_{1}+db_{2}-db_{3}+db_{4}-db_{5})+\dots +(ca_{5}+db_{5})x^{5}$

$=\dots =c\cdot f(a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{5}x^{5})+d\cdot f(b_{0}+b_{1}x+\dots +b_{5}x^{5})$

问题 13

为什么在 引理 1.8 中，必须存在一个 ${\vec {v}}\in V$？也就是说，为什么 $V$ 不能为空集？

答案

没有向量空间以空集为其基础。我们可以取 ${\vec {v}}$ 为零向量。

问题 14

任何两个平凡空间是否同构？

答案

是的，当两个空间分别是 $\{{\vec {a}}\}$ 和 $\{{\vec {b}}\}$ 时，将 ${\vec {a}}$ 映射到 ${\vec {b}}$ 的映射显然是一对一的，并且也是满射的，并且还保留了其中很少的结构。

问题 15

在 引理 1.9 的证明中，零和项的情况怎么样（即，如果 $n$ 为零）？

答案

一个 $n=0$ 个向量的线性组合加起来就是零向量，所以 引理 1.8 表明在这种情况下，这三个语句是等价的。

问题 16

证明任何同构 $f:{\mathcal {P}}_{0}\to \mathbb {R} ^{1}$ 具有形式 $a\mapsto ka$，其中 $k$ 是一个非零实数。

答案

考虑 ${\mathcal {P}}_{0}$ 的基底 $\langle 1\rangle$，令 $f(1)\in \mathbb {R}$ 为 $k$。对于任何 $a\in {\mathcal {P}}_{0}$ 我们有 $f(a)=f(a\cdot 1)=af(1)=ak$，因此 $f$ 的作用是乘以 $k$。注意 $k\neq 0$，否则映射不是一对一的。（顺便说一下，任何这样的映射 $a\mapsto ka$ 都是同构，很容易检查）。

建议所有读者进行此练习。

问题 17

这些证明了同构是等价关系。

1. 证明恒等映射 ${\mbox{id}}:V\to V$ 是一个同构。因此，任何向量空间都与其自身同构。
2. 证明如果 $f:V\to W$ 是一个同构，那么其逆 $f^{-1}:W\to V$ 也是一个同构。因此，如果 $V$ 与 $W$ 同构，那么 $W$ 也与 $V$ 同构。
3. 证明一个同构的复合还是同构：如果 $f:V\to W$ 是一个同构，而 $g:W\to U$ 也是一个同构，那么 $g\circ f:V\to U$ 也是一个同构。因此，如果 $V$ 与 $W$ 同构，而 $W$ 与 $U$ 同构，那么 $V$ 与 $U$ 也同构。

答案

在每个项目中，遵循 引理 1.9 中的第 2 项，我们通过证明它保持域中两个成员的线性组合来证明映射保持结构。

1. 恒等映射显然是一对一的和满射的。对于线性组合，检查很容易。

   ${\mbox{id}}(c_{1}\cdot {\vec {v}}_{1}+c_{2}\cdot {\vec {v}}_{2})=c_{1}{\vec {v}}_{1}+c_{2}{\vec {v}}_{2}=c_{1}\cdot {\mbox{id}}({\vec {v}}_{1})+c_{2}\cdot {\mbox{id}}({\vec {v}}_{2})$

2. 对应关系的逆也是对应关系（如附录中所述），因此我们只需要检查逆是否保持线性组合。假设 ${\vec {w}}_{1}=f({\vec {v}}_{1})$（所以 $f^{-1}({\vec {w}}_{1})={\vec {v}}_{1}$）并假设 ${\vec {w}}_{2}=f({\vec {v}}_{2})$.

   ${\begin{array}{rl}f^{-1}(c_{1}\cdot {\vec {w}}_{1}+c_{2}\cdot {\vec {w}}_{2})&=f^{-1}{\bigl (}\,c_{1}\cdot f({\vec {v}}_{1})+c_{2}\cdot f({\vec {v}}_{2})\,{\bigr )}\\&=f^{-1}(\,f{\bigl (}c_{1}{\vec {v}}_{1}+c_{2}{\vec {v}}_{2})\,{\bigr )}\\&=c_{1}{\vec {v}}_{1}+c_{2}{\vec {v}}_{2}\\&=c_{1}\cdot f^{-1}({\vec {w}}_{1})+c_{2}\cdot f^{-1}({\vec {w}}_{2})\end{array}}$

3. 两个对应关系的复合是一个对应关系（如附录中所述），因此我们只需要检查复合映射是否保持线性组合。

   ${\begin{array}{rl}g\circ f\,{\bigl (}c_{1}\cdot {\vec {v}}_{1}+c_{2}\cdot {\vec {v}}_{2}{\bigr )}&=g{\bigl (}\,f(c_{1}{\vec {v}}_{1}+c_{2}{\vec {v}}_{2})\,{\bigr )}\\&=g{\bigl (}\,c_{1}\cdot f({\vec {v}}_{1})+c_{2}\cdot f({\vec {v}}_{2})\,{\bigr )}\\&=c_{1}\cdot g{\bigl (}f({\vec {v}}_{1}))+c_{2}\cdot g(f({\vec {v}}_{2}){\bigr )}\\&=c_{1}\cdot g\circ f\,({\vec {v}}_{1})+c_{2}\cdot g\circ f\,({\vec {v}}_{2})\end{array}}$

问题 18

假设$f:V\to W$ 保持结构。证明$f$ 是单射当且仅当$V$ 中唯一被 $f$ 映射到 ${\vec {0}}_{W}$ 的元素是 ${\vec {0}}_{V}$。

答案

一个方向很容易：根据定义，如果$f$ 是单射，那么对于任何 ${\vec {w}}\in W$，最多只有一个 ${\vec {v}}\in V$ 使得 $f({\vec {v}}\,)={\vec {w}}$，因此， 特别地，最多只有一个 $V$ 中的元素被映射到 ${\vec {0}}_{W}$。对引理 1.8 的证明并没有用到映射是对应关系这一事实，因此证明了任何结构保持映射 $f$ 将 ${\vec {0}}_{V}$ 映射到 ${\vec {0}}_{W}$。

对于另一个方向，假设$V$中唯一映射到${\vec {0}}_{W}$的成员是${\vec {0}}_{V}$。为了证明$f$是一对一的，假设$f({\vec {v}}_{1})=f({\vec {v}}_{2})$。那么$f({\vec {v}}_{1})-f({\vec {v}}_{2})={\vec {0}}_{W}$，因此$f({\vec {v}}_{1}-{\vec {v}}_{2})={\vec {0}}_{W}$。因此${\vec {v}}_{1}-{\vec {v}}_{2}={\vec {0}}_{V}$，因此${\vec {v}}_{1}={\vec {v}}_{2}$，因此$f$是一对一的。

问题 19

假设$f:V\to W$是一个同构。证明集合$\{{\vec {v}}_{1},\dots ,{\vec {v}}_{k}\}\subseteq V$ 线性相关当且仅当图像集合$\{f({\vec {v}}_{1}),\dots ,f({\vec {v}}_{k})\}\subseteq W$ 线性相关。

答案

我们将证明更强的东西——同构不仅保留了依赖关系的存在，而且保留了依赖关系的每个实例，也就是说，

${\vec {v}}_{i}=c_{1}{\vec {v}}_{1}+\cdots +c_{i-1}{\vec {v}}_{i-1}+c_{i+1}{\vec {v}}_{i+1}+\cdots +c_{k}{\vec {v}}_{k}$

$\iff f({\vec {v}}_{i})=c_{1}f({\vec {v}}_{1})+\cdots +c_{i-1}f({\vec {v}}_{i-1})+c_{i+1}f({\vec {v}}_{i+1})+\cdots +c_{k}f({\vec {v}}_{k}).$

该语句的$\implies$方向成立，根据引理 1.9的第 3 点。该语句的$\Longleftarrow$方向成立，通过重新分组。

${\begin{array}{rl}f({\vec {v}}_{i})&=c_{1}f({\vec {v}}_{1})+\dots +c_{i-1}f({\vec {v}}_{i-1})+c_{i+1}f({\vec {v}}_{i+1})+\dots +c_{k}f({\vec {v}}_{k})\\&=f(c_{1}{\vec {v}}_{1}+\dots +c_{i-1}{\vec {v}}_{i-1}+c_{i+1}{\vec {v}}_{i+1}+\dots +c_{k}{\vec {v}}_{k})\end{array}}$

并应用$f$是单射的事实，因此对于两个向量${\vec {v}}_{i}$和$c_{1}{\vec {v}}_{1}+\dots +c_{i-1}{\vec {v}}_{i-1}+c_{i+1}{\vec {v}}_{i+1}+\dots +c_{k}{\vec {v}}_{k}$被$f$映射到相同的图像，它们必须相等。

建议所有读者进行此练习。

问题 20

证明来自示例 1.6 的每种映射都是自同构。

1. 以非零标量$s$ 进行的膨胀 $d_{s}$。
2. 绕角度$\theta$ 进行的旋转 $t_{\theta }$。
3. 关于过原点的直线的反射 $f_{\ell }$。

提示。对于第二项和第三项，极坐标很有用。

答案

1. 此映射是一对一的，因为如果$d_{s}({\vec {v}}_{1})=d_{s}({\vec {v}}_{2})$，那么根据映射的定义，$s\cdot {\vec {v}}_{1}=s\cdot {\vec {v}}_{2}$，因此 ${\vec {v}}_{1}={\vec {v}}_{2}$，因为 $s$ 不为零。此映射是满射的，因为任何${\vec {w}}\in \mathbb {R} ^{2}$ 都是 ${\vec {v}}=(1/s)\cdot {\vec {w}}$ 的像（同样，请注意 $s$ 不为零）。（另一种看待此映射为对应关系的方式是观察到它具有逆映射：$d_{s}$ 的逆映射是 $d_{1/s}$。）最后，请注意此映射保留线性组合

   $d_{s}(c_{1}\cdot {\vec {v}}_{1}+c_{2}\cdot {\vec {v}}_{2})=s(c_{1}{\vec {v}}_{1}+c_{2}{\vec {v}}_{2})=c_{1}s{\vec {v}}_{1}+c_{2}s{\vec {v}}_{2}=c_{1}\cdot d_{s}({\vec {v}}_{1})+c_{2}\cdot d_{s}({\vec {v}}_{2})$

   因此，它是一个同构。
2. 与上一项类似，我们可以通过注意到映射 $t_{\theta }$ 具有逆映射 $t_{-\theta }$ 来证明该映射是一个对应关系。映射保持结构是几何上很容易看到的。例如，将两个向量相加然后旋转它们的效果与先旋转再相加相同。为了进行代数论证，考虑极坐标：映射 $t_{\theta }$ 将具有端点 $(r,\phi )$ 的向量映射到具有端点 $(r,\phi +\theta )$ 的向量。然后，熟悉的三角公式 $\cos(\phi +\theta )=\cos \phi \,\cos \theta -\sin \phi \,\sin \theta$ 和 $\sin(\phi +\theta )=\sin \phi \,\cos \theta +\cos \phi \,\sin \theta$ 表明了如何在通常的直角坐标系中表达映射的作用。

   ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r\cos \phi \\r\sin \phi \end{pmatrix}}{\stackrel {t_{\theta }}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}r\cos(\phi +\theta )\\r\sin(\phi +\theta )\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\cos \theta -y\sin \theta \\x\sin \theta +y\cos \theta \end{pmatrix}}$

   现在，保持加法的计算是例行的。

   ${\begin{pmatrix}x_{1}+x_{2}\\y_{1}+y_{2}\end{pmatrix}}{\stackrel {t_{\theta }}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}(x_{1}+x_{2})\cos \theta -(y_{1}+y_{2})\sin \theta \\(x_{1}+x_{2})\sin \theta +(y_{1}+y_{2})\cos \theta \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}\cos \theta -y_{1}\sin \theta \\x_{1}\sin \theta +y_{1}\cos \theta \end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x_{2}\cos \theta -y_{2}\sin \theta \\x_{2}\sin \theta +y_{2}\cos \theta \end{pmatrix}}$

   对标量乘法的保留计算类似。
3. 该映射是一个对应关系，因为它有逆（即它本身）。与上一项一样，从几何上很容易看出反射映射保留结构：先加向量再反射与先反射再加的结果相同，例如。为了代数证明，假设直线 $\ell$ 的斜率为 $k$（斜率为未定义的直线的情况可以作为单独的、简单的案例处理）。我们可以按照提示使用极坐标：直线 $\ell$ 与 $x$ 轴形成的角度为 $\phi$，$f_{\ell }$ 的作用是将以 $(r\cos \theta ,r\sin \theta )$ 为端点的向量映射到以 $(r\cos(2\phi -\theta ),r\sin(2\phi -\theta ))$ 为端点的向量。

   

   为了转换为直角坐标，我们将使用一些三角公式，就像我们在上一项中所做的那样。首先观察到 $\cos \phi$ 和 $\sin \phi$ 可以从直线的斜率 $k$ 中确定。这张图

   

   得出 $\cos \phi =1/{\sqrt {1+k^{2}}}$ 以及 $\sin \phi =k/{\sqrt {1+k^{2}}}$。现在，

   ${\begin{array}{rl}\cos(2\phi -\theta )&=\cos(2\phi )\,\cos \theta +\sin(2\phi )\,\sin \theta \\&=\left(\cos ^{2}\phi -\sin ^{2}\phi \right)\,\cos \theta +\left(2\sin \phi \cos \phi \right)\,\sin \theta \\&=\left(({\frac {1}{\sqrt {1+k^{2}}}})^{2}-({\frac {k}{\sqrt {1+k^{2}}}})^{2}\right)\,\cos \theta +\left(2{\frac {k}{\sqrt {1+k^{2}}}}{\frac {1}{\sqrt {1+k^{2}}}}\right)\,\sin \theta \\&=\left({\frac {1-k^{2}}{1+k^{2}}}\right)\,\cos \theta +\left({\frac {2k}{1+k^{2}}}\right)\,\sin \theta \end{array}}$

   因此，图像向量的第一部分是。

   $r\cdot \cos(2\phi -\theta )={\frac {1-k^{2}}{1+k^{2}}}\cdot x+{\frac {2k}{1+k^{2}}}\cdot y$

   类似的计算表明，图像向量的第二个部分是。

   $r\cdot \sin(2\phi -\theta )={\frac {2k}{1+k^{2}}}\cdot x-{\frac {1-k^{2}}{1+k^{2}}}\cdot y$

   通过这种对 $f_{\ell }$ 的代数描述，

   
   

   ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}{\stackrel {f_{\ell }}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}(1-k^{2}/1+k^{2})\cdot x+(2k/1+k^{2})\cdot y\\(2k/1+k^{2})\cdot x-(1-k^{2}/1+k^{2})\cdot y\end{pmatrix}}$

   
   检查它是否保持结构是例行公事。

问题 21

除了恒等映射和位移映射 $p(x)\mapsto p(x-k)$ 之外，构造 ${\mathcal {P}}_{2}$ 的一个自同构。

答案

首先，映射 $p(x)\mapsto p(x+k)$ 不算，因为它只是 $p(x)\mapsto p(x-k)$ 的一种形式。这里给出一个正确的答案（还有很多其他正确的答案）：$a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}\mapsto a_{2}+a_{0}x+a_{1}x^{2}$。验证这是一个同构是直接的。

问题 22

1. 证明一个函数 $f:\mathbb {R} ^{1}\to \mathbb {R} ^{1}$ 是一个自同构，当且仅当它具有以下形式 $x\mapsto kx$，其中 $k\neq 0$。
2. 设 $f$ 是 $\mathbb {R} ^{1}$ 的一个自同构，使得 $f(3)=7$。求 $f(-2)$。
3. 证明一个函数 $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ 是一个自同构，当且仅当它具有以下形式

   ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\end{pmatrix}}$

   对于某些 $a,b,c,d\in \mathbb {R}$，其中 $ad-bc\neq 0$。提示： 前面的部分中的一些习题已经证明了

   ${\begin{pmatrix}b\\d\end{pmatrix}}{\text{ is not a multiple of }}{\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}}$

   当且仅当 $ad-bc\neq 0$。
4. 令 $f$ 是 $\mathbb {R} ^{2}$ 的一个自同构，且

   $f({\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad f({\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}.$

   求

   $f({\begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix}}).$

答案

1. 对于“当且仅当”的一半，令 $f:\mathbb {R} ^{1}\to \mathbb {R} ^{1}$ 为一个同构。考虑基 $\langle 1\rangle \subseteq \mathbb {R} ^{1}$。将 $f(1)$ 记作 $k$。然后对于任何 $x$ 我们有 $f(x)=f(x\cdot 1)=x\cdot f(1)=xk$，因此 $f$ 的作用是乘以 $k$。为了完成这一半，只需要注意到 $k\neq 0$，否则 $f$ 不会是一一映射。对于“如果”的一半，我们只需要检查当 $k\neq 0$ 时这样的映射是否为同构。为了检查它是否是一一映射，假设 $f(x_{1})=f(x_{2})$，使得 $kx_{1}=kx_{2}$，并除以非零因子 $k$ 得出结论 $x_{1}=x_{2}$。为了检查它是否满射，注意到任何 $y\in \mathbb {R} ^{1}$ 都是 $x=y/k$ 的像（同样，$k\neq 0$）。最后，为了检查这样的映射是否保持域中两个成员的组合，我们有以下结果。

   $f(c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2})=k(c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2})=c_{1}kx_{1}+c_{2}kx_{2}=c_{1}f(x_{1})+c_{2}f(x_{2})$

2. 根据前一项，$f$的作用是$x\mapsto (7/3)x$。因此$f(-2)=-14/3$。
3. 对于“仅当”部分，假设$f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$是一个自同构。考虑$\mathbb {R} ^{2}$的标准基${\mathcal {E}}_{2}$。令

   $f({\vec {e}}_{1})={\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad f({\vec {e}}_{2})={\begin{pmatrix}b\\d\end{pmatrix}}.$

   那么$f$对任何向量的作用都由它对这两个基向量的作用决定。

   $f({\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}})=f(x\cdot {\vec {e}}_{1}+y\cdot {\vec {e}}_{2})=x\cdot f({\vec {e}}_{1})+y\cdot f({\vec {e}}_{2})=x\cdot {\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}}+y\cdot {\begin{pmatrix}b\\d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\end{pmatrix}}$

   要完成这一半，请注意，如果 $ad-bc=0$，也就是说，如果 $f({\vec {e}}_{2})$ 是 $f({\vec {e}}_{1})$ 的倍数，那么 $f$ 不是一对一的。对于“如果”，我们必须检查映射在 $ad-bc\neq 0$ 的条件下是否为同构。结构保持检查很简单；我们将在下面证明 $f$ 为对应关系。对于映射是一对一的论证，假设此映射是一对一的。

   $f({\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}})=f({\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{pmatrix}})\quad {\text{and so}}\quad {\begin{pmatrix}ax_{1}+by_{1}\\cx_{1}+dy_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ax_{2}+by_{2}\\cx_{2}+dy_{2}\end{pmatrix}}$

   然后，因为 $ad-bc\neq 0$，得到的系统

   ${\begin{array}{*{2}{rc}r}a(x_{1}-x_{2})&+&b(y_{1}-y_{2})&=&0\\c(x_{1}-x_{2})&+&d(y_{1}-y_{2})&=&0\end{array}}$

   有唯一的解，即平凡解 $x_{1}-x_{2}=0$ 和 $y_{1}-y_{2}=0$（这从提示中可以得出）。该映射是满射的论证与之密切相关——此系统

   ${\begin{array}{*{2}{rc}r}ax_{1}&+&by_{1}&=&x\\cx_{1}&+&dy_{1}&=&y\end{array}}$

   对于任何 $x$ 和 $y$ 都存在一个解，当且仅当该集合是

   $\{{\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}b\\d\end{pmatrix}}\}$

   跨越了 $\mathbb {R} ^{2}$，也就是说，当且仅当该集合是基底（因为它是由 $\mathbb {R} ^{2}$ 中的两个元素组成的子集），也就是说，当且仅当 $ad-bc\neq 0$。

4. $f({\begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix}})=f({\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}})=f({\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}})-f({\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}}$

问题 23

参见 引理 1.8 和 引理 1.9。找出同构保持的其他两个特征。

答案

答案有很多；其中两个是线性无关性和子空间。

为了证明如果一个集合 $\{{\vec {v}}_{1},\dots ,{\vec {v}}_{n}\}$ 是线性无关的，那么它的像 $\{f({\vec {v}}_{1}),\dots ,f({\vec {v}}_{n})\}$ 也是线性无关的，请考虑像集的成员之间的一个线性关系。

$0=c_{1}f({\vec {v}}_{1})+\dots +c_{n}f({\vec {v_{n}}})=f(c_{1}{\vec {v}}_{1})+\dots +f(c_{n}{\vec {v_{n}}})=f(c_{1}{\vec {v}}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {v_{n}}})$

由于此映射是同构，因此它是单射的。因此 $f$ 只将域中的一个向量映射到范围中的零向量，即，$c_{1}{\vec {v}}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {v}}_{n}$ 等于零向量（当然是在域中）。但是，如果 $\{{\vec {v}}_{1},\dots ,{\vec {v}}_{n}\}$ 线性无关，则所有 $c$ 均为零，因此 $\{f({\vec {v}}_{1}),\dots ,f({\vec {v}}_{n})\}$ 也线性无关。（注：关于此论证，有一个小点值得一提。在集合中，重复项会合并，也就是说，严格地说，这是一个单元素集合：$\{{\vec {v}},{\vec {v}}\}$，因为列出的元素是同一个。但是，请注意上述论证中下标 $n$ 的使用。从域集 $\{{\vec {v}}_{1},\dots ,{\vec {v}}_{n}\}$ 到像集 $\{f({\vec {v}}_{1}),\dots ,f({\vec {v}}_{n})\}$ 的过程中，没有合并，因为像集没有重复项，因为同构 $f$ 是单射的。）

为了证明如果 $f:V\to W$ 是一个同构，并且如果 $U$ 是定义域 $V$ 的一个子空间，那么图像向量集 $f(U)=\{{\vec {w}}\in W\,{\big |}\,{\vec {w}}=f({\vec {u}}){\text{ for some }}{\vec {u}}\in U\}$ 是 $W$ 的一个子空间，我们只需要证明它在两个成员的线性组合下是封闭的（它是非空的，因为它包含零向量的图像）。我们有

$c_{1}\cdot f({\vec {u}}_{1})+c_{2}\cdot f({\vec {u}}_{2})=f(c_{1}{\vec {u}}_{1})+f(c_{2}{\vec {u}}_{2})=f(c_{1}{\vec {u}}_{1}+c_{2}{\vec {u}}_{2})$

并且 $c_{1}{\vec {u}}_{1}+c_{2}{\vec {u}}_{2}$ 是 $U$ 的一个成员，因为子空间在组合下是封闭的。因此 $f({\vec {u}}_{1})$ 和 $f({\vec {u}}_{2})$ 的组合是 $f(U)$ 的一个成员。

问题 24

我们证明同构可以进行定制，以适应有时，给定定义域和值域中的向量，我们可以产生将这些向量关联起来的同构。

1. 令 $B=\langle {\vec {\beta }}_{1},{\vec {\beta }}_{2},{\vec {\beta }}_{3}\rangle$ 为 ${\mathcal {P}}_{2}$ 的一个基，这样任何 ${\vec {p}}\in {\mathcal {P}}_{2}$ 都有一个唯一的表示形式为 ${\vec {p}}=c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+c_{2}{\vec {\beta }}_{2}+c_{3}{\vec {\beta }}_{3}$，我们用这种方式表示。

   ${\rm {Rep}}_{B}({\vec {p}})={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\end{pmatrix}}$

   证明 ${\rm {Rep}}_{B}(\cdot )$ 操作是一个从 ${\mathcal {P}}_{2}$ 到 $\mathbb {R} ^{3}$ 的函数（这需要证明对于每个定义域向量 ${\vec {v}}\in {\mathcal {P}}_{2}$，都存在一个相关联的像向量在 $\mathbb {R} ^{3}$ 中，而且对于每个定义域向量 ${\vec {v}}\in {\mathcal {P}}_{2}$，最多只有一个相关联的像向量）。
2. 证明这个 ${\rm {Rep}}_{B}(\cdot )$ 函数是一对一的和满射的。
3. 证明它保持结构。
4. 生成一个从 ${\mathcal {P}}_{2}$ 到 $\mathbb {R} ^{3}$ 的同构，使其符合这些规范。

   $x+x^{2}\mapsto {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad 1-x\mapsto {\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}$

答案

1. 该关联

   ${\vec {p}}=c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+c_{2}{\vec {\beta }}_{2}+c_{3}{\vec {\beta }}_{3}{\stackrel {{\rm {Rep}}_{B}(\cdot )}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\end{pmatrix}}$

   是一个函数，如果域中的每个成员 ${\vec {p}}$ 都与陪域中的至少一个成员相关联，并且如果域中的每个成员 ${\vec {p}}$ 都与陪域中的至多一个成员相关联。第一个条件成立，因为基 $B$ 张成域——每个 ${\vec {p}}$ 都可以写成 ${\vec {\beta }}$ 的至少一个线性组合。第二个条件成立，因为基 $B$ 是线性无关的——域中的每个成员 ${\vec {p}}$ 都可以写成 ${\vec {\beta }}$ 的至多一个线性组合。
2. 对于一对一论证，如果 ${\rm {Rep}}_{B}({\vec {p}})={\rm {Rep}}_{B}({\vec {q}})$，也就是说，如果 ${\rm {Rep}}_{B}(p_{1}{\vec {\beta }}_{1}+p_{2}{\vec {\beta }}_{2}+p_{3}{\vec {\beta }}_{3})={\rm {Rep}}_{B}(q_{1}{\vec {\beta }}_{1}+q_{2}{\vec {\beta }}_{2}+q_{3}{\vec {\beta }}_{3})$ 那么

   ${\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}q_{1}\\q_{2}\\q_{3}\end{pmatrix}}$

   因此， $p_{1}=q_{1}$，$p_{2}=q_{2}$，$p_{3}=q_{3}$，这得出结论 ${\vec {p}}={\vec {q}}$。因此，该映射是一对一的。对于满射，我们可以注意到

   ${\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}$

   等于 ${\rm {Rep}}_{B}(a{\vec {\beta }}_{1}+b{\vec {\beta }}_{2}+c{\vec {\beta }}_{3})$，因此，陪域 $\mathbb {R} ^{3}$ 中的任何成员都是定义域 ${\mathcal {P}}_{2}$ 中某个成员的像。
3. 此映射遵循加法和标量乘法，因为它遵循定义域中两个成员的组合（即，我们使用 引理 1.9 中的项目 2）：其中 ${\vec {p}}=p_{1}{\vec {\beta }}_{1}+p_{2}{\vec {\beta }}_{2}+p_{3}{\vec {\beta }}_{3}$ 且 ${\vec {q}}=q_{1}{\vec {\beta }}_{1}+q_{2}{\vec {\beta }}_{2}+q_{3}{\vec {\beta }}_{3}$，我们有以下结果。

   ${\begin{array}{rl}{\rm {Rep}}_{B}(c\cdot {\vec {p}}+d\cdot {\vec {q}})&={\rm {Rep}}_{B}(\,(cp_{1}+dq_{1}){\vec {\beta }}_{1}+(cp_{2}+dq_{2}){\vec {\beta }}_{2}+(cp_{3}+dq_{3}){\vec {\beta }}_{3}\,)\\&={\begin{pmatrix}cp_{1}+dq_{1}\\cp_{2}+dq_{2}\\cp_{3}+dq_{3}\end{pmatrix}}\\&=c\cdot {\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\end{pmatrix}}+d\cdot {\begin{pmatrix}q_{1}\\q_{2}\\q_{3}\end{pmatrix}}\\&={\rm {Rep}}_{B}({\vec {p}})+{\rm {Rep}}_{B}({\vec {q}})\end{array}}$

4. 对于 ${\mathcal {P}}_{2}$，可以使用任何基 $B$，其前两个成员是 $x+x^{2}$ 和 $1-x$，例如 $B=\langle x+x^{2},1-x,1\rangle$.

问题 25

证明一个空间是 $n$ 维的当且仅当它与 $\mathbb {R} ^{n}$ 同构。提示。为空间固定一个基 $B$，并考虑将向量映射到其相对于 $B$ 的表示的映射。

答案

参见下一小节。

问题 26

（需要组合子空间的可选小节。）设 $U$ 和 $W$ 是向量空间。定义一个新的向量空间，它由集合 $U\times W=\{({\vec {u}},{\vec {w}})\,{\big |}\,{\vec {u}}\in U{\text{ and }}{\vec {w}}\in W\}$ 以及这些运算组成。

$({\vec {u}}_{1},{\vec {w}}_{1})+({\vec {u}}_{2},{\vec {w}}_{2})=({\vec {u}}_{1}+{\vec {u}}_{2},{\vec {w}}_{1}+{\vec {w}}_{2})\quad {\text{and}}\quad r\cdot ({\vec {u}},{\vec {w}})=(r{\vec {u}},r{\vec {w}})$

这是一个向量空间，它是 $U$ 和 $W$ 的外直和。

1. 检查它是否是一个向量空间。
2. 找出外部直和 ${\mathcal {P}}_{2}\times \mathbb {R} ^{2}$ 的基底和维数。
3. $\dim(U)$、$\dim(W)$ 和 $\dim(U\times W)$ 之间的关系是什么？
4. 假设 $U$ 和 $W$ 是向量空间 $V$ 的子空间，使得 $V=U\oplus W$（在这种情况下，我们说 $V$ 是 $U$ 和 $W$ 的**内部直和**）。证明映射 $f:U\times W\to V$ 由以下给出

   $({\vec {u}},{\vec {w}}){\stackrel {f}{\longmapsto }}{\vec {u}}+{\vec {w}}$

   是一个同构。因此，如果定义了内部直和，那么内部直和和外部直和是同构的。

答案

1. 向量空间定义中的大多数条件都是例行公事。我们这里概述了该定义第 1 部分的验证。对于 $U\times W$ 的封闭性，请注意，由于 $U$ 和 $W$ 是封闭的，我们有 ${\vec {u}}_{1}+{\vec {u}}_{2}\in U$ 以及 ${\vec {w}}_{1}+{\vec {w}}_{2}\in W$，因此 $({\vec {u}}_{1}+{\vec {u}}_{2},{\vec {w}}_{1}+{\vec {w}}_{2})\in U\times W$。 $U\times W$ 中加法的交换律来自 $U$ 和 $W$ 中加法的交换律。

   $({\vec {u}}_{1},{\vec {w}}_{1})+({\vec {u}}_{2},{\vec {w}}_{2})=({\vec {u}}_{1}+{\vec {u}}_{2},{\vec {w}}_{1}+{\vec {w}}_{2})=({\vec {u}}_{2}+{\vec {u}}_{1},{\vec {w}}_{2}+{\vec {w}}_{1})=({\vec {u}}_{2},{\vec {w}}_{2})+({\vec {u}}_{1},{\vec {w}}_{1})$

   加法结合律的检验类似。零元素为$({\vec {0}}_{U},{\vec {0}}_{W})\in U\times W$，而$({\vec {u}},{\vec {w}})$的加法逆元为$(-{\vec {u}},-{\vec {w}})$。向量空间定义第二部分的检验也很直接。
2. 这是一个基底

   $\langle \,(1,{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}),(x,{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}),(x^{2},{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}),(1,{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}),(1,{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}})\,\rangle$

   因为相对于该集合，只有唯一一种方法可以表示${\mathcal {P}}_{2}\times \mathbb {R} ^{2}$的任何成员；这是一个例子。

   $(3+2x+x^{2},{\begin{pmatrix}5\\4\end{pmatrix}})=3\cdot (1,{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}})+2\cdot (x,{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}})+(x^{2},{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}})+5\cdot (1,{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}})+4\cdot (1,{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}})$

   该空间的维数为五。
3. 我们有$\dim(U\times W)=\dim(U)+\dim(W)$，因为这是一个基底。

   $\langle ({\vec {\mu }}_{1},{\vec {0}}_{W}),\dots ,({\vec {\mu }}_{\dim(U)},{\vec {0}}_{W}),({\vec {0}}_{U},{\vec {\omega }}_{1}),\ldots ,({\vec {0}}_{U},{\vec {\omega }}_{\dim(W)})\rangle$

4. 我们知道，如果 $V=U\oplus W$，那么每个 ${\vec {v}}\in V$ 都可以被写成 ${\vec {v}}={\vec {u}}+{\vec {w}}$ 的形式，并且这种形式是唯一的。这正是我们需要证明给定函数是同构的关键。首先，为了证明 $f$ 是单射的，我们可以证明如果 $f\left(({\vec {u}}_{1},{\vec {w}}_{1})\right)=\left(({\vec {u}}_{2},{\vec {w}}_{2})\right)$，也就是说，如果 ${\vec {u}}_{1}+{\vec {w}}_{1}={\vec {u}}_{2}+{\vec {w}}_{2}$，那么 ${\vec {u}}_{1}={\vec {u}}_{2}$ 并且 ${\vec {w}}_{1}={\vec {w}}_{2}$。但是“每个 ${\vec {v}}$ 都可以被写成唯一的形式”正是得出该结论的关键。类似地，证明 $f$ 是满射的，只需要证明“每个 ${\vec {v}}$ 都可以被写成至少一种形式”。该映射也保留线性组合。

   ${\begin{array}{rl}f(\,c_{1}\cdot ({\vec {u}}_{1},{\vec {w}}_{1})+c_{2}\cdot ({\vec {u}}_{2},{\vec {w}}_{2})\,)&=f(\,(c_{1}{\vec {u}}_{1}+c_{2}{\vec {u}}_{2},c_{1}{\vec {w}}_{1}+c_{2}{\vec {w}}_{2})\,)\\&=c_{1}{\vec {u}}_{1}+c_{2}{\vec {u}}_{2}+c_{1}{\vec {w}}_{1}+c_{2}{\vec {w}}_{2}\\&=c_{1}{\vec {u}}_{1}+c_{1}{\vec {w}}_{1}+c_{2}{\vec {u}}_{2}+c_{2}{\vec {w}}_{2}\\&=c_{1}\cdot f(\,({\vec {u}}_{1},{\vec {w}}_{1})\,)+c_{2}\cdot f(\,({\vec {u}}_{2},{\vec {w}}_{2})\,)\end{array}}$

   因此，它是一个同构。