线性代数/线性无关的定义和例子/解决方案

解决方案

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问题 1

确定 $\mathbb {R} ^{3}$ 的每个子集是线性相关还是线性无关的。

$\{{\begin{pmatrix}1\\-3\\5\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}4\\-4\\14\end{pmatrix}}\}$
$\{{\begin{pmatrix}1\\7\\7\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\7\\7\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\7\\7\end{pmatrix}}\}$
$\{{\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\4\end{pmatrix}}\}$
$\{{\begin{pmatrix}9\\9\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\5\\-4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}12\\12\\-1\end{pmatrix}}\}$

答案

对于这些中的每一个，当子集是独立的时，必须证明它，当子集是相关的时，必须给出相关性的示例。

它是相关的。考虑到
$c_{1}{\begin{pmatrix}1\\-3\\5\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}}+c_{3}{\begin{pmatrix}4\\-4\\14\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$
产生了这个线性系统。
${\begin{array}{*{3}{rc}r}c_{1}&+&2c_{2}&+&4c_{3}&=&0\\-3c_{1}&+&2c_{2}&-&4c_{3}&=&0\\5c_{1}&+&4c_{2}&+&14c_{3}&=&0\end{array}}$
高斯消元法
$\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&2&4&0\\-3&2&-4&0\\5&4&14&0\end{array}}\right){\xrightarrow[{-5\rho _{1}+\rho _{3}}]{3\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\xrightarrow[{}]{(3/4)\rho _{2}+\rho _{3}}}\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&2&4&0\\0&8&8&0\\0&0&0&0\end{array}}\right)$
得到一个自由变量，因此有无穷多个解。例如，我们可以令 $c_{3}$ 等于，比如说， $1$ 。然后我们得到 $c_{2}=-1$ 和 $c_{1}=-2$ 。
它是线性相关的。这里出现的线性方程组
$\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&2&3&0\\7&7&7&0\\7&7&7&0\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{-7\rho _{1}+\rho _{3}}]{-7\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\xrightarrow[{}]{-\rho _{2}+\rho _{3}}}\;\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&2&3&0\\0&-7&-14&0\\0&0&0&0\end{array}}\right)$
有无限多个解。我们可以通过取 $c_{3}$ 为，比如， $1$ ，然后反代入得到相应的 $c_{2}$ 和 $c_{1}$ 来得到一个特解。
它是线性无关的。系统
$\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}0&1&0\\0&0&0\\-1&4&0\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{}]{\rho _{1}\leftrightarrow \rho _{2}}}\;{\xrightarrow[{}]{\rho _{3}\leftrightarrow \rho _{1}}}\;\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}-1&4&0\\0&1&0\\0&0&0\end{array}}\right)$
只有 $c_{1}=0$ 和 $c_{2}=0$ 这个解。（我们也可以通过观察得到答案——第二个向量显然不是第一个向量的倍数，反之亦然。）
它是线性相关的。线性系统
$\left({\begin{array}{*{4}{c}|c}9&2&3&12&0\\9&0&5&12&0\\0&1&-4&-1&0\end{array}}\right)$
未知数比方程多，因此高斯消元法必须至少有一个变量自由（因为系统是齐次的，所以它至少有一个全零解，因此不可能出现矛盾方程）。为了展现组合，我们可以进行如下化简
${\xrightarrow[{}]{-\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\xrightarrow[{}]{(1/2)\rho _{2}+\rho _{3}}}\;\left({\begin{array}{*{4}{c}|c}9&2&3&12&0\\0&-2&2&0&0\\0&0&-3&-1&0\end{array}}\right)$
并取，比如， $c_{4}=1$ 。然后我们有 $c_{3}=-1/3$ ， $c_{2}=-1/3$ ，以及 $c_{1}=-31/27$ .

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问题 2

以下 ${\mathcal {P}}_{3}$ 的子集，哪些线性相关，哪些线性无关？

$\{3-x+9x^{2},5-6x+3x^{2},1+1x-5x^{2}\}$
$\{-x^{2},1+4x^{2}\}$
$\{2+x+7x^{2},3-x+2x^{2},4-3x^{2}\}$
$\{8+3x+3x^{2},x+2x^{2},2+2x+2x^{2},8-2x+5x^{2}\}$

答案

在独立的情况下，必须进行证明。否则，必须给出具体的依赖关系。（当然，除了这里展示的依赖关系之外，还可能存在其他依赖关系。）

这个集合是独立的。建立关系 $c_{1}(3-x+9x^{2})+c_{2}(5-6x+3x^{2})+c_{3}(1+1x-5x^{2})=0+0x+0x^{2}$ 会得到一个线性方程组
$\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}3&5&1&0\\-1&-6&1&0\\9&3&-5&0\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{-3\rho _{1}+\rho _{3}}]{(1/3)\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\xrightarrow[{}]{3\rho _{2}}}\;{\xrightarrow[{}]{-(12/13)\rho _{2}+\rho _{3}}}\;\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}3&5&1&0\\0&-13&4&0\\0&0&-128/13&0\end{array}}\right)$
只有一个解: $c_{1}=0$ , $c_{2}=0$ ，以及 $c_{3}=0$ .
该集合是线性无关的。我们可以通过观察，直接从线性无关的定义来判断。显然，两者都不是对方的倍数。
该集合是线性无关的。线性系统以这种方式简化
$\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}2&3&4&0\\1&-1&0&0\\7&2&-3&0\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{-(7/2)\rho _{1}+\rho _{3}}]{-(1/2)\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\xrightarrow[{}]{-(17/5)\rho _{2}+\rho _{3}}}\;\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}2&3&4&0\\0&-5/2&-2&0\\0&0&-51/5&0\end{array}}\right)$
以证明只有一个解 $c_{1}=0$ , $c_{2}=0$ ，以及 $c_{3}=0$ .
该集合是线性相关的。线性系统
$\left({\begin{array}{*{4}{c}|c}8&0&2&8&0\\3&1&2&-2&0\\3&2&2&5&0\end{array}}\right)$
在化简后，必须至少有一个变量是自由的（变量比方程多，并且由于系统是齐次的，不可能出现矛盾的方程）。我们可以将自由变量作为参数来描述解集。然后，我们可以将参数设置为非零值以获得非平凡的线性关系。

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问题 3

证明每个集合 $\{f,g\}$ 在所有从 $\mathbb {R} ^{+}$ 到 $\mathbb {R}$ 的所有函数的向量空间中是线性无关的。

$f(x)=x$ 以及 $g(x)=1/x$
$f(x)=\cos(x)$ 和 $g(x)=\sin(x)$
$f(x)=e^{x}$ 和 $g(x)=\ln(x)$

答案

令 $Z$ 为零函数 $Z(x)=0$ ，它是在讨论的向量空间中的加法单位元。

此集合是线性无关的。考虑 $c_{1}\cdot f(x)+c_{2}\cdot g(x)=Z(x)$ 。代入 $x=1$ 和 $x=2$ 得到了一个线性方程组
${\begin{array}{*{2}{rc}r}c_{1}\cdot 1&+&c_{2}\cdot 1&=&0\\c_{1}\cdot 2&+&c_{2}\cdot (1/2)&=&0\end{array}}$
它的唯一解为 $c_{1}=0$ ， $c_{2}=0$ 。
此集合是线性无关的。考虑 $c_{1}\cdot f(x)+c_{2}\cdot g(x)=Z(x)$ 并代入 $x=0$ 和 $x=\pi /2$ ，得到
${\begin{array}{*{2}{rc}r}c_{1}\cdot 1&+&c_{2}\cdot 0&=&0\\c_{1}\cdot 0&+&c_{2}\cdot 1&=&0\end{array}}$
这显然表明 $c_{1}=0$ ， $c_{2}=0$ 。
这组函数也线性无关。考虑 $c_{1}\cdot f(x)+c_{2}\cdot g(x)=Z(x)$ ，并代入 $x=1$ 和 $x=e$ 。
${\begin{array}{*{2}{rc}r}c_{1}\cdot e&+&c_{2}\cdot 0&=&0\\c_{1}\cdot e^{e}&+&c_{2}\cdot 1&=&0\end{array}}$
表明 $c_{1}=0$ 和 $c_{2}=0$ 。

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问题 4

下列哪些实数一元函数空间的子集线性相关，哪些线性无关？ (注意我们简写了一些常数函数; 例如，在第一项中，“ $2$ ”代表常数函数 $f(x)=2$ 。)

$\{2,4\sin ^{2}(x),\cos ^{2}(x)\}$
$\{1,\sin(x),\sin(2x)\}$
$\{x,\cos(x)\}$
$\{(1+x)^{2},x^{2}+2x,3\}$
$\{\cos(2x),\sin ^{2}(x),\cos ^{2}(x)\}$
$\{0,x,x^{2}\}$

答案

在每种情况下，必须证明该集合是线性无关的，并且必须通过展示一个特定的依赖关系来表明它是线性相关的。

此集合是线性相关的。熟悉的等式 $\sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)=1$ 表明 $2=c_{1}\cdot (4\sin ^{2}(x))+c_{2}\cdot (\cos ^{2}(x))$ 可以被 $c_{1}=1/2$ 和 $c_{2}=2$ 满足。
此集合是线性无关的。考虑关系 $c_{1}\cdot 1+c_{2}\cdot \sin(x)+c_{3}\cdot \sin(2x)=0$ （其中“ $0$ ”是零函数）。取 $x=0$ 、 $x=\pi /2$ 和 $x=\pi /4$ 给出了以下线性方程组。
${\begin{array}{*{3}{rc}r}c_{1}&&&&&=&0\\c_{1}&+&c_{2}&&&=&0\\c_{1}&+&({\sqrt {2}}/2)c_{2}&+&c_{3}&=&0\end{array}}$
其唯一解是 $c_{1}=0$ 、 $c_{2}=0$ 和 $c_{3}=0$ 。
通过观察，此集合是线性无关的。任何依赖关系 $\cos(x)=c\cdot x$ 都不可能成立，因为余弦函数不是恒等函数的倍数（这里应用了推论 1.17）。
通过观察，我们发现存在依赖关系。因为 $(1+x)^{2}=x^{2}+2x+1$ ，我们得到 $c_{1}\cdot (1+x)^{2}+c_{2}\cdot (x^{2}+2x)=3$ 被 $c_{1}=3$ 和 $c_{2}=-3$ 满足。
这组集合是相关的。最简单的方法是回忆三角函数关系 $\cos ^{2}(x)-\sin ^{2}(x)=\cos(2x)$ 。（备注。 如果一个人不记得这个关系，并尝试一些 $x$ ，则永远无法得到一个导致唯一解的系统，也永远无法得出结论，即该集合是独立的。当然，这个人可能会怀疑他们是否只是没有尝试正确的 $x$ 集合，但是经过几次尝试后，大多数人会转而寻找依赖关系。）
这组集合是相关的，因为它包含向量空间中的零对象，即零多项式。

问题 5

方程 $\sin ^{2}(x)/\cos ^{2}(x)=\tan ^{2}(x)$ 是否表明该函数集合 $\{\sin ^{2}(x),\cos ^{2}(x),\tan ^{2}(x)\}$ 是所有定义域为实数区间 $(-\pi /2..\pi /2)$ （介于 $-\pi /2$ 和 $\pi /2)$ 之间）的所有实值函数的线性相关子集吗？

答案

不，该方程不是线性关系。事实上，这组集合是独立的，因为从取 $x$ 为 $0$ ， $\pi /6$ 和 $\pi /4$ 所产生的系统表明。

问题 6

为什么引理 1.4 说“不同的”？

答案

为了强调方程 $1\cdot {\vec {s}}+(-1)\cdot {\vec {s}}={\vec {0}}$ 并不会使该集合相关。

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问题 7

证明阶梯形矩阵的非零行构成线性无关集。

答案

我们已经证明了这一点：线性组合引理及其推论指出，在阶梯形矩阵中，任何非零行都不是其他行的线性组合。

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问题 8

证明如果集合 $\{{\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}\}$ 是线性无关集，那么集合 $\{{\vec {u}},{\vec {u}}+{\vec {v}},{\vec {u}}+{\vec {v}}+{\vec {w}}\}$ 也是线性无关集。
集合 $\{{\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}\}$ 的线性无关性或相关性与集合 $\{{\vec {u}}-{\vec {v}},{\vec {v}}-{\vec {w}},{\vec {w}}-{\vec {u}}\}$ 的无关性或相关性之间有什么关系？

答案

假设集合 $\{{\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}\}$ 线性无关，所以任何关系 $d_{0}{\vec {u}}+d_{1}{\vec {v}}+d_{2}{\vec {w}}={\vec {0}}$ 都将得出结论 $d_{0}=0$ ， $d_{1}=0$ ，以及 $d_{2}=0$ 。考虑关系 $c_{1}({\vec {u}})+c_{2}({\vec {u}}+{\vec {v}})+c_{3}({\vec {u}}+{\vec {v}}+{\vec {w}})={\vec {0}}$ 。改写它得到 $(c_{1}+c_{2}+c_{3}){\vec {u}}+(c_{2}+c_{3}){\vec {v}}+(c_{3}){\vec {w}}={\vec {0}}$ 。取 $d_{0}$ 为 $c_{1}+c_{2}+c_{3}$ ，取 $d_{1}$ 为 $c_{2}+c_{3}$ ，以及取 $d_{2}$ 为 $c_{3}$ ，我们有这个系统。
${\begin{array}{*{3}{rc}r}c_{1}&+&c_{2}&+&c_{3}&=&0\\&&c_{2}&+&c_{3}&=&0\\&&&&c_{3}&=&0\end{array}}$
结论：所有 $c$ 均为零，因此该集合线性无关。
第二组集合是线性相关的。
$1\cdot ({\vec {u}}-{\vec {v}})+1\cdot ({\vec {v}}-{\vec {w}})+1\cdot ({\vec {w}}-{\vec {u}})={\vec {0}}$
第一组集合是否线性无关。

问题 9

例 1.10 表明空集线性无关。

当一个元素集线性无关时？
两个元素集呢？

答案

单元素集 $\{{\vec {v}}\}$ 线性无关当且仅当 ${\vec {v}}\neq {\vec {0}}$ 。对于“当”方向，若 ${\vec {v}}\neq {\vec {0}}$ ，我们可以考虑关系 $c\cdot {\vec {v}}={\vec {0}}$ ，并根据引理 1.4 可知，唯一解是平凡解： $c=0$ 。对于“仅当”方向，请记住例 1.11 表明 $\{{\vec {0}}\}$ 是线性相关的，因此如果集 $\{{\vec {v}}\}$ 线性无关，则 ${\vec {v}}\neq {\vec {0}}$ 。(备注。另一个答案是说，这是引理 1.16 中 $S=\varnothing$ 的特殊情况。)
包含两个元素的集合线性无关，当且仅当集合中任何一个元素都不是另一个元素的倍数（注意，如果其中一个是零向量，那么它就是另一个元素的倍数，所以这种情况也包含在内）。这是一个等价的陈述：一个集合线性相关，当且仅当其中一个元素是另一个元素的倍数。证明很简单。一个集合 $\{{\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2}\}$ 线性相关，当且仅当存在一个关系 $c_{1}{\vec {v}}_{1}+c_{2}{\vec {v}}_{2}={\vec {0}}$ ，其中 $c_{1}\neq 0$ 或 $c_{2}\neq 0$ （或两者都有）。只有当 ${\vec {v}}_{1}=(-c_{2}/c_{1}){\vec {v}}_{2}$ 或 ${\vec {v}}_{2}=(-c_{1}/c_{2}){\vec {v}}_{1}$ （或两者都有）。

问题 10

在任何向量空间 $V$ 中，空集是线性无关的。整个 $V$ 呢？

答案

该集合是线性相关的，因为它包含零向量。

问题 11

证明如果 $\{{\vec {x}},{\vec {y}},{\vec {z}}\}$ 线性无关，那么它的所有真子集也是线性无关的： $\{{\vec {x}},{\vec {y}}\}$ , $\{{\vec {x}},{\vec {z}}\}$ , $\{{\vec {y}},{\vec {z}}\}$ , $\{{\vec {x}}\}$ , $\{{\vec {y}}\}$ , $\{{\vec {z}}\}$ 和 $\{\}$ 。这是“当且仅当”吗？

答案

“如果”部分由引理 1.14给出。反之（“当且仅当”语句）不成立。一个例子是考虑向量空间 $\mathbb {R} ^{2}$ 和这些向量。

{\vec {x}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},\quad {\vec {y}}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},\quad {\vec {z}}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}

问题 12

证明这个
$S=\{{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}}\}$
是 $\mathbb {R} ^{3}$ 的一个线性无关子集。
证明
${\begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix}}$
在 $S$ 的线性组合中，通过找到 $c_{1}$ 和 $c_{2}$ 来获得线性关系。
$c_{1}{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix}}$
证明 $c_{1},c_{2}$ 是唯一的。
假设 $S$ 是向量空间的子集，并且 ${\vec {v}}$ 在 $[S]$ 中，因此 ${\vec {v}}$ 是 $S$ 中向量的线性组合。证明如果 $S$ 是线性无关的，那么 $S$ 中向量的线性组合加到 ${\vec {v}}$ 是唯一的（也就是说，除了重新排序以及添加或删除 $0\cdot {\vec {s}}$ 形式的项之外）。因此， $S$ 作为生成集，在此意义上是最小的： $[S]$ 中的每个向量只被 "击中" 一次，即最少次数。
证明当 $S$ 不是线性无关的时，不同的线性组合可以加到同一个向量。

答案

由下式产生的线性方程组：
$c_{1}{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$
只有一个解 $c_{1}=0$ 和 $c_{2}=0$ .
由下式产生的线性方程组：
$c_{1}{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix}}$
只有一个解 $c_{1}=8/3$ 和 $c_{2}=-1/3$ .
假设 $S$ 是线性无关的。假设我们既有 ${\vec {v}}=c_{1}{\vec {s}}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {s}}_{n}$ 也有 ${\vec {v}}=d_{1}{\vec {t}}_{1}+\dots +d_{m}{\vec {t}}_{m}$ （其中向量是 $S$ 的成员）。现在，
$c_{1}{\vec {s}}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {s}}_{n}={\vec {v}}=d_{1}{\vec {t}}_{1}+\dots +d_{m}{\vec {t}}_{m}$
可以这样改写。
$c_{1}{\vec {s}}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {s}}_{n}-d_{1}{\vec {t}}_{1}-\dots -d_{m}{\vec {t}}_{m}={\vec {0}}$
Possibly some of the ${\vec {s}}\,$ 's equal some of the ${\vec {t}}\,$ 's; we can combine the associated coefficients (i.e., if ${\vec {s}}_{i}={\vec {t}}_{j}$ then $\cdots +c_{i}{\vec {s}}_{i}+\dots -d_{j}{\vec {t}}_{j}-\cdots$ can be rewritten as $\cdots +(c_{i}-d_{j}){\vec {s}}_{i}+\cdots$ ). That equation is a linear relationship among distinct (after the combining is done) members of the set $S$ . We've assumed that $S$ is linearly independent, so all of the coefficients are zero. If $i$ is such that ${\vec {s}}_{i}$ does not equal any ${\vec {t}}_{j}$ then $c_{i}$ is zero. If $j$ is such that ${\vec {t}}_{j}$ does not equal any ${\vec {s}}_{i}$ then $d_{j}$ is zero. In the final case, we have that $c_{i}-d_{j}=0$ and so $c_{i}=d_{j}$ . Therefore, the original two sums are the same, except perhaps for some $0\cdot {\vec {s}}_{i}$ or $0\cdot {\vec {t}}_{j}$ terms that we can neglect.
这个集合不是线性无关的
$S=\{{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}}\}\subset \mathbb {R} ^{2}$
这两个线性组合得出相同的结果
${\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}=2\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}-1\cdot {\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}}=4\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}-2\cdot {\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}}$
因此，线性相关的集合可能具有不确定的和。事实上，以下更强的结论成立：如果一个集合线性相关，那么它一定具有以下性质：存在两个不同的线性组合，它们的和是同一个向量。简而言之，如果 $c_{1}{\vec {s}}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {s}}_{n}={\vec {0}}$ ，那么将等式两边乘以 2 会得到另一个关系式。如果第一个关系式是非平凡的，那么第二个关系式也是非平凡的。

问题 13

证明一个多项式能产生零函数当且仅当它本身是零多项式。（注：这个问题不是线性代数问题，但我们经常使用其结论。多项式以显而易见的方式产生函数： $x\mapsto c_{n}x^{n}+\dots +c_{1}x+c_{0}$ 。）

答案

在这个 “当且仅当” 语句中， “如果” 部分是清楚的——如果多项式是零多项式，那么由该多项式作用产生的函数一定是零函数 $x\mapsto 0$ 。对于 “仅当” 部分，我们写 $p(x)=c_{n}x^{n}+\dots +c_{0}$ 。将零代入，得到 $p(0)=0$ ，由此得到 $c_{0}=0$ 。对多项式求导并代入零，得到 $p^{\prime }(0)=0$ ，由此得到 $c_{1}=0$ 。类似地，我们可以得到每个 $c_{i}$ 都为零，并且 $p$ 是零多项式。

问题 14

回到 1.2 节，并重新定义点、直线、平面以及其他线性曲面，以避免退化情况。

答案

本节的结论表明，一个 $n$ 维非退化线性曲面应该被定义为一个线性无关向量集的线性生成空间。

问题 15

证明 $\mathbb {R} ^{2}$ 中的任何四个向量线性相关。
对于任何五个向量或三个向量，这个结论是否成立？
$\mathbb {R} ^{2}$ 的线性无关子集最多可以包含多少个元素？

答案

对于任意 $a_{1,1}$ , ..., $a_{2,4}$ ,
$c_{1}{\begin{pmatrix}a_{1,1}\\a_{2,1}\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}a_{1,2}\\a_{2,2}\end{pmatrix}}+c_{3}{\begin{pmatrix}a_{1,3}\\a_{2,3}\end{pmatrix}}+c_{4}{\begin{pmatrix}a_{1,4}\\a_{2,4}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$
得到一个线性方程组
${\begin{array}{*{4}{rc}r}a_{1,1}c_{1}&+&a_{1,2}c_{2}&+&a_{1,3}c_{3}&+&a_{1,4}c_{4}&=&0\\a_{2,1}c_{1}&+&a_{2,2}c_{2}&+&a_{2,3}c_{3}&+&a_{2,4}c_{4}&=&0\end{array}}$
该方程组有无穷多个解（高斯消元法至少会留下两个自由变量）。因此，给定 $\mathbb {R} ^{2}$ 的元素之间存在非平凡的线性关系。
任何五个向量集都是四个向量集的超集，因此它们线性相关。对于来自 $\mathbb {R} ^{2}$ 的三个向量，前面的论点仍然适用，只是高斯消元法现在至少留下一个自由变量（但这仍然给出了无穷多个解）。
前面的论点表明 $\mathbb {R} ^{2}$ 中的任何三个元素子集都是线性相关的。我们知道 $\mathbb {R} ^{2}$ 中存在两个元素子集是线性无关的——其中一个是
$\{{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\}$
因此答案是二。

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问题 16

在 $\mathbb {R} ^{3}$ 中，是否存在四个向量，其中任意三个向量都构成线性无关集？

答案

是的，以下是一个例子。

\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}\}

问题 17

每个线性相关集一定包含一个线性相关子集和一个线性无关子集吗？

答案

是的，两个非真子集，即整个集合和空集，都可以作为例子。

问题 18

在 $\mathbb {R} ^{4}$ 中，你能找到的最大的线性无关集是什么？最小的呢？最大的线性相关集是什么？最小的呢？（“最大”和“最小”是指不存在具有相同性质的超集或子集）。

答案

在 $\mathbb {R} ^{4}$ 中，最大的线性无关集包含四个向量。存在许多这样的集合，以下是一个例子。

\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}}\}

为了证明没有包含五个或更多向量的集合可以是线性无关的，我们构建如下方程。

c_{1}{\begin{pmatrix}a_{1,1}\\a_{2,1}\\a_{3,1}\\a_{4,1}\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}a_{1,2}\\a_{2,2}\\a_{3,2}\\a_{4,2}\end{pmatrix}}+c_{3}{\begin{pmatrix}a_{1,3}\\a_{2,3}\\a_{3,3}\\a_{4,3}\end{pmatrix}}+c_{4}{\begin{pmatrix}a_{1,4}\\a_{2,4}\\a_{3,4}\\a_{4,4}\end{pmatrix}}+c_{5}{\begin{pmatrix}a_{1,5}\\a_{2,5}\\a_{3,5}\\a_{4,5}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}

并注意，得到的线性方程组

{\begin{array}{*{5}{rc}r}a_{1,1}c_{1}&+&a_{1,2}c_{2}&+&a_{1,3}c_{3}&+&a_{1,4}c_{4}&+&a_{1,5}c_{5}&=&0\\a_{2,1}c_{1}&+&a_{2,2}c_{2}&+&a_{2,3}c_{3}&+&a_{2,4}c_{4}&+&a_{2,5}c_{5}&=&0\\a_{3,1}c_{1}&+&a_{3,2}c_{2}&+&a_{3,3}c_{3}&+&a_{3,4}c_{4}&+&a_{3,5}c_{5}&=&0\\a_{4,1}c_{1}&+&a_{4,2}c_{2}&+&a_{4,3}c_{3}&+&a_{4,4}c_{4}&+&a_{4,5}c_{5}&=&0\end{array}}

有四个方程和五个未知数，因此高斯消元法必须至少留下一个 $c$ 变量自由，所以存在无穷多解，因此上述四个向量之间的线性关系具有非零解。

最小的线性无关集为空集。

最大的线性相关集为 $\mathbb {R} ^{4}$ 。最小的为 $\{{\vec {0}}\}$ .

此练习推荐给所有读者。

问题 19

线性无关和线性相关是集合的性质。因此我们可以自然地问这些性质如何与熟悉的集合关系和运算有关。在本节的正文中，我们已经涵盖了子集和超集关系。我们也可以考虑交集、补集和并集运算。

线性无关如何与交集相关：线性无关集的交集可以是无关的吗？必须是吗？
线性无关如何与补集相关？
证明两个线性无关集的并集不一定是线性无关的。
用每个集合的跨度的交集来描述两个线性无关集的并集何时是线性无关的。

答案

两个线性无关集的交集 $S\cap T$ 必须是线性无关的，因为它线性无关集 $S$ 的一个子集（当然也是线性无关集 $T$ 的子集）。
线性无关集的补集是线性相关的，因为它包含零向量。
我们必须举出一个例子。在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中，一个例子是
$S=\{{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\}\quad {\text{and}}\quad T=\{{\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}}\}$
因为 $S_{1}\cup S_{2}$ 的线性相关性很容易看出。
The union of two linearly independent sets $S\cup T$ is linearly independent if and only if their spans have a trivial intersection $[S]\cap [T]=\{{\vec {0}}\}$ . To prove that, assume that $S$ and $T$ are linearly independent subsets of some vector space. For the "only if" direction, assume that the intersection of the spans is trivial $[S]\cap [T]=\{{\vec {0}}\}$ . Consider the set $S\cup T$ . Any linear relationship $c_{1}{\vec {s}}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {s}}_{n}+d_{1}{\vec {t}}_{1}+\dots +d_{m}{\vec {t}}_{m}={\vec {0}}$ gives $c_{1}{\vec {s}}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {s}}_{n}=-d_{1}{\vec {t}}_{1}-\dots -d_{m}{\vec {t}}_{m}$ . The left side of that equation sums to a vector in $[S]$ , and the right side is a vector in $[T]$ . Therefore, since the intersection of the spans is trivial, both sides equal the zero vector. Because $S$ is linearly independent, all of the $c$ 's are zero. Because $T$ is linearly independent, all of the $d$ 's are zero. Thus, the original linear relationship among members of $S\cup T$ only holds if all of the coefficients are zero. That shows that $S\cup T$ is linearly independent. For the "if" half we can make the same argument in reverse. If the union $S\cup T$ is linearly independent, that is, if the only solution to $c_{1}{\vec {s}}_{1}+\cdots +c_{n}{\vec {s}}_{n}+d_{1}{\vec {t}}_{1}+\cdots +d_{m}{\vec {t}}_{m}={\vec {0}}$ is the trivial solution $c_{1}=0$ , ..., $d_{m}=0$ , then any vector ${\vec {v}}$ in the intersection of the spans ${\vec {v}}=c_{1}{\vec {s}}_{1}+\cdots +c_{n}{\vec {s}}_{n}=-d_{1}{\vec {t}}_{1}-\cdots =d_{m}{\vec {t}}_{m}$ must be the zero vector because each scalar is zero.

此练习推荐给所有读者。

问题 20

对于定理 1.12，

补全证明中的归纳步骤；
给出另一个证明，从空集开始，构造给定有限集的线性无关子集序列，直到出现一个与给定集具有相同跨度的子集。

答案

We do induction on the number of vectors in the finite set $S$ . The base case is that $S$ has no elements. In this case $S$ is linearly independent and there is nothing to check— a subset of $S$ that has the same span as $S$ is $S$ itself. For the inductive step assume that the theorem is true for all sets of size $n=0$ , $n=1$ , ..., $n=k$ in order to prove that it holds when $S$ has $n=k+1$ elements. If the $k+1$ -element set $S=\{{\vec {s}}_{0},\dots ,{\vec {s}}_{k}\}$ is linearly independent then the theorem is trivial, so assume that it is dependent. By Corollary 1.17 there is an ${\vec {s}}_{i}$ that is a linear combination of other vectors in $S$ . Define $S_{1}=S-\{{\vec {s}}_{i}\}$ and note that $S_{1}$ has the same span as $S$ by Lemma 1.1. The set $S_{1}$ has $k$ elements and so the inductive hypothesis applies to give that it has a linearly independent subset with the same span. That subset of $S_{1}$ is the desired subset of $S$ .
以下是论证的概述。归纳论证的细节被省略了。如果有限集 $S$ 为空，则无需证明。如果 $S=\{{\vec {0}}\}$ ，则空子集即可。否则，取一个非零向量 ${\vec {s}}_{1}\in S$ ，并定义 $S_{1}=\{{\vec {s}}_{1}\}$ 。如果 $[S_{1}]=[S]$ ，则该证明已完成，因为 $S_{1}$ 线性无关。如果不是，则存在一个非零向量 ${\vec {s}}_{2}\in S-[S_{1}]$ （如果每个 ${\vec {s}}\in S$ 都在 $[S_{1}]$ 中，则 $[S_{1}]=[S]$ ）。定义 $S_{2}=S_{1}\cup \{{\vec {s}}_{2}\}$ 。如果 $[S_{2}]=[S]$ ，则该证明已完成，通过使用定理 1.17 可以证明 $S_{2}$ 线性无关。重复上一段，直到出现一个跨度足够大的集合。由于 $S$ 是有限的，并且 $[S]$ 最迟会在从 $S$ 中使用所有向量时达到。

问题 21

通过一些计算，我们可以得到一些公式来判断一组向量是否线性无关。

证明 $\mathbb {R} ^{2}$ 的这个子集
$\{{\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}b\\d\end{pmatrix}}\}$
如果且仅当 $ad-bc\neq 0$ 时，线性无关。
证明 $\mathbb {R} ^{3}$ 的这个子集
$\{{\begin{pmatrix}a\\d\\g\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}b\\e\\h\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}c\\f\\i\end{pmatrix}}\}$
线性无关，当且仅当 $aei+bfg+cdh-hfa-idb-gec\neq 0$ 。
什么时候 $\mathbb {R} ^{3}$ 的这个子集
$\{{\begin{pmatrix}a\\d\\g\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}b\\e\\h\end{pmatrix}}\}$
线性无关？
这是一个开放式问题：对于来自 $\mathbb {R} ^{4}$ 的四个向量集，是否必须存在一个涉及十六个条目的公式来确定该集合的独立性？（你不需要给出这样的公式，只需要判断是否存在这样的公式。）

答案

假设首先 $a\neq 0$ ，
$x{\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}}+y{\begin{pmatrix}b\\d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$
得到
${\begin{array}{*{2}{rc}r}ax&+&by&=&0\\cx&+&dy&=&0\end{array}}\;{\xrightarrow[{}]{-(c/a)\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\begin{array}{*{2}{rc}r}ax&+&by&=&0\\&&(-(c/a)b+d)y&=&0\end{array}}$
只有当 $0\neq -(c/a)b+d=(-cb+ad)/d$ 时，方程才会有解（在这个情况下我们假设了 $a\neq 0$ ，所以回代可以得到唯一解）。当 $a=0$ 时，也不难处理——把它分解成 $c\neq 0$ 和 $c=0$ 子情况，并注意到在这些情况下 $ad-bc=0\cdot d-bc$ 。 评论。 之前的练习表明，如果且仅当两个向量中的一个向量是另一个向量的标量倍数时，两个向量集合才是线性相关的。这也可以用来进行计算。
方程
$c_{1}{\begin{pmatrix}a\\d\\g\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}b\\e\\h\end{pmatrix}}+c_{3}{\begin{pmatrix}c\\f\\i\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$
产生了齐次线性方程组。我们通过把它写成矩阵形式并应用高斯消元法来进行。我们首先将矩阵化为上三角矩阵。假设 $a\neq 0$ .
${\begin{array}{rcl}{\xrightarrow[{}]{(1/a)\rho _{1}}}\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&b/a&c/a&0\\d&e&f&0\\g&h&i&0\end{array}}\right)&{\xrightarrow[{-g\rho _{1}+\rho _{3}}]{-d\rho _{1}+\rho _{2}}}&\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&b/a&c/a&0\\0&(ae-bd)/a&(af-cd)/a&0\\0&(ah-bg)/a&(ai-cg)/a&0\end{array}}\right)\\&{\xrightarrow[{}]{(a/(ae-bd))\rho _{2}}}&\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&b/a&c/a&0\\0&1&(af-cd)/(ae-bd)&0\\0&(ah-bg)/a&(ai-cg)/a&0\end{array}}\right)\end{array}}$
(假设此时 $ae-bd\neq 0$ ，以便进行行消元步骤)。然后，在这些假设下，我们得到以下结果。
${\begin{array}{rcl}&{\xrightarrow[{}]{((ah-bg)/a)\rho _{2}+\rho _{3}}}&\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&{\frac {b}{a}}&{\frac {c}{a}}&0\\0&1&{\frac {af-cd}{ae-bd}}&0\\0&0&{\frac {aei+bgf+cdh-hfa-idb-gec}{ae-bd}}&0\end{array}}\right)\end{array}}$
表明原始系统是非奇异的当且仅当 $3,3$ 项不为零。这个分数由于 $ae-bd\neq 0$ 的假设而定义，它将等于零当且仅当它的分子等于零。接下来我们关注这些假设。首先，如果 $a\neq 0$ 但 $ae-bd=0$ ，那么我们将交换
${\begin{array}{rcl}\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&b/a&c/a&0\\0&0&(af-cd)/a&0\\0&(ah-bg)/a&(ai-cg)/a&0\end{array}}\right)&{\xrightarrow[{}]{\rho _{2}\leftrightarrow \rho _{3}}}&\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&b/a&c/a&0\\0&(ah-bg)/a&(ai-cg)/a&0\\0&0&(af-cd)/a&0\end{array}}\right)\end{array}}$
并得出结论，该系统是非奇异的当且仅当 $ah-bg=0$ 或 $af-cd=0$ 。这与要求它们的乘积为零是等价的
${\begin{array}{rl}ahaf-ahcd-bgaf+bgcd&=0\\ahaf-ahcd-bgaf+aegc&=0\\a(haf-hcd-bgf+egc)&=0\end{array}}$
(从第一行到第二行，我们应用了 $ae-bd=0$ 的情况假设，将 $ae$ 替换为 $bd$ ). 由于我们假设 $a\neq 0$ ，我们有 $haf-hcd-bgf+egc=0$ 。根据 $ae-bd=0$ ，我们可以将其改写成我们需要的形式：在这种 $a\neq 0$ 和 $ae-bd=0$ 的情况下，当 $haf-hcd-bgf+egc-i(ae-bd)=0$ 时，所给出的系统是非奇异的，如所要求的。剩下的情况具有相同的特征。对于 $a=0$ 但 $d\neq 0$ 的情况和 $a=0$ 和 $d=0$ 但 $g\neq 0$ 的情况，可以通过首先交换行，然后像上面那样继续进行。对于 $a=0$ ， $d=0$ 和 $g=0$ 的情况很简单——包含零向量的集合是线性相关的，公式的结果为零。
当且仅当其中一个向量是另一个向量的倍数时，它是线性相关的。也就是说，当且仅当它不独立时，
${\begin{pmatrix}a\\d\\g\end{pmatrix}}=r\cdot {\begin{pmatrix}b\\e\\h\end{pmatrix}}\quad {\text{or}}\quad {\begin{pmatrix}b\\e\\h\end{pmatrix}}=s\cdot {\begin{pmatrix}a\\d\\g\end{pmatrix}}$
(或两者)对于某些标量 $r$ 和 $s$ 。消去 $r$ 和 $s$ 为了用给定的字母 $a$ ， $b$ ， $d$ ， $e$ ， $g$ ， $h$ 来重新表述这个条件，我们有，它不独立——它是相关的——当且仅当 $ae-bd=ah-gb=dh-ge$ 。
依赖或独立性是索引的函数，所以确实存在一个公式（虽然乍一看人们可能会认为公式涉及情况："如果第一个向量的第一个分量为零，那么..."，这个猜测结果是不正确的）。

此练习推荐给所有读者。

问题 22

证明来自 $\mathbb {R} ^{n}$ 的两个非零垂直向量当 $n>1$ 时线性无关。
如果 $n=1$ ？ $n=0$ ？
推广到两个以上的向量。

答案

回顾来自 $\mathbb {R} ^{n}$ 的两个向量是垂直的当且仅当它们的点积为零。

假设 ${\vec {v}}$ 和 ${\vec {w}}$ 是 $\mathbb {R} ^{n}$ 中的互相垂直的非零向量，其中 $n>1$ 。对于线性关系 $c{\vec {v}}+d{\vec {w}}={\vec {0}}$ ，在等式两边同时作用 ${\vec {v}}$ 可以得出结论 $c\cdot |{\vec {v}}|^{2}+d\cdot 0=0$ 。因为 ${\vec {v}}\neq {\vec {0}}$ ，所以 $c=0$ 。类似地，对 ${\vec {w}}$ 的类似操作可以得出 $d=0$ 。
在 $\mathbb {R} ^{1}$ 中，两个向量互相垂直当且仅当其中至少一个为零向量。我们定义 $\mathbb {R} ^{0}$ 为一个平凡空间，因此 ${\vec {v}}$ 和 ${\vec {w}}$ 均为零向量。
正确的概括是查看一组向量 $\{{\vec {v}}_{1},\dots ,{\vec {v}}_{n}\}\subseteq \mathbb {R} ^{k}$ ，这些向量是互相正交的（也称为成对垂直）：如果 $i\neq j$ ，那么 ${\vec {v}}_{i}$ 垂直于 ${\vec {v}}_{j}$ 。模仿上面第一项的证明表明，这样一组非零向量是线性无关的。

问题 23

考虑从开区间 $(-1..1)$ 到 $\mathbb {R}$ 的函数集合。

证明该集合在通常的运算下是一个向量空间。
回顾无穷等比数列的求和公式： $1+x+x^{2}+\cdots =1/(1-x)$ 对于所有 $x\in (-1..1)$ 成立。为什么这在集合 $\{g(x)=1/(1-x),f_{0}(x)=1,f_{1}(x)=x,f_{2}(x)=x^{2},\ldots \}$ （在我们考虑的向量空间中）内部没有表达出依赖关系？ (提示：回顾线性组合的定义)。
证明上一项中的集合是线性无关的。

这表明一些向量空间存在具有无限线性无关子集。

答案

此检查是例行公事。
求和是无限的（有无限多个求和项）。线性组合的定义只涉及有限求和。
没有 $\{g,f_{0},f_{1},\ldots \}$ 成员的非平凡有限和加起来等于零对象：假设
$c_{0}\cdot (1/(1-x))+c_{1}\cdot 1+\dots +c_{n}\cdot x^{n}=0$
（任何有限求和都使用最高幂，这里为 $n$ ）。两边都乘以 $1-x$ 可以得出每个系数都为零，因为多项式只有当它是零多项式时才能描述零函数。

问题 24

证明，当 $S$ 是 $V$ 的子空间时，如果 $S$ 的子集 $T$ 在 $S$ 中线性无关，那么 $T$ 在 $V$ 中也是线性无关的。这是“当且仅当”吗？

答案

它是“当”和“仅当”。

令 $T$ 是向量空间 $V$ 的子空间 $S$ 的子集。关于 $T$ 成员之间的任何线性关系 $c_{1}{\vec {t}}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {t}}_{n}={\vec {0}}$ 必须是平凡的关系 $c_{1}=0$ ，...， $c_{n}=0$ 这一断言在 $S$ 中成立当且仅当它在 $V$ 中成立，因为子空间 $S$ 从 $V$ 中继承了它的加法和标量乘法运算。