线性代数/同构的定义和示例

线性代数
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我们从两个例子开始，它们暗示了正确的定义。

示例 1.1

考虑上面提到的例子，二维行向量空间和二维列向量空间。它们是“相同的”，因为如果我们将具有相同分量的向量关联起来，例如：

{\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}}\quad \longleftrightarrow \quad {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}

那么这种对应关系保留了运算，例如这种加法

{\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}3&4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4&6\end{pmatrix}}\quad \longleftrightarrow \quad {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}}

以及这种标量乘法。

5\cdot {\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5&10\end{pmatrix}}\quad \longleftrightarrow \quad 5\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5\\10\end{pmatrix}}

更一般地，在对应关系下

{\begin{pmatrix}a_{0}&a_{1}\end{pmatrix}}\quad \longleftrightarrow \quad {\begin{pmatrix}a_{0}\\a_{1}\end{pmatrix}}

两种运算都被保留了

{\begin{pmatrix}a_{0}&a_{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b_{0}&b_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{0}+b_{0}&a_{1}+b_{1}\end{pmatrix}}\longleftrightarrow {\begin{pmatrix}a_{0}\\a_{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b_{0}\\b_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{0}+b_{0}\\a_{1}+b_{1}\end{pmatrix}}

以及

r\cdot {\begin{pmatrix}a_{0}&a_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ra_{0}&ra_{1}\end{pmatrix}}\quad \longleftrightarrow \quad r\cdot {\begin{pmatrix}a_{0}\\a_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ra_{0}\\ra_{1}\end{pmatrix}}

（所有变量都是实数）。

示例 1.2

我们可以将另外两个空间视为“相同”： ${\mathcal {P}}_{2}$ ，二次多项式空间，以及 $\mathbb {R} ^{3}$ 。它们之间存在一个自然的对应关系。

a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}\quad \longleftrightarrow \quad {\begin{pmatrix}a_{0}\\a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}\qquad \qquad ({\text{e.g., }}1+2x+3x^{2}\,\longleftrightarrow \,{\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}})

结构得以保留：对应元素以对应的方式相加

{\begin{array}{r}a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}\\+\,\,b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}\\\hline (a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})x+(a_{2}+b_{2})x^{2}\end{array}}\quad \longleftrightarrow \quad {\begin{pmatrix}a_{0}\\a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b_{0}\\b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{0}+b_{0}\\a_{1}+b_{1}\\a_{2}+b_{2}\end{pmatrix}}

标量乘法也对应。

r\cdot (a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2})=(ra_{0})+(ra_{1})x+(ra_{2})x^{2}\quad \longleftrightarrow \quad r\cdot {\begin{pmatrix}a_{0}\\a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ra_{0}\\ra_{1}\\ra_{2}\end{pmatrix}}

定义 1.3

两个向量空间 $V$ 和 $W$ 之间的同构是指一个映射 $f:V\to W$ ，它

是一个对应关系： $f$ 是单射和满射；^[1]
保留结构： 如果 ${\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2}\in V$ 那么
$f({\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2})=f({\vec {v}}_{1})+f({\vec {v}}_{2})$
并且如果 ${\vec {v}}\in V$ 且 $r\in \mathbb {R}$ 那么
$f(r{\vec {v}})=r\,f({\vec {v}})$

(我们写 $V\cong W$ ，读作“ $V$ 与 $W$ 同构”，当存在这样的映射时).

(“态射”意味着映射，所以“同构”意味着表达相同性的映射).

例 1.4

向量空间 $G=\{c_{1}\cos \theta +c_{2}\sin \theta \,{\big |}\,c_{1},c_{2}\in \mathbb {R} \}$ 的 $\theta$ 函数，与向量空间 $\mathbb {R} ^{2}$ 在这个映射下是同构的。

c_{1}\cos \theta +c_{2}\sin \theta {\stackrel {f}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}}

我们将通过定义中的条件来验证这一点。

我们将首先验证条件 1，即该映射是空间基础集合之间的对应关系。

为了证明 $f$ 是单射的，我们必须证明当且仅当 ${\vec {a}}={\vec {b}}$ 时， $f({\vec {a}})=f({\vec {b}})$ 。如果

f(a_{1}\cos \theta +a_{2}\sin \theta )=f(b_{1}\cos \theta +b_{2}\sin \theta )

那么，根据 $f$ 的定义，

{\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}

由此我们可以得出结论： $a_{1}=b_{1}$ 并且 $a_{2}=b_{2}$ ，因为列向量只有在它们具有相同的分量时才相等。我们证明了 $f({\vec {a}})=f({\vec {b}})$ 意味着 ${\vec {a}}={\vec {b}}$ ，这表明 $f$ 是单射的。

为了检查 $f$ 是否满射，我们必须检查陪域 $\mathbb {R} ^{2}$ 的任何元素是否都是定义域 $G$ 中某个元素的像。但这是很明显的——任何

{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}

都是 $f$ 下 $x\cos \theta +y\sin \theta \in G$ 的像。

接下来我们将验证条件 (2)，即 $f$ 保持结构。

这个计算表明 $f$ 保持加法。

f{\bigl (}\,(a_{1}\cos \theta +a_{2}\sin \theta )+(b_{1}\cos \theta +b_{2}\sin \theta )\,{\bigr )}

{\begin{array}{rl}&=f{\bigl (}\,(a_{1}+b_{1})\cos \theta +(a_{2}+b_{2})\sin \theta \,{\bigr )}\\&={\begin{pmatrix}a_{1}+b_{1}\\a_{2}+b_{2}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}\\&=f(a_{1}\cos \theta +a_{2}\sin \theta )+f(b_{1}\cos \theta +b_{2}\sin \theta )\end{array}}

类似的计算表明， $f$ 保持标量乘法。

{\begin{array}{rl}f{\bigl (}\,r\cdot (a_{1}\cos \theta +a_{2}\sin \theta )\,{\bigr )}&=f(\,ra_{1}\cos \theta +ra_{2}\sin \theta \,)\\&={\begin{pmatrix}ra_{1}\\ra_{2}\end{pmatrix}}\\&=r\cdot {\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}\\&=r\cdot \,f(a_{1}\cos \theta +a_{2}\sin \theta )\end{array}}

这样，条件 (1) 和 (2) 都得到了验证，因此我们知道 $f$ 是一个同构，我们可以说这两个空间是同构的 $G\cong \mathbb {R} ^{2}$ .

例 1.5

设 $V$ 为三个变量 $x$ 、 $y$ 和 $z$ 的线性组合的空间，在自然加法和标量乘法运算下。那么 $V$ 与 ${\mathcal {P}}_{2}$ ，二次多项式空间，同构。

为了证明这一点，我们将构造一个同构映射。不止一种可能性；例如，这里有四个。

${\begin{array}{c}c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z\end{array}}\quad {\begin{array}{rl}{\stackrel {f_{1}}{\longmapsto }}&c_{1}+c_{2}x+c_{3}x^{2}\\{\stackrel {f_{2}}{\longmapsto }}&c_{2}+c_{3}x+c_{1}x^{2}\\{\stackrel {f_{3}}{\longmapsto }}&-c_{1}-c_{2}x-c_{3}x^{2}\\{\stackrel {f_{4}}{\longmapsto }}&c_{1}+(c_{1}+c_{2})x+(c_{1}+c_{3})x^{2}\end{array}}$

第一个映射是最自然的对应关系，因为它只是将系数传递过来。然而，我们将在下面验证第二个映射是一个同构，以强调除了显而易见的同构之外，还有其他同构（证明 $f_{1}$ 是同构见习题 3）。

为了证明 $f_{2}$ 是单射，我们将证明如果 $f_{2}(c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z)=f_{2}(d_{1}x+d_{2}y+d_{3}z)$ ，那么 $c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z=d_{1}x+d_{2}y+d_{3}z$ 。假设 $f_{2}(c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z)=f_{2}(d_{1}x+d_{2}y+d_{3}z)$ ，根据 $f_{2}$ 的定义，我们得到 $c_{2}+c_{3}x+c_{1}x^{2}=d_{2}+d_{3}x+d_{1}x^{2}$ 。相等的多项式具有相等的系数，因此 $c_{2}=d_{2}$ ， $c_{3}=d_{3}$ 和 $c_{1}=d_{1}$ 。因此， $f_{2}(c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z)=f_{2}(d_{1}x+d_{2}y+d_{3}z)$ 意味着 $c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z=d_{1}x+d_{2}y+d_{3}z$ ，因此 $f_{2}$ 是单射。

映射 $f_{2}$ 是满射，因为陪域中的任意成员 $a+bx+cx^{2}$ 都是定义域中某个成员的像，即它是 $cx+ay+bz$ 的像。例如， $2+3x-4x^{2}$ 是 $f_{2}(-4x+2y+3z)$ .

结构保持的计算与前面的例子类似。此映射保持加法

f_{2}{\bigl (}(c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z)+(d_{1}x+d_{2}y+d_{3}z){\bigr )}

{\begin{array}{rl}&=f_{2}{\bigl (}(c_{1}+d_{1})x+(c_{2}+d_{2})y+(c_{3}+d_{3})z{\bigr )}\\&=(c_{2}+d_{2})+(c_{3}+d_{3})x+(c_{1}+d_{1})x^{2}\\&=(c_{2}+c_{3}x+c_{1}x^{2})+(d_{2}+d_{3}x+d_{1}x^{2})\\&=f_{2}(c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z)+f_{2}(d_{1}x+d_{2}y+d_{3}z)\end{array}}

和标量乘法。

{\begin{array}{rl}f_{2}{\bigl (}r\cdot (c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z){\bigr )}&=f_{2}(rc_{1}x+rc_{2}y+rc_{3}z)\\&=rc_{2}+rc_{3}x+rc_{1}x^{2}\\&=r\cdot (c_{2}+c_{3}x+c_{1}x^{2})\\&=r\cdot \,f_{2}(c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z)\end{array}}

因此 $f_{2}$ 是一个同构，我们写成 $V\cong {\mathcal {P}}_{2}$ 。

我们有时会对一个空间与其自身的同构感兴趣，称为**自同构**。恒等映射是一个自同构。以下两个例子表明还有其他自同构。

示例 1.6

一个**扩张**映射 $d_{s}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ ，它将所有向量乘以一个非零标量 $s$ ，是 $\mathbb {R} ^{2}$ 的一个自同构。

一个**旋转**或**转向映射** $t_{\theta }:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ ，它将所有向量旋转一个角度 $\theta$ ，也是一个自同构。

第三种 $\mathbb {R} ^{2}$ 的自同构是映射 $f_{\ell }:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ ，它将所有向量**翻转**或**反射**到通过原点的直线 $\ell$ 上。

参见问题 20。

示例 1.7

考虑度数不超过 5 的多项式空间 ${\mathcal {P}}_{5}$ 和映射 $f$ ，它将多项式 $p(x)$ 映射到 $p(x-1)$ 。例如，在这个映射下 $x^{2}\mapsto (x-1)^{2}=x^{2}-2x+1$ 以及 $x^{3}+2x\mapsto (x-1)^{3}+2(x-1)=x^{3}-3x^{2}+5x-3$ 。此映射是此空间的自同构；检验结果见问题 12。

这种 ${\mathcal {P}}_{5}$ 到自身的同构不仅仅告诉我们空间“相同”，它还让我们对空间的结构有所了解。例如，下面显示的是抛物线的族，它们是 ${\mathcal {P}}_{5}$ 中的成员的图形。每个抛物线在 $y=-1$ 处有一个顶点，最左边的抛物线在 $-2.25$ 和 $-1.75$ 处有零点，下一个抛物线在 $-1.25$ 和 $-0.75$ 处有零点，等等。

从几何角度看，将任何函数的参数中的 $x$ 替换为 $x-1$ 会将其图形向右移动一个单位。因此， $f(p_{0})=p_{1}$ ， $f$ 的作用是将所有抛物线向右移动一个单位。请注意，应用 $f$ 之前的图像与应用 $f$ 之后的图像相同，因为虽然每个抛物线都向右移动，但另一个抛物线从左边进来填补了空缺。这对三次函数等也成立。因此，自同构 $f$ 使我们了解到 $P_{5}$ 具有某种水平同质性；这个空间在 $x=1$ 附近看起来与在 $x=0$ 附近一样。

如本节引言所述，我们接下来将给出一些结果来支持这样一个论点，即上面给出的同构定义符合我们对向量空间“相同”的直觉。

当然，定义本身就很有说服力：向量空间由两个部分组成，一个集合和一些结构，而定义只是要求集合对应，结构也对应。上面的例子也具有说服力。特别是，例 1.1 给出了一个两行向量空间与两列向量空间之间的同构，它戏剧化地证明了我们对同构空间在所有相关方面都相同的直觉。有时人们会说，当 $V\cong W$ 时，“ $W$ 只是用绿色绘制的 $V$ ”——任何差异都只是表面上的。

如果需要，以下结果将进一步支持该定义，这些结果综合起来表明，向量空间中所有感兴趣的事物在同构下都是对应的。由于我们研究向量空间是为了研究线性组合，“感兴趣”意味着“与线性组合相关”。不感兴趣的是向量在印刷上的表现方式（或颜色！）。

例如，虽然同构的定义没有明确说明零向量必须对应，但这却是该定义的推论。

引理 1.8

同构将零向量映射到零向量。

证明

当 $f:V\to W$ 是一个同构时，固定任何 ${\vec {v}}\in V$ 。那么 $f({\vec {0}}_{V})=f(0\cdot {\vec {v}})=0\cdot f({\vec {v}})={\vec {0}}_{W}$ 。

同构的定义要求两个向量的和对应，标量乘法也对应。我们可以扩展这个说法，说所有线性组合都对应。

引理 1.9

对于任何向量空间之间的映射 $f:V\to W$ ，这些语句是等价的。

$f$ 保持结构
$f({\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2})=f({\vec {v}}_{1})+f({\vec {v}}_{2})\quad {\text{and}}\quad f(c{\vec {v}})=c\,f({\vec {v}})$
$f$ 保持两个向量的线性组合
$f(c_{1}{\vec {v}}_{1}+c_{2}{\vec {v}}_{2})=c_{1}f({\vec {v}}_{1})+c_{2}f({\vec {v}}_{2})$
$f$ 保持任何有限个向量的线性组合
$f(c_{1}{\vec {v}}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {v}}_{n})=c_{1}f({\vec {v}}_{1})+\dots +c_{n}f({\vec {v}}_{n})$

证明

由于推论 $3\!\implies \!2$ 和 $2\!\implies \!1$ 很明显，我们只需要证明 $1\!\implies \!3$ 。假设命题 1。我们将通过对加数 $n$ 的数量进行归纳来证明命题 3。

一个加数的基准情况，即 $f(c{\vec {v}}_{1})=c\,f({\vec {v}}_{1})$ ，被命题 1 的假设所涵盖。

对于归纳步骤，假设命题 3 在加数为 $k$ 或更少时成立，即，当 $n=1$ ，或 $n=2$ ，...，或 $n=k$ 时。考虑 $k+1$ 个加数的情况。命题 1 的前半部分给出

f(c_{1}{\vec {v}}_{1}+\dots +c_{k}{\vec {v}}_{k}+c_{k+1}{\vec {v}}_{k+1})=f(c_{1}{\vec {v}}_{1}+\dots +c_{k}{\vec {v}}_{k})+f(c_{k+1}{\vec {v}}_{k+1})

通过将和在最后的 " $+$ " 处拆开。然后归纳假设让我们可以拆开 $k$ 项和。

=f(c_{1}{\vec {v}}_{1})+\dots +f(c_{k}{\vec {v}}_{k})+f(c_{k+1}{\vec {v}}_{k+1})

最后，命题 1 的后半部分给出

=c_{1}\,f({\vec {v}}_{1})+\dots +c_{k}\,f({\vec {v}}_{k})+c_{k+1}\,f({\vec {v}}_{k+1})

当应用 $k+1$ 次时。

除了增强对同构定义确实保留了向量空间中感兴趣事物的直觉之外，该引理的第二项是一个特别方便的检查映射是否保留结构的方法。

最后，我们做一个总结。本节内容是对向量空间一章的补充。在那里，在给出向量空间的定义之后，我们非正式地考察了可能发生的各种情况。在这里，我们定义了向量空间之间的关系" $\cong$ "，并论证了它将向量空间集合分解为各个情况的正确方式，因为它保留了向量空间中感兴趣的特征——特别是，它保留了线性组合。也就是说，我们现在已经精确地说明了“相同”和“不同”的含义，因此我们已经精确地对向量空间进行了分类。

练习

建议所有读者完成此练习。

问题 1

使用示例 1.4 作为模型，验证定义之前给出的两种对应关系是同构。

示例 1.1
示例 1.2

建议所有读者完成此练习。

问题 2

对于映射 $f:{\mathcal {P}}_{1}\to \mathbb {R} ^{2}$ 由下式给出

a+bx{\stackrel {f}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}a-b\\b\end{pmatrix}}

找到域中每个元素的像。

$3-2x$
$2+2x$
$x$

证明此映射是同构。

问题 3

证明来自示例 1.5 的自然映射 $f_{1}$ 是同构。

建议所有读者完成此练习。

问题 4

判断每个映射是否是同构（如果是同构，则证明它；如果不是，则说明它不满足的条件）。

$f:{\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}\to \mathbb {R}$ 由下式给出
${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mapsto ad-bc$
$f:{\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}\to \mathbb {R} ^{4}$ 由下式给出
${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}a+b+c+d\\a+b+c\\a+b\\a\end{pmatrix}}$
$f:{\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}\to {\mathcal {P}}_{3}$ 给定
${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mapsto c+(d+c)x+(b+a)x^{2}+ax^{3}$
$f:{\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}\to {\mathcal {P}}_{3}$ 给定
${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mapsto c+(d+c)x+(b+a+1)x^{2}+ax^{3}$

问题 5

证明映射 $f:\mathbb {R} ^{1}\to \mathbb {R} ^{1}$ 由 $f(x)=x^{3}$ 给出的是一一对应且满射。它是一个同构吗？

建议所有读者完成此练习。

问题 6

参考例 1.1。再生成两个同构（当然，必须验证它们满足同构定义中的条件）。

问题 7

参考例 1.2。再生成两个同构（并验证它们满足条件）。

建议所有读者完成此练习。

问题 8

证明尽管 $\mathbb {R} ^{2}$ 本身不是 $\mathbb {R} ^{3}$ 的子空间，它与 $\mathbb {R} ^{3}$ 的 $xy$ 平面子空间同构。

问题 9

找出 $\mathbb {R} ^{16}$ 和 ${\mathcal {M}}_{4\!\times \!4}$ 之间的两个同构。

建议所有读者完成此练习。

问题 10

对于什么 $k$ ， ${\mathcal {M}}_{m\!\times \!n}$ 与 $\mathbb {R} ^{k}$ 同构？

问题 11

对于什么 $k$ ， ${\mathcal {P}}_{k}$ 与 $\mathbb {R} ^{n}$ 同构？

问题 12

证明在例 1.7中，从 ${\mathcal {P}}_{5}$ 到 ${\mathcal {P}}_{5}$ 的映射，由 $p(x)\mapsto p(x-1)$ 给出，是一个向量空间同构。

问题 13

为什么，在引理 1.8中，必须有一个 ${\vec {v}}\in V$ ？也就是说，为什么 $V$ 必须是非空的？

问题 14

任何两个平凡空间是否同构？

问题 15

在引理 1.9的证明中，零加数的情况如何（也就是说，如果 $n$ 为零）？

问题 16

证明任何同构 $f:{\mathcal {P}}_{0}\to \mathbb {R} ^{1}$ 都有形式 $a\mapsto ka$ ，其中 $k$ 是一个非零实数。

建议所有读者完成此练习。

问题 17

这些证明了同构是一个等价关系。

证明恒等映射 ${\mbox{id}}:V\to V$ 是一个同构。因此，任何向量空间都与其自身同构。
证明如果 $f:V\to W$ 是一个同构，那么它的逆映射 $f^{-1}:W\to V$ 也是一个同构。因此，如果 $V$ 与 $W$ 同构，那么 $W$ 也与 $V$ 同构。
证明同构的复合仍为同构：如果 $f:V\to W$ 是一个同构，并且 $g:W\to U$ 是一个同构，那么 $g\circ f:V\to U$ 也是一个同构。因此，如果 $V$ 与 $W$ 同构，并且 $W$ 与 $U$ 同构，那么 $V$ 也与 $U$ 同构。

问题 18

假设 $f:V\to W$ 保持结构。证明 $f$ 是一一映射当且仅当 $V$ 中唯一被 $f$ 映射到 ${\vec {0}}_{W}$ 的元素是 ${\vec {0}}_{V}$ 。

问题 19

假设 $f:V\to W$ 是一个同构。证明集合 $\{{\vec {v}}_{1},\dots ,{\vec {v}}_{k}\}\subseteq V$ 线性相关当且仅当其像集 $\{f({\vec {v}}_{1}),\dots ,f({\vec {v}}_{k})\}\subseteq W$ 线性相关。

建议所有读者完成此练习。

问题 20

证明例 1.6 中每种映射都是自同构。

以非零标量 $s$ 进行的伸缩变换 $d_{s}$ 。
旋转 $t_{\theta }$ 角 $\theta$ .
关于过原点的直线的反射 $f_{\ell }$ .

提示：对于第二和第三项，极坐标很有用。

问题 21

产生一个 ${\mathcal {P}}_{2}$ 的自同构，除了恒等映射，以及移位映射 $p(x)\mapsto p(x-k)$ .

问题 22

证明函数 $f:\mathbb {R} ^{1}\to \mathbb {R} ^{1}$ 是自同构当且仅当它具有以下形式 $x\mapsto kx$ ，其中 $k\neq 0$ .
令 $f$ 是 $\mathbb {R} ^{1}$ 的一个自同构，使得 $f(3)=7$ 。求 $f(-2)$ .
证明函数 $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ 是自同构当且仅当它具有以下形式
${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\end{pmatrix}}$
其中 $a,b,c,d\in \mathbb {R}$ ，且 $ad-bc\neq 0$ 。提示：前面小节中的练习表明
${\begin{pmatrix}b\\d\end{pmatrix}}{\text{ is not a multiple of }}{\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}}$
当且仅当 $ad-bc\neq 0$ .
令 $f$ 是 $\mathbb {R} ^{2}$ 的一个自同构，并且
$f({\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad f({\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}.$
求
$f({\begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix}}).$

问题 23

参考引理 1.8 和引理 1.9。找到另外两个由同构保留的性质。

问题 24

我们证明同构可以根据需要进行调整，也就是说，在某些情况下，给定域中的向量和值域中的向量，我们可以构造一个将这些向量关联起来的同构。

令 $B=\langle {\vec {\beta }}_{1},{\vec {\beta }}_{2},{\vec {\beta }}_{3}\rangle$ 是 ${\mathcal {P}}_{2}$ 的一个基底，使得任何 ${\vec {p}}\in {\mathcal {P}}_{2}$ 都有唯一表示形式 ${\vec {p}}=c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+c_{2}{\vec {\beta }}_{2}+c_{3}{\vec {\beta }}_{3}$ ，我们用这种方式表示。
${\rm {Rep}}_{B}({\vec {p}})={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\end{pmatrix}}$
证明 ${\rm {Rep}}_{B}(\cdot )$ 操作是从 ${\mathcal {P}}_{2}$ 到 $\mathbb {R} ^{3}$ 的函数（这需要证明对于每个定义域向量 ${\vec {v}}\in {\mathcal {P}}_{2}$ 都有一个相关的像向量在 $\mathbb {R} ^{3}$ 中，并且，对于每个定义域向量 ${\vec {v}}\in {\mathcal {P}}_{2}$ 最多有一个相关的像向量）。
证明这个 ${\rm {Rep}}_{B}(\cdot )$ 函数是一对一的且满射。
证明它保留结构。
生成一个从 ${\mathcal {P}}_{2}$ 到 $\mathbb {R} ^{3}$ 的同构，符合这些规范。
$x+x^{2}\mapsto {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad 1-x\mapsto {\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}$

问题 25

证明一个空间是 $n$ 维的当且仅当它与 $\mathbb {R} ^{n}$ 同构。提示。固定空间的基 $B$ 并考虑将向量映射到它相对于 $B$ 的表示的映射。

问题 26

（需要可选的“组合子空间”小节。） 令 $U$ 和 $W$ 为向量空间。定义一个新的向量空间，其包含集合 $U\times W=\{({\vec {u}},{\vec {w}})\,{\big |}\,{\vec {u}}\in U{\text{ and }}{\vec {w}}\in W\}$ 以及以下运算。

({\vec {u}}_{1},{\vec {w}}_{1})+({\vec {u}}_{2},{\vec {w}}_{2})=({\vec {u}}_{1}+{\vec {u}}_{2},{\vec {w}}_{1}+{\vec {w}}_{2})\quad {\text{and}}\quad r\cdot ({\vec {u}},{\vec {w}})=(r{\vec {u}},r{\vec {w}})

这是一个向量空间，即 $U$ 和 $W$ 的外直和。

检查它是否是一个向量空间。
找到外直和 ${\mathcal {P}}_{2}\times \mathbb {R} ^{2}$ 的基和维数。
$\dim(U)$ 、 $\dim(W)$ 和 $\dim(U\times W)$ 之间有什么关系？
假设 $U$ 和 $W$ 是向量空间 $V$ 的子空间，使得 $V=U\oplus W$ （在这种情况下，我们说 $V$ 是 $U$ 和 $W$ 的 **内部直和**）。证明映射 $f:U\times W\to V$ ，由
$({\vec {u}},{\vec {w}}){\stackrel {f}{\longmapsto }}{\vec {u}}+{\vec {w}}$
是一个同构。因此，如果内部直和定义了，则内部直和和外部直和是同构的。

解决方案

脚注

↑ 有关一对一和满射映射的更多信息，请参见附录。

线性代数
← 同构	同构的定义和示例	值域和零空间 →

[1] 有关一对一和满射映射的更多信息，请参见附录。

[1]