- 问题 1
对于

检查
.
- 解答
一种解决方法是从左到右。

- 建议所有读者完成此练习。
- 问题 3
证明这些矩阵不相似。

- 解答
高斯消元法表明,第一个矩阵代表秩为二的映射,而第二个矩阵代表秩为三的映射。
- 问题 4
考虑变换
,其描述为
、
和
。
- 求
,其中
。 - 求
,其中
。 - 求矩阵
,使得
。
- 解答
- 因为
用
的成员来描述,所以求矩阵表示很容易。
给出如下结果。
- 我们将找到
,
和
,以找到它们分别如何相对于
表示。我们知道
,另外两个很容易看出来:
和
。我们可以直接得到每个向量的表示
因此,映射的表示为。
- 该图适用于此
和
,
表明
.
- 建议所有读者完成此练习。
- 问题 5
用这种方式展示一个非平凡的相似关系:令
作用于

并选择两个基,并表示
关于它们
和
。然后计算
和
来改变从
到
的基以及返回。
- 解答
基的一个可能的选择是

(这个
是映射描述所建议的)。为了找到矩阵
,求解关系

得到
,
,
以及
.

寻找
涉及更多计算。我们首先找到
。关系

给出
以及
,所以

使得

因此
对第一个基向量
的作用方式如下。

对
的计算类似。关系

得出
和
,因此

使得

因此
作用于第二个基向量
的方式如下。

因此

以及这些是基变更矩阵。

对这些计算进行检查是例行的。

- 问题 6
用映射解释 示例 1.3。
- 解答
零映射的唯一表示是零矩阵,无论基底对
是什么,特别地,对于任何单个基底
,我们有
。恒等映射的情况是相关的,但略有不同:恒等映射的唯一表示,相对于任何
,是恒等矩阵
。(注:当然,我们已经看到一些例子,其中
并且
——事实上,我们已经看到,任何非奇异矩阵都是恒等映射相对于某个
的表示。)
- 建议所有读者完成此练习。
- 建议所有读者完成此练习。
- 问题 8
证明如果两个矩阵相似,并且其中一个是可逆的,则另一个也是可逆的。
- 解答
矩阵相似是矩阵等价的一个特例(如果矩阵相似,则它们是矩阵等价的),而矩阵等价保持非奇异性。(这是相似矩阵具有相同行列式的规则的扩展,可以用来作为可逆性的指标。)
- 建议所有读者完成此练习。
- 问题 10
考虑一个矩阵,它表示关于某个
,在
中关于
轴的反射。 也考虑一个矩阵,它表示关于某个
,关于
轴的反射。 它们必须相似吗?
- 解答
令
和
为反射映射(有时称为“翻转”)。 对于任何基底
和
,矩阵
和
是相似的。 首先注意到

是相似的,因为第二个矩阵是关于基底
表示的
。

其中
.

现在,结论来自于问题 9的传递性部分。
为了不依赖于该练习,写下 

因此矩阵
和
是相似的。
- 问题 11
证明相似性保持行列式和秩。反之是否成立?
- 解答
我们必须证明,如果两个矩阵相似,那么它们具有相同的行列式和相同的秩。行列式和秩都是矩阵的性质,我们已经证明它们在矩阵等价下保持不变。因此,它们在相似性(它是矩阵等价的一个特例:如果两个矩阵相似,那么它们是矩阵等价的)下保持不变。
为了证明该陈述而不引用关于矩阵等价的结果,首先要注意秩是映射的性质(它是值域的维数),并且由于我们已经证明映射的秩是表示的秩,因此它对于所有表示都必须相同。至于行列式,
.
该陈述的反之不成立;例如,存在行列式相同的矩阵,但它们并不相似。为了验证这一点,考虑一个行列式为零的非零矩阵。它与零矩阵不相似,零矩阵仅与其自身相似,但它们具有相同的行列式。秩的论证大体相同。
- 建议所有读者完成此练习。
- 建议所有读者完成此练习。
- 问题 17
相似性是否保持求和?
- 解答
否。这里有一个例子,其中有两对,每对都是两个相似的矩阵

和

(这个例子大部分是任意的,但并非完全如此,因为两个左侧的中心矩阵加起来等于零矩阵)。需要注意的是,这些相似矩阵的和并不相似。

因为零矩阵只与自身相似。
- Halmos, Paul P. (1958), Finite Dimensional Vector Spaces (第二版), Van Nostrand.