线性代数/线性无关的定义和示例

生成集和线性无关

我们首先描述在不改变集合的生成空间的情况下，何时可以从集合中移除一个向量。

引理 1.1

其中 $S$ 是向量空间 $V$ 的一个子集，

$[S]=[S\cup \{{\vec {v}}\}]\quad {\text{if and only if}}\quad {\vec {v}}\in [S]$

对于任何 ${\vec {v}}\in V$.

证明

从左到右的推论很容易。如果 $[S]=[S\cup \{{\vec {v}}\}]$，那么，由于 ${\vec {v}}\in [S\cup \{{\vec {v}}\}]$，这两个集合的相等性表明 ${\vec {v}}\in [S]$.

对于从右到左的蕴含，假设${\vec {v}}\in [S]$ 来证明$[S]=[S\cup \{{\vec {v}}\}]$，通过相互包含证明。包含$[S]\subseteq [S\cup \{{\vec {v}}\}]$ 是显而易见的。对于另一个包含$[S]\supseteq [S\cup \{{\vec {v}}\}]$，将$[S\cup \{{\vec {v}}\}]$ 中的元素写成$d_{0}{\vec {v}}+d_{1}{\vec {s}}_{1}+\dots +d_{m}{\vec {s}}_{m}$，并将${\vec {v}}$ 的展开式代入到同一个集合$d_{0}(c_{0}{\vec {t}}_{0}+\dots +c_{k}{\vec {t}}_{k})+d_{1}{\vec {s}}_{1}+\dots +d_{m}{\vec {s}}_{m}$ 中。这是一个线性组合的线性组合，因此分配$d_{0}$ 会得到来自$S$ 的向量的线性组合。因此，$[S\cup \{{\vec {v}}\}]$ 中的每个元素也是$[S]$ 的元素。

示例 1.2

在$\mathbb {R} ^{3}$ 中，其中

${\vec {v}}_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\quad {\vec {v}}_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\quad {\vec {v}}_{3}={\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}}$

跨度 $[\{{\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2}\}]$ 和 $[\{{\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},{\vec {v}}_{3}\}]$ 是相等的，因为 ${\vec {v}}_{3}$ 位于跨度 $[\{{\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2}\}]$ 中。

引理表明，如果我们有一个生成集，那么我们就可以移除一个 ${\vec {v}}$ 来得到一个新的集合 $S$，这个集合具有相同的跨度，当且仅当 ${\vec {v}}$ 是来自 $S$ 中的向量的线性组合。因此，根据上面描述的第二种意义，生成集是最小的，当且仅当它不包含任何向量是该集合中其他向量的线性组合。我们有一个术语来描述这个重要性质。

定义 1.3

向量空间的子集是**线性无关**的，如果它的任何元素都不是其他元素的线性组合。否则它就是**线性相关**的。

这里有一个重要的观察结果

${\vec {s}}_{0}=c_{1}{\vec {s}}_{1}+c_{2}{\vec {s}}_{2}+\cdots +c_{n}{\vec {s}}_{n}$

虽然这种将一个向量写成其他向量组合的方式在视觉上将${\vec {s}}_{0}$从其他向量中分离出来，但从代数的角度来看，这个方程对于${\vec {s}}_{0}$没有特殊之处。对于任何系数为$c_{i}$且不为零的${\vec {s}}_{i}$，我们可以改写这个关系，将${\vec {s}}_{i}$分离出来。

${\vec {s}}_{i}=(1/c_{i}){\vec {s}}_{0}+(-c_{1}/c_{i}){\vec {s}}_{1}+\dots +(-c_{n}/c_{i}){\vec {s}}_{n}$

当我们不想通过将任何一个向量单独写在一侧来突出显示它时，我们将说${\vec {s}}_{0},{\vec {s}}_{1},\dots ,{\vec {s}}_{n}$处于线性关系，并将所有向量写在一个等式的一侧。下一个结果以这种风格重新表述线性无关的定义。它给出了通常计算有限集是线性相关还是线性无关的最简单方法。

引理 1.4

向量空间的一个子集$S$线性无关，当且仅当对于任何不同的${\vec {s}}_{1},\dots ,{\vec {s}}_{n}\in S$，这些向量之间唯一的线性关系是

$c_{1}{\vec {s}}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {s}}_{n}={\vec {0}}\qquad c_{1},\dots ,c_{n}\in \mathbb {R}$

是平凡的：$c_{1}=0,\dots ,\,c_{n}=0$.

证明

这是上面观察结果的直接推论。

如果集合 $S$ 线性无关，那么没有向量 ${\vec {s}}_{i}$ 可以写成集合 $S$ 中其他向量的线性组合，因此不存在一些 ${\vec {s}}\,$ 的系数不为零的线性关系。如果 $S$ 线性相关，那么某些 ${\vec {s}}_{i}$ 是 $S$ 中其他向量的线性组合，即 ${\vec {s}}_{i}=c_{1}{\vec {s}}_{1}+\dots +c_{i-1}{\vec {s}}_{i-1}+c_{i+1}{\vec {s}}_{i+1}+\dots +c_{n}{\vec {s}}_{n}$，从等式两边减去 ${\vec {s}}_{i}$ 会得到一个包含非零系数的线性关系，即 $-1$ 在 ${\vec {s}}_{i}$ 前面。

示例 1.5

在二维行向量的向量空间中，两元素集合 $\{{\begin{pmatrix}40&15\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-50&25\end{pmatrix}}\}$ 是线性无关的。为了验证这一点，令

$c_{1}\cdot {\begin{pmatrix}40&15\end{pmatrix}}+c_{2}\cdot {\begin{pmatrix}-50&25\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\end{pmatrix}}$

并求解由此产生的系统

${\begin{array}{*{2}{rc}r}40c_{1}&-&50c_{2}&=&0\\15c_{1}&+&25c_{2}&=&0\end{array}}\;{\xrightarrow[{}]{-(15/40)\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\begin{array}{*{2}{rc}r}40c_{1}&-&50c_{2}&=&0\\&&(175/4)c_{2}&=&0\end{array}}$

表明 $c_{1}$ 和 $c_{2}$ 都为零。因此，这两个给定行向量之间唯一的线性关系是平凡关系。

在同一个向量空间中，$\{{\begin{pmatrix}40&15\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}20&7.5\end{pmatrix}}\}$ 是线性相关的，因为我们可以满足

$c_{1}{\begin{pmatrix}40&15\end{pmatrix}}+c_{2}\cdot {\begin{pmatrix}20&7.5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\end{pmatrix}}$

当 $c_{1}=1$ 且 $c_{2}=-2$。

备注 1.6

回顾本书开头的静力学例子。我们首先将未知质量的物体放在 $40$ 厘米和 $15$ 厘米处，得到了平衡，然后我们把物体放在 $-50$ 厘米和 $25$ 厘米处，得到了平衡。有了这两个信息，我们就可以计算出未知质量的值。如果我们首先将未知质量的物体放在 $40$ 厘米和 $15$ 厘米处，然后放在 $20$ 厘米和 $7.5$ 厘米处，我们将无法计算出未知质量的值（试试看）。直观地，问题在于 ${\begin{pmatrix}20&7.5\end{pmatrix}}$ 信息是 ${\begin{pmatrix}40&15\end{pmatrix}}$ 信息的 "重复" - 也就是说，${\begin{pmatrix}20&7.5\end{pmatrix}}$ 在集合 $\{{\begin{pmatrix}40&15\end{pmatrix}}\}$ 的跨度内 - 因此，我们将尝试用本质上只有一条信息来解决一个有两个未知数的问题。

例 1.7

集合 $\{1+x,1-x\}$ 在 ${\mathcal {P}}_{2}$（具有实系数的二次多项式空间）中线性无关，因为

$0+0x+0x^{2}=c_{1}(1+x)+c_{2}(1-x)=(c_{1}+c_{2})+(c_{1}-c_{2})x+0x^{2}$

得到

${\begin{array}{rcl}{\begin{array}{*{2}{rc}r}c_{1}&+&c_{2}&=&0\\c_{1}&-&c_{2}&=&0\end{array}}&{\xrightarrow[{}]{-\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{array}{*{2}{rc}r}c_{1}&+&c_{2}&=&0\\&&2c_{2}&=&0\end{array}}\end{array}}$

因为多项式只有在系数相等时才相等。因此，这两个成员之间唯一的线性关系是平凡的。 ${\mathcal {P}}_{2}$

例 1.8

在$\mathbb {R} ^{3}$ 中，其中

${\vec {v}}_{1}={\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}}\quad {\vec {v}}_{2}={\begin{pmatrix}2\\9\\2\end{pmatrix}}\quad {\vec {v}}_{3}={\begin{pmatrix}4\\18\\4\end{pmatrix}}$

集合 $S=\{{\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},{\vec {v}}_{3}\}$ 是线性相关的，因为存在以下关系

$0\cdot {\vec {v}}_{1}+2\cdot {\vec {v}}_{2}-1\cdot {\vec {v}}_{3}={\vec {0}}$

其中，并非所有标量都为零（某些标量为零无关紧要）。

备注 1.9

这个例子说明了为什么尽管 定义 1.3 更清晰地阐述了独立性的概念，但 引理 1.4 更适合计算。直接从定义出发，试图计算 $S$ 是否线性无关的人会先设定 ${\vec {v}}_{1}=c_{2}{\vec {v}}_{2}+c_{3}{\vec {v}}_{3}$ 并得出结论，不存在这样的 $c_{2}$ 和 $c_{3}$。但知道第一个向量不依赖于其他两个向量是不够的。这个人还需要继续尝试 ${\vec {v}}_{2}=c_{1}{\vec {v}}_{1}+c_{3}{\vec {v}}_{3}$ 以找到依赖关系 $c_{1}=0$，$c_{3}=1/2$。引理 1.4 只需一次计算就能得到相同的结论。

例 1.10

向量空间的空子集是线性无关的。因为该子集没有成员，所以成员之间不存在非平凡线性关系。

例 1.11

在任何向量空间中，任何包含零向量的子集都是线性相关的。例如，在二次多项式的空间 ${\mathcal {P}}_{2}$ 中，考虑子集 $\{1+x,x+x^{2},0\}$。

证明该子集线性相关的其中一种方法是使用 引理 1.4：我们有 $0\cdot {\vec {v}}_{1}+0\cdot {\vec {v}}_{2}+1\cdot {\vec {0}}={\vec {0}}$，这是一个非平凡的关系，因为并非所有系数都为零。证明该子集线性相关的另一种方法是直接使用 定义 1.3：我们可以将子集的第三个元素表示为前两个元素的线性组合，即，$c_{1}{\vec {v}}_{1}+c_{2}{\vec {v}}_{2}={\vec {0}}$ 可以通过取 $c_{1}=0$ 和 $c_{2}=0$ 来满足（与引理不同，定义允许所有系数都为零）。

（还有一种更细微的方法来证明该子集是相关的。零向量等于平凡和，即，它是没有向量之和。因此，在包含零向量的集合中，存在一个元素可以写成集合中其他向量的组合，具体来说，零向量可以写成空集的组合。）

以上例子，尤其是 例 1.5，强调了本节开头讨论的内容。下一个结果表明，给定一个有限集，我们可以通过丢弃 注 1.6 所谓的“重复”来生成一个线性无关的子集。

定理 1.12

在向量空间中，任何有限子集都具有一个与之具有相同生成空间的线性无关的子集。

证明

如果集合 $S=\{{\vec {s}}_{1},\dots ,{\vec {s}}_{n}\}$ 是线性无关的，那么 $S$ 本身就满足该陈述，因此假设它是线性相关的。

根据相关性的定义，存在一个向量 ${\vec {s}}_{i}$ 是其他向量的线性组合。将该向量称为 ${\vec {v}}_{1}$。丢弃它——定义集合 $S_{1}=S-\{{\vec {v}}_{1}\}$。根据 引理 1.1，生成空间不会缩小 $[S_{1}]=[S]$。

现在，如果 $S_{1}$ 线性无关，那么我们就完成了。否则重复前面的步骤：取一个向量 ${\vec {v}}_{2}$，它是 $S_{1}$ 中其他成员的线性组合，并将其丢弃以得到 $S_{2}=S_{1}-\{{\vec {v}}_{2}\}$，使得 $[S_{2}]=[S_{1}]$。重复此过程，直到出现线性无关的集合 $S_{j}$；最终一定会出现，因为 $S$ 是有限的，空集是线性无关的。(形式上，这个论证使用了对 $n$ 的归纳法，即起始集合中的元素个数。 问题 20 要求详细内容。)

示例 1.13

该集合跨越 $\mathbb {R} ^{3}$.

$S=\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\3\\0\end{pmatrix}}\}$

寻找线性关系

$c_{1}{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}}+c_{3}{\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}}+c_{4}{\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}}+c_{5}{\begin{pmatrix}3\\3\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$

得到一个三方程五未知数的线性系统，其解集可以用这种方式参数化。

$\{{\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\\c_{4}\\c_{5}\end{pmatrix}}=c_{3}{\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\\0\\0\end{pmatrix}}+c_{5}{\begin{pmatrix}-3\\-3/2\\0\\0\\1\end{pmatrix}}\,{\big |}\,c_{3},c_{5}\in \mathbb {R} \}$

因此，$S$ 线性相关。令 $c_{3}=0$ 且 $c_{5}=1$ 表明第五个向量是前两个向量的线性组合。因此，根据 引理 1.1，舍弃第五个向量

$S_{1}=\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}}\}$

并不会改变其生成空间 $[S_{1}]=[S]$。现在，$S_{1}$ 中的第三个向量是前两个向量的线性组合，我们得到

$S_{2}=\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}}\}$

与 $S_{1}$ 具有相同的生成空间，因此与 $S$ 具有相同的生成空间，但有一个不同之处。集合 $S_{2}$ 线性无关（这很容易验证），因此舍弃其任何元素都会缩小生成空间。

线性无关与子集关系

定理 1.12 描述了通过缩减产生线性无关集合的方法，即取子集。在本小节的最后，我们将考虑线性无关和线性相关（它们是集合的属性）如何与集合之间的子集关系相互作用。

引理 1.14

线性无关集合的任何子集也是线性无关的。线性相关集合的任何超集也是线性相关的。

证明

这很明显。

换句话说，无关性由子集保留，而相关性由超集保留。

上面列举了我们能考虑的四种交互情况中的两种。第三种情况，即子集运算是否保留线性相关性，在例 1.13中有所论述，该例给出了一个线性相关集$S$，它包含一个线性相关子集$S_{1}$，以及一个线性无关子集$S_{2}$。

还剩下最后一种情况，即超集运算是否保留线性无关性。下面的例子展示了可能发生的情况。

例 1.15

在这三段话中，子集$S$ 都是线性无关的。

对于集合

$S=\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\}$

其张成空间$[S]$ 是$x$ 轴。以下是$S$ 的两个超集，其中一个线性相关，另一个线性无关。

线性相关：$\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-3\\0\\0\end{pmatrix}}\}$      线性无关：$\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\}$

检查这些集合的线性相关性或无关性很容易。

对于

$S=\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\}$

其张成空间$[S]$ 是$xy$ 平面。以下是两个超集。

依赖: $\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\-2\\0\end{pmatrix}}\}$      独立: $\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\}$

如果

$S=\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\}$

那么 $[S]=\mathbb {R} ^{3}$。一个线性依赖的超集是

依赖: $\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}}\}$

但是，$S$ 没有线性独立的超集。原因是，对于任何我们添加以形成超集的向量，线性依赖方程

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}=c_{1}{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}+c_{3}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$

有解 $c_{1}=x$，$c_{2}=y$，和 $c_{3}=z$。

因此，一般来说，一个线性无关集可能有一个依赖的超集。同样，一般来说，一个线性无关集可能有一个独立的超集。我们可以确定什么时候超集是依赖的，什么时候是独立的。

引理 1.16

其中 $S$ 是向量空间 $V$ 的一个线性无关子集，

$S\cup \{{\vec {v}}\}{\text{ is linearly dependent}}\quad {\text{if and only if}}\quad {\vec {v}}\in [S]$

对于任何${\vec {v}}\in V$ 其中 ${\vec {v}}\not \in S$.

证明

一个推论很明显：如果 ${\vec {v}}\in [S]$ 那么 ${\vec {v}}=c_{1}{\vec {s}}_{1}+c_{2}{\vec {s}}_{2}+\cdots +c_{n}{\vec {s}}_{n}$，其中每个 ${\vec {s}}_{i}\in S$ 且 $c_{i}\in \mathbb {R}$，因此 ${\vec {0}}=c_{1}{\vec {s}}_{1}+c_{2}{\vec {s}}_{2}+\cdots +c_{n}{\vec {s}}_{n}+(-1){\vec {v}}$ 是 $S\cup \{{\vec {v}}\}$ 中元素的非平凡线性关系。

另一个推论需要假设$S$是线性无关的。如果$S\cup \{{\vec {v}}\}$线性相关，那么存在非平凡的线性关系$c_{0}{\vec {v}}+c_{1}{\vec {s}}_{1}+c_{2}{\vec {s}}_{2}+\cdots +c_{n}{\vec {s}}_{n}={\vec {0}}$，而$S$的线性无关性意味着$c_{0}\neq 0$，否则这将是$S$成员之间的非平凡关系。现在将该等式改写为${\vec {v}}=-(c_{1}/c_{0}){\vec {s}}_{1}-\dots -(c_{n}/c_{0}){\vec {s}}_{n}$表明${\vec {v}}\in [S]$。

(将此结果与引理 1.1进行比较。两者大致都表示，如果${\vec {v}}$在$S$的跨度中，那么它是一个“重复”。但是，请注意这里关于线性无关性的额外假设。）

推论 1.17

向量空间的子集$S=\{{\vec {s}}_{1},\dots ,{\vec {s}}_{n}\}$线性相关当且仅当某些${\vec {s_{i}}}$是向量${\vec {s}}_{1}$，...，${\vec {s}}_{i-1}$的线性组合，这些向量都在它之前列出。

证明

考虑 $S_{0}=\{\}$，$S_{1}=\{{\vec {s_{1}}}\}$，$S_{2}=\{{\vec {s}}_{1},{\vec {s}}_{2}\}$，等等。某个索引 $i\geq 1$ 是第一个使得 $S_{i-1}\cup \{{\vec {s}}_{i}\}$ 线性相关的，并且在那里 ${\vec {s}}_{i}\in [S_{i-1}]$。

引理 1.16 可以用独立性而不是依赖性来重新表述：如果 $S$ 线性无关且 ${\vec {v}}\not \in S$，则集合 $S\cup \{{\vec {v}}\}$ 也线性无关，当且仅当 ${\vec {v}}\not \in [S].$ 应用 引理 1.1，我们得出结论：如果 $S$ 线性无关且 ${\vec {v}}\not \in S$，则 $S\cup \{{\vec {v}}\}$ 也线性无关，当且仅当 $[S\cup \{{\vec {v}}\}]\neq [S]$。简单来说，当从 $S$ 转换为超集 $S_{1}$ 时，为了保持线性无关性，我们必须扩展其生成空间 $[S_{1}]\supset [S]$。

示例 1.15 表明，一些线性无关集是极大的——具有尽可能多的元素——因为它们没有线性无关的超集。根据上一段，一个线性无关集是极大的，当且仅当它生成整个空间，因为这样就不会存在不在其生成空间内的向量。

此表总结了独立性和依赖性的性质以及子集和超集关系之间的相互作用。

	$S_{1}\subset S$	$S_{1}\supset S$
$S$ 线性无关	$S_{1}$ 必须线性无关 $S_{1}$ 可能任一 $S_{1}$ 可能任一 $S_{1}$ 必须线性相关
$S$ 线性相关

在构建这个表时，我们发现了线性无关性和生成空间之间的密切关系。补充了生成集是极小的，当且仅当它线性无关这一事实，一个线性无关集是极大的，当且仅当它生成整个空间。

总之，我们引入了线性无关性的定义来形式化生成集的最小性。我们已经开发了一些关于这种想法的性质。其中最重要的性质是 引理 1.16，它告诉我们一个线性无关集在生成整个空间时是极大的。

练习

建议所有读者完成此练习。

问题 1

判断$\mathbb {R} ^{3}$ 的每个子集是线性相关还是线性无关。

1. $\{{\begin{pmatrix}1\\-3\\5\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}4\\-4\\14\end{pmatrix}}\}$
2. $\{{\begin{pmatrix}1\\7\\7\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\7\\7\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\7\\7\end{pmatrix}}\}$
3. $\{{\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\4\end{pmatrix}}\}$
4. $\{{\begin{pmatrix}9\\9\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\5\\-4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}12\\12\\-1\end{pmatrix}}\}$

建议所有读者完成此练习。

问题 2

这些${\mathcal {P}}_{3}$ 的子集哪些是线性相关的，哪些是线性无关的？

1. $\{3-x+9x^{2},5-6x+3x^{2},1+1x-5x^{2}\}$
2. $\{-x^{2},1+4x^{2}\}$
3. $\{2+x+7x^{2},3-x+2x^{2},4-3x^{2}\}$
4. $\{8+3x+3x^{2},x+2x^{2},2+2x+2x^{2},8-2x+5x^{2}\}$

建议所有读者完成此练习。

问题 3

证明每个集合 $\{f,g\}$ 在所有从 $\mathbb {R} ^{+}$ 到 $\mathbb {R}$ 的函数向量空间中是线性无关的。

1. $f(x)=x$ 以及 $g(x)=1/x$
2. $f(x)=\cos(x)$ 以及 $g(x)=\sin(x)$
3. $f(x)=e^{x}$ 以及 $g(x)=\ln(x)$

建议所有读者完成此练习。

问题 4

以下哪些实值单变量函数空间的子集是线性相关的，哪些是线性无关的？ （注意，我们对一些常数函数进行了简写；例如，在第一个项目中，“$2$" 代表常数函数 $f(x)=2$。）

1. $\{2,4\sin ^{2}(x),\cos ^{2}(x)\}$
2. $\{1,\sin(x),\sin(2x)\}$
3. $\{x,\cos(x)\}$
4. $\{(1+x)^{2},x^{2}+2x,3\}$
5. $\{\cos(2x),\sin ^{2}(x),\cos ^{2}(x)\}$
6. $\{0,x,x^{2}\}$

问题 5

方程 $\sin ^{2}(x)/\cos ^{2}(x)=\tan ^{2}(x)$ 说明这组函数 $\{\sin ^{2}(x),\cos ^{2}(x),\tan ^{2}(x)\}$ 是所有定义域为区间 $(-\pi /2..\pi /2)$ 的所有实值函数的线性相关子集，该区间包含介于 $-\pi /2$ 和 $\pi /2$ 之间的实数？

问题 6

为什么 引理 1.4 中说“不同”？

建议所有读者完成此练习。

问题 7

证明阶梯型矩阵的非零行构成一个线性无关集。

建议所有读者完成此练习。

问题 8

1. 证明如果集合 $\{{\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}\}$ 是线性无关集，那么集合 $\{{\vec {u}},{\vec {u}}+{\vec {v}},{\vec {u}}+{\vec {v}}+{\vec {w}}\}$ 也是线性无关集。
2. 集合 $\{{\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}\}$ 的线性无关性或相关性与集合 $\{{\vec {u}}-{\vec {v}},{\vec {v}}-{\vec {w}},{\vec {w}}-{\vec {u}}\}$ 的无关性或相关性之间的关系是什么？

问题 9

示例 1.10 说明空集是线性无关的。

1. 一个元素的集合什么时候是线性无关的？
2. 两个元素的集合呢？

问题 10

在任何向量空间 $V$ 中，空集是线性无关的。整个 $V$ 呢？

问题 11

证明如果 $\{{\vec {x}},{\vec {y}},{\vec {z}}\}$ 线性无关，那么它的所有真子集： $\{{\vec {x}},{\vec {y}}\}$， $\{{\vec {x}},{\vec {z}}\}$， $\{{\vec {y}},{\vec {z}}\}$， $\{{\vec {x}}\}$，$\{{\vec {y}}\}$， $\{{\vec {z}}\}$ 以及 $\{\}$ 都是线性无关的。那么反过来是否也成立呢？

问题 12

1. 证明：

   $S=\{{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}}\}$

   是 $\mathbb {R} ^{3}$ 的一个线性无关子集。
2. 证明：

   ${\begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix}}$

   在 $S$ 的生成空间中，通过找到 $c_{1}$ 和 $c_{2}$，得到一个线性关系。

   $c_{1}{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix}}$

   证明该对 $c_{1},c_{2}$ 是唯一的。
3. 假设 $S$ 是向量空间的一个子集，并且 ${\vec {v}}$ 在 $[S]$ 中，因此 ${\vec {v}}$ 是 $S$ 中向量的一个线性组合。证明如果 $S$ 是线性无关的，那么 $S$ 中向量加起来等于 ${\vec {v}}$ 的线性组合是唯一的（即，除了重新排序和添加或删除 $0\cdot {\vec {s}}$ 形式的项之外）。因此，$S$ 作为生成集在这种强意义上是最小的：$[S]$ 中的每个向量都被“命中”最少的次数——只有一次。
4. 证明当 $S$ 不是线性无关时，不同的线性组合可以加起来得到相同的向量。

问题 13

证明一个多项式只有当它是零多项式时才会生成零函数。（评论。这个问题不是线性代数的问题，但我们经常使用这个结果。多项式以显而易见的方式生成函数：$x\mapsto c_{n}x^{n}+\dots +c_{1}x+c_{0}$。）

问题 14

回到第 1.2 节，重新定义点、线、平面和其他线性曲面以避免退化情况。

问题 15

1. 证明 $\mathbb {R} ^{2}$ 中的任何四个向量集都是线性相关的。
2. 这对任何五个向量集都成立吗？任何三个向量集都成立吗？
3. $\mathbb {R} ^{2}$ 的线性无关子集最多可以包含多少个元素？

建议所有读者完成此练习。

问题 16

$\mathbb {R} ^{3}$ 中是否存在四个向量集，其中任意三个向量都形成一个线性无关集？

问题 17

每个线性相关集是否都必须有一个依赖的子集和一个独立的子集？

问题 18

在 $\mathbb {R} ^{4}$ 中，你能找到的最大线性无关集是什么？最小的呢？最大线性相关集呢？最小的呢？（“最大”和“最小”是指不存在具有相同属性的超集或子集。）

建议所有读者完成此练习。

问题 19

线性无关和线性相关是集合的性质。因此，我们可以自然地问这些性质如何相对于熟悉的初等集合关系和运算起作用。在本节的正文中，我们已经涵盖了子集和超集关系。我们还可以考虑交集、补集和并集的运算。

1. 线性无关如何与交集相关：线性无关集的交集可以是无关的吗？必须是吗？
2. 线性无关如何与补集相关？
3. 证明两个线性无关集的并集不一定是线性无关的。
4. 用每个集合的跨度的交集来描述两个线性无关集的并集何时是线性无关的。

建议所有读者完成此练习。

问题 20

对于定理 1.12，

1. 填写证明中的归纳法；
2. 给出另一种证明，从空集开始，构建给定有限集的线性无关子集的序列，直到出现一个与给定集合具有相同跨度的子集。

问题 21

通过一些计算，我们可以得到公式来确定一组向量是否线性无关。

1. 证明$\mathbb {R} ^{2}$的这个子集

   $\{{\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}b\\d\end{pmatrix}}\}$

   线性无关当且仅当 $ad-bc\neq 0$.
2. 证明$\mathbb {R} ^{3}$的这个子集

   $\{{\begin{pmatrix}a\\d\\g\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}b\\e\\h\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}c\\f\\i\end{pmatrix}}\}$

   线性无关当且仅当 $aei+bfg+cdh-hfa-idb-gec\neq 0$.
3. 何时$\mathbb {R} ^{3}$的这个子集

   $\{{\begin{pmatrix}a\\d\\g\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}b\\e\\h\end{pmatrix}}\}$

   线性无关？
4. 这是一个意见问题：对于来自$\mathbb {R} ^{4}$的四个向量集，必须存在一个涉及十六个条目的公式来确定该集的独立性吗？（你不需要给出这样的公式，只需要判断是否存在这样的公式。）

建议所有读者完成此练习。

问题 22

1. 证明来自$\mathbb {R} ^{n}$的两个非零正交向量集在线性无关，当 $n>1$.
2. 如果 $n=1$？ $n=0$？
3. 推广到两个以上的向量。

问题 23

考虑从开区间 $(-1..1)$ 到 $\mathbb {R}$的函数集。

1. 证明该集合在通常的运算下是一个向量空间。
2. 回忆无限等比数列的求和公式：$1+x+x^{2}+\cdots =1/(1-x)$ 对于所有 $x\in (-1..1)$。为什么这在集合 $\{g(x)=1/(1-x),f_{0}(x)=1,f_{1}(x)=x,f_{2}(x)=x^{2},\ldots \}$ 内表达一种依赖关系？（提示：回顾线性组合的定义。）
3. 证明上一个项目中的集合是线性无关的。

这表明一些向量空间存在线性无关的无限子集。

问题 24

证明，当 $S$ 是 $V$ 的子空间时，如果 $S$ 的子集 $T$ 在 $S$ 中是线性无关的，那么 $T$ 在 $V$ 中也是线性无关的。这是否是一个“充分必要条件”?

解答