我们从两个例子开始,它们暗示了正确的定义。
- 示例 1.1
考虑上面提到的例子,二维行向量空间和二维列向量空间。它们是“相同的”,因为如果我们将具有相同分量的向量关联起来,例如:

那么这种对应关系保留了运算,例如这种加法

以及这种标量乘法。

更一般地,在对应关系下

两种运算都被保留了

以及

(所有变量都是实数)。
(“态射”意味着映射,所以“同构”意味着表达相同性的映射).
- 例 1.4
向量空间
的
函数,与向量空间
在这个映射下是同构的。

我们将通过定义中的条件来验证这一点。
我们将首先验证条件 1,即该映射是空间基础集合之间的对应关系。
为了证明
是单射的,我们必须证明当且仅当
时,
。如果

那么,根据
的定义,

由此我们可以得出结论:
并且
,因为列向量只有在它们具有相同的分量时才相等。我们证明了
意味着
,这表明
是单射的。
为了检查
是否满射,我们必须检查陪域
的任何元素是否都是定义域
中某个元素的像。但这是很明显的——任何

都是
下
的像。
接下来我们将验证条件 (2),即
保持结构。
这个计算表明
保持加法。

类似的计算表明,
保持标量乘法。

这样,条件 (1) 和 (2) 都得到了验证,因此我们知道
是一个同构,我们可以说这两个空间是同构的
.
我们有时会对一个空间与其自身的同构感兴趣,称为**自同构**。恒等映射是一个自同构。以下两个例子表明还有其他自同构。
如本节引言所述,我们接下来将给出一些结果来支持这样一个论点,即上面给出的同构定义符合我们对向量空间“相同”的直觉。
当然,定义本身就很有说服力:向量空间由两个部分组成,一个集合和一些结构,而定义只是要求集合对应,结构也对应。上面的例子也具有说服力。特别是,例 1.1 给出了一个两行向量空间与两列向量空间之间的同构,它戏剧化地证明了我们对同构空间在所有相关方面都相同的直觉。有时人们会说,当
时,“
只是用绿色绘制的
”——任何差异都只是表面上的。
如果需要,以下结果将进一步支持该定义,这些结果综合起来表明,向量空间中所有感兴趣的事物在同构下都是对应的。由于我们研究向量空间是为了研究线性组合,“感兴趣”意味着“与线性组合相关”。不感兴趣的是向量在印刷上的表现方式(或颜色!)。
例如,虽然同构的定义没有明确说明零向量必须对应,但这却是该定义的推论。
同构的定义要求两个向量的和对应,标量乘法也对应。我们可以扩展这个说法,说所有线性组合都对应。
除了增强对同构定义确实保留了向量空间中感兴趣事物的直觉之外,该引理的第二项是一个特别方便的检查映射是否保留结构的方法。
最后,我们做一个总结。本节内容是对向量空间一章的补充。在那里,在给出向量空间的定义之后,我们非正式地考察了可能发生的各种情况。在这里,我们定义了向量空间之间的关系"
",并论证了它将向量空间集合分解为各个情况的正确方式,因为它保留了向量空间中感兴趣的特征——特别是,它保留了线性组合。也就是说,我们现在已经精确地说明了“相同”和“不同”的含义,因此我们已经精确地对向量空间进行了分类。
- 建议所有读者完成此练习。
- 建议所有读者完成此练习。
- 问题 3
证明来自示例 1.5 的自然映射
是同构。
- 建议所有读者完成此练习。
- 问题 5
证明映射
由
给出的是一一对应且满射。它是一个同构吗?
- 建议所有读者完成此练习。
- 问题 6
参考 例 1.1。再生成两个同构(当然,必须验证它们满足同构定义中的条件)。
- 问题 7
参考 例 1.2。再生成两个同构(并验证它们满足条件)。
- 建议所有读者完成此练习。
- 问题 9
找出
和
之间的两个同构。
- 建议所有读者完成此练习。
- 问题 13
为什么,在引理 1.8中,必须有一个
?也就是说,为什么
必须是非空的?
- 问题 15
在引理 1.9的证明中,零加数的情况如何(也就是说,如果
为零)?
- 建议所有读者完成此练习。
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- 问题 21
产生一个
的自同构,除了恒等映射,以及移位映射
.
- 问题 22
- 证明函数
是自同构当且仅当它具有以下形式
,其中
. - 令
是
的一个自同构,使得
。求
. - 证明函数
是自同构当且仅当它具有以下形式
其中
,且
。提示:前面小节中的练习表明
当且仅当
. - 令
是
的一个自同构,并且
求
- 问题 26
(需要可选的“组合子空间”小节。) 令
和
为向量空间。定义一个新的向量空间,其包含集合
以及以下运算。

这是一个向量空间,即
和
的外直和。
- 检查它是否是一个向量空间。
- 找到外直和
的基和维数。
、
和
之间有什么关系?- 假设
和
是向量空间
的子空间,使得
(在这种情况下,我们说
是
和
的 **内部直和**)。证明映射
,由
是一个同构。因此,如果内部直和定义了,则内部直和和外部直和是同构的。
解决方案
- ↑ 有关一对一和满射映射的更多信息,请参见 附录。