线性代数/相似性的定义和例子/解答

解答

问题 1

对于

$S={\begin{pmatrix}1&3\\-2&-6\end{pmatrix}}\quad T={\begin{pmatrix}0&0\\-11/2&-5\end{pmatrix}}\quad P={\begin{pmatrix}4&2\\-3&2\end{pmatrix}}$

检查$T=PSP^{-1}$.

解答

一种解决方法是从左到右。

$PSP^{-1}={\begin{pmatrix}4&2\\-3&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&3\\-2&-6\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2/14&-2/14\\3/14&4/14\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\-7&-21\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2/14&-2/14\\3/14&4/14\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\-11/2&-5\end{pmatrix}}$

建议所有读者完成此练习。

问题 2

例 1.3表明，唯一与零矩阵相似的矩阵是它本身，唯一与单位矩阵相似的矩阵是它本身。

1. 证明$1\!\times \!1$矩阵$(2)$也只与其自身相似。
2. 形式为$cI$的矩阵（其中$c$是某个标量）是否也只与其自身相似？
3. 对角矩阵是否只与其自身相似？

解答

1. 因为矩阵$(2)$ 是$1\!\times \!1$，矩阵$P$ 和$P^{-1}$ 也是$1\!\times \!1$，因此当$P=(p)$ 时，逆矩阵为$P^{-1}=(1/p)$。因此$P(2)P^{-1}=(p)(2)(1/p)=(2)$。
2. 是的：回想一下，标量倍数可以从矩阵中提出$P(cI)P^{-1}=cPIP^{-1}=cI$。顺便说一下，零矩阵和单位矩阵是$c=0$ 和$c=1$ 的特例。
3. 不，正如这个例子所示。

   ${\begin{pmatrix}1&-2\\-1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&-2\\-1&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-5&-4\\2&1\end{pmatrix}}$

问题 3

证明这些矩阵不相似。

${\begin{pmatrix}1&0&4\\1&1&3\\2&1&7\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\3&1&2\end{pmatrix}}$

解答

高斯消元法表明，第一个矩阵代表秩为二的映射，而第二个矩阵代表秩为三的映射。

问题 4

考虑变换 $t:{\mathcal {P}}_{2}\to {\mathcal {P}}_{2}$，其描述为 $x^{2}\mapsto x+1$、$x\mapsto x^{2}-1$ 和 $1\mapsto 3$。

1. 求 $T={\rm {Rep}}_{B,B}(t)$，其中 $B=\langle x^{2},x,1\rangle$。
2. 求 $S={\rm {Rep}}_{D,D}(t)$，其中 $D=\langle 1,1+x,1+x+x^{2}\rangle$。
3. 求矩阵 $P$，使得 $T=PSP^{-1}$。

解答

1. 因为 $t$ 用 $B$ 的成员来描述，所以求矩阵表示很容易。

   ${\rm {Rep}}_{B}(t(x^{2}))={\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}}_{B}\quad {\rm {Rep}}_{B}(t(x))={\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}_{B}\quad {\rm {Rep}}_{B}(t(1))={\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}}_{B}$

   给出如下结果。

   ${\rm {Rep}}_{B,B}(t){\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\1&-1&3\end{pmatrix}}$

2. 我们将找到$t(1)$，$t(1+x)$ 和 $t(1+x+x^{2})$，以找到它们分别如何相对于 $D$ 表示。我们知道 $t(1)=3$，另外两个很容易看出来：$t(1+x)=x^{2}+2$ 和 $t(1+x+x^{2})=x^{2}+x+3$。我们可以直接得到每个向量的表示

   ${\rm {Rep}}_{D}(t(1))={\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}}_{D}\quad {\rm {Rep}}_{D}(t(1+x))={\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}}_{D}\quad {\rm {Rep}}_{D}(t(1+x+x^{2}))={\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}}_{D}$

   因此，映射的表示为。

   ${\rm {Rep}}_{D,D}(t)={\begin{pmatrix}3&2&2\\0&-1&0\\0&1&1\end{pmatrix}}$

3. 该图适用于此 $T$ 和 $S$，

   

   表明 $P={\rm {Rep}}_{D,B}({\mbox{id}})$.

   $P={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}}$

建议所有读者完成此练习。

问题 5

用这种方式展示一个非平凡的相似关系：令 $t:\mathbb {C} ^{2}\to \mathbb {C} ^{2}$ 作用于

${\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}}$

并选择两个基，并表示 $t$ 关于它们 $T={\rm {Rep}}_{B,B}(t)$ 和 $S={\rm {Rep}}_{D,D}(t)$。然后计算 $P$ 和 $P^{-1}$ 来改变从 $B$ 到 $D$ 的基以及返回。

解答

基的一个可能的选择是

$B=\langle {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}\rangle \qquad D={\mathcal {E}}_{2}=\langle {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\rangle$

（这个 $B$ 是映射描述所建议的）。为了找到矩阵 $T={\rm {Rep}}_{B,B}(t)$，求解关系

$c_{1}{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}}\qquad {\hat {c}}_{1}{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}+{\hat {c}}_{2}{\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}}$

得到 $c_{1}=1$, $c_{2}=-2$, ${\hat {c}}_{1}=1/3$ 以及 ${\hat {c}}_{2}=4/3$.

${\rm {Rep}}_{B,B}(t)={\begin{pmatrix}1&1/3\\-2&4/3\end{pmatrix}}$

寻找 ${\rm {Rep}}_{D,D}(t)$ 涉及更多计算。我们首先找到 $t({\vec {e}}_{1})$。关系

$c_{1}{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$

给出 $c_{1}=1/3$ 以及 $c_{2}=-2/3$，所以

${\rm {Rep}}_{B}({\vec {e}}_{1})={\begin{pmatrix}1/3\\-2/3\end{pmatrix}}_{B}$

使得

${\rm {Rep}}_{B}(t({\vec {e}}_{1}))={\begin{pmatrix}1&1/3\\-2&4/3\end{pmatrix}}_{B,B}{\begin{pmatrix}1/3\\-2/3\end{pmatrix}}_{B}={\begin{pmatrix}1/9\\-14/9\end{pmatrix}}_{B}$

因此 $t$ 对第一个基向量 ${\vec {e}}_{1}$ 的作用方式如下。

$t({\vec {e}}_{1})=(1/9)\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}-(14/9)\cdot {\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5/3\\-4/3\end{pmatrix}}$

对 $t({\vec {e}}_{2})$ 的计算类似。关系

$c_{1}{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$

得出 $c_{1}=1/3$ 和 $c_{2}=1/3$，因此

${\rm {Rep}}_{B}({\vec {e}}_{1})={\begin{pmatrix}1/3\\1/3\end{pmatrix}}_{B}$

使得

${\rm {Rep}}_{B}(t({\vec {e}}_{1}))={\begin{pmatrix}1&1/3\\-2&4/3\end{pmatrix}}_{B,B}{\begin{pmatrix}1/3\\1/3\end{pmatrix}}_{B}={\begin{pmatrix}4/9\\-2/9\end{pmatrix}}_{B}$

因此 $t$ 作用于第二个基向量 ${\vec {e}}_{2}$ 的方式如下。

$t({\vec {e}}_{2})=(4/9)\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}-(2/9)\cdot {\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2/3\\2/3\end{pmatrix}}$

因此

${\rm {Rep}}_{D,D}(t)={\begin{pmatrix}5/3&2/3\\-4/3&2/3\end{pmatrix}}$

以及这些是基变更矩阵。

$P={\rm {Rep}}_{B,D}({\mbox{id}})={\begin{pmatrix}1&-1\\2&1\end{pmatrix}}\qquad P^{-1}={\bigl (}{\rm {Rep}}_{B,D}({\mbox{id}}){\bigr )}^{-1}={\begin{pmatrix}1&-1\\2&1\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}1/3&1/3\\-2/3&1/3\end{pmatrix}}$

对这些计算进行检查是例行的。

${\begin{pmatrix}1&-1\\2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1/3\\-2&4/3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1/3&1/3\\-2/3&1/3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5/3&2/3\\-4/3&2/3\end{pmatrix}}$

问题 6

用映射解释 示例 1.3。

解答

零映射的唯一表示是零矩阵，无论基底对 ${\rm {Rep}}_{B,D}(z)=Z$ 是什么，特别地，对于任何单个基底 $B$，我们有 ${\rm {Rep}}_{B,B}(z)=Z$。恒等映射的情况是相关的，但略有不同：恒等映射的唯一表示，相对于任何 $B,B$，是恒等矩阵 ${\rm {Rep}}_{B,B}({\mbox{id}})=I$。（注：当然，我们已经看到一些例子，其中 $B\neq D$ 并且 ${\rm {Rep}}_{B,D}({\mbox{id}})\neq I$——事实上，我们已经看到，任何非奇异矩阵都是恒等映射相对于某个 $B,D$ 的表示。）

建议所有读者完成此练习。

问题 7

是否存在两个矩阵 $A$ 和 $B$ 它们相似，而 $A^{2}$ 和 $B^{2}$ 不相似？（Halmos 1958)

解答

不。如果 $A=PBP^{-1}$，则 $A^{2}=(PBP^{-1})(PBP^{-1})=PB^{2}P^{-1}$。

建议所有读者完成此练习。

问题 8

证明如果两个矩阵相似，并且其中一个是可逆的，则另一个也是可逆的。

解答

矩阵相似是矩阵等价的一个特例（如果矩阵相似，则它们是矩阵等价的），而矩阵等价保持非奇异性。（这是相似矩阵具有相同行列式的规则的扩展，可以用来作为可逆性的指标。）

建议所有读者完成此练习。

问题 9

证明相似性是一种等价关系。

解答

一个矩阵与其自身相似；取 $P$ 为单位矩阵：$IPI^{-1}=IPI=P$。

如果 $T$ 与 $S$ 相似，则 $T=PSP^{-1}$，因此 $P^{-1}TP=S$。将此改写为 $S=(P^{-1})T(P^{-1})^{-1}$，可以得出结论 $S$ 与 $T$ 相似。

如果 $T$ 与 $S$ 相似，并且 $S$ 与 $U$ 相似，则 $T=PSP^{-1}$ 并且 $S=QUQ^{-1}$。然后 $T=PQUQ^{-1}P^{-1}=(PQ)U(PQ)^{-1}$，表明 $T$ 与 $U$ 相似。

问题 10

考虑一个矩阵，它表示关于某个 $B,B$，在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中关于 $x$ 轴的反射。 也考虑一个矩阵，它表示关于某个 $D,D$，关于 $y$ 轴的反射。 它们必须相似吗？

解答

令 $f_{x}$ 和 $f_{y}$ 为反射映射（有时称为“翻转”）。 对于任何基底 $B$ 和 $D$，矩阵 ${\rm {Rep}}_{B,B}(f_{x})$ 和 ${\rm {Rep}}_{D,D}(f_{y})$ 是相似的。 首先注意到

$S={\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}}(f_{x})={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\qquad T={\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}}(f_{y})={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

是相似的，因为第二个矩阵是关于基底 $A=\langle {\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{1}\rangle$ 表示的 $f_{x}$。

${\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}=P{\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}P^{-1}$

其中 $P={\rm {Rep}}_{A,{\mathcal {E}}_{2}}({\mbox{id}})$.

现在，结论来自于问题 9的传递性部分。

为了不依赖于该练习，写下 ${\rm {Rep}}_{B,B}(f_{x})=QTQ^{-1}=Q{\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}}(f_{x})Q^{-1}$${\rm {Rep}}_{B,B}(f_{x})=QP{\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}}(f_{y})P^{-1}Q^{-1}$

$=QPR^{-1}\cdot {\rm {Rep}}_{D,D}(f_{y})\cdot RP^{-1}Q^{-1}=(QPR^{-1})\cdot {\rm {Rep}}_{D,D}(f_{y})\cdot (QPR^{-1})^{-1}$

因此矩阵 ${\rm {Rep}}_{B,B}(f_{x})$ 和 ${\rm {Rep}}_{D,D}(f_{y})$ 是相似的。

问题 11

证明相似性保持行列式和秩。反之是否成立？

解答

我们必须证明，如果两个矩阵相似，那么它们具有相同的行列式和相同的秩。行列式和秩都是矩阵的性质，我们已经证明它们在矩阵等价下保持不变。因此，它们在相似性（它是矩阵等价的一个特例：如果两个矩阵相似，那么它们是矩阵等价的）下保持不变。

为了证明该陈述而不引用关于矩阵等价的结果，首先要注意秩是映射的性质（它是值域的维数），并且由于我们已经证明映射的秩是表示的秩，因此它对于所有表示都必须相同。至于行列式，$\left|PSP^{-1}\right|=\left|P\right|\cdot \left|S\right|\cdot \left|P^{-1}\right|=\left|P\right|\cdot \left|S\right|\cdot \left|P\right|^{-1}=\left|S\right|$.

该陈述的反之不成立；例如，存在行列式相同的矩阵，但它们并不相似。为了验证这一点，考虑一个行列式为零的非零矩阵。它与零矩阵不相似，零矩阵仅与其自身相似，但它们具有相同的行列式。秩的论证大体相同。

问题 12

是否存在一个矩阵等价类，其中只有一个矩阵相似类？是否存在一个具有无限多个相似类的矩阵等价类？

解答

包含所有 $n\!\times \!n$ 秩为零的矩阵的矩阵等价类，只包含一个矩阵，即零矩阵。因此，它作为子集只有一个相似类。

相反，秩为一的 $1\!\times \!1$ 矩阵的矩阵等价类由那些 $1\!\times \!1$ 矩阵 $(k)$ 组成，其中 $k\neq 0$。对于任何基 $B$，乘以标量 $k$ 的表示是 ${\rm {Rep}}_{B,B}(t_{k})=(k)$，因此每个这样的矩阵在其相似类中都是独立的。因此，这是一个矩阵等价类分裂成无限多个相似类的例子。

问题 13

两个不同的对角矩阵可以处于同一个相似类吗？

解答

是的，它们是相似的。

${\begin{pmatrix}1&0\\0&3\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}3&0\\0&1\end{pmatrix}}$

因为，其中第一个矩阵是 ${\rm {Rep}}_{B,B}(t)$，对于 $B=\langle {\vec {\beta }}_{1},{\vec {\beta }}_{2}\rangle$，第二个矩阵是 ${\rm {Rep}}_{D,D}(t)$，对于 $D=\langle {\vec {\beta }}_{2},{\vec {\beta }}_{1}\rangle$。

建议所有读者完成此练习。

问题 14

证明如果两个矩阵相似，则它们的 $k$ 次幂在 $k>0$ 时也是相似的。如果 $k\leq 0$ 会怎样？

解答

k 次幂是相似的，因为每个矩阵都代表了映射 $t$，k 次幂代表 $t^{k}$，即 k 个 $t$ 的复合。（例如，如果 $T=rep{t}{B,B}$，那么 $T^{2}={\rm {Rep}}_{B,B}(t\circ t)$。）

从计算的角度来说，如果 $T=PSP^{-1}$，那么 $T^{2}=(PSP^{-1})(PSP^{-1})=PS^{2}P^{-1}$。利用归纳法可以推广到所有次幂。

对于 $k\leq 0$ 的情况，假设 $S$ 是可逆的，并且 $T=PSP^{-1}$。注意到 $T$ 是可逆的：$T^{-1}=(PSP^{-1})^{-1}=PS^{-1}P^{-1}$，并且同一个公式表明 $T^{-1}$ 与 $S^{-1}$ 相似。其他负次幂由第一段给出。

建议所有读者完成此练习。

问题 15

设 $p(x)$ 为多项式 $c_{n}x^{n}+\cdots +c_{1}x+c_{0}$。证明如果 $T$ 与 $S$ 相似，则 $p(T)=c_{n}T^{n}+\cdots +c_{1}T+c_{0}I$ 与 $p(S)=c_{n}S^{n}+\cdots +c_{1}S+c_{0}I$ 相似。

解答

从概念上讲，两者都代表了 $p(t)$，对于某个变换 $t$。从计算的角度来看，我们有以下结论。

${\begin{array}{rl}p(T)&=c_{n}(PSP^{-1})^{n}+\dots +c_{1}(PSP^{-1})+c_{0}I\\&=c_{n}PS^{n}P^{-1}+\dots +c_{1}PSP^{-1}+c_{0}I\\&=Pc_{n}S^{n}P^{-1}+\dots +Pc_{1}SP^{-1}+Pc_{0}P^{-1}\\&=P(c_{n}S^{n}+\dots +c_{1}S+c_{0})P^{-1}\end{array}}$

问题 16

列出所有 $1\!\times \!1$ 矩阵的矩阵等价类。同样列出相似类，并描述每个矩阵等价类中包含哪些相似类。

解答

存在两个等价类，(i) 零秩矩阵类，只有一个矩阵：${\mathcal {C}}_{1}=\{(0)\}$，以及 (2) 一秩矩阵类，其中有无穷多个：${\mathcal {C}}_{2}=\{(k)\,{\big |}\,k\neq 0\}$.

每个 $1\!\times \!1$ 矩阵在其相似类中是单独存在的。这是因为任何一维空间的变换都是乘以一个标量 $t_{k}:V\to V$，由 ${\vec {v}}\mapsto k\cdot {\vec {v}}$ 给出。因此，对于任何基底 $B=\langle {\vec {\beta }}\rangle$，表示变换 $t_{k}$ 关于 $B,B$ 的矩阵是 $({\rm {Rep}}_{B}(t_{k}({\vec {\beta }})))=(k)$.

因此，包含在矩阵等价类 ${\mathcal {C}}_{1}$ 中的是（显然）由矩阵 $(0)$ 构成的单个相似类。并且，包含在矩阵等价类 ${\mathcal {C}}_{2}$ 中的是无穷多个，每个成员都是一个，由 $(k)$ 构成的相似类，其中 $k\neq 0$.

问题 17

相似性是否保持求和？

解答

否。这里有一个例子，其中有两对，每对都是两个相似的矩阵

${\begin{pmatrix}1&-1\\1&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2/3&1/3\\-1/3&1/3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5/3&-2/3\\-4/3&7/3\end{pmatrix}}$

和

${\begin{pmatrix}1&-2\\-1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&-2\\-1&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-5&-4\\2&1\end{pmatrix}}$

(这个例子大部分是任意的，但并非完全如此，因为两个左侧的中心矩阵加起来等于零矩阵）。需要注意的是，这些相似矩阵的和并不相似。

${\begin{pmatrix}1&0\\0&3\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}5/3&-2/3\\-4/3&7/3\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-5&-4\\2&1\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}$

因为零矩阵只与自身相似。

问题 18

证明如果 $T-\lambda I$ 和 $N$ 是相似矩阵，那么 $T$ 和 $N+\lambda I$ 也是相似的。

解答

如果 $N=P(T-\lambda I)P^{-1}$，那么 $N=PTP^{-1}-P(\lambda I)P^{-1}$。对角矩阵 $\lambda I$ 与任何矩阵都可交换，因此 $P(\lambda I)P^{-1}=PP^{-1}(\lambda I)=\lambda I$。因此 $N=PTP^{-1}-\lambda I$，因此 $N+\lambda I=PTP^{-1}$。（因此，它们不仅相似，实际上它们通过相同的 $P$ 相似）。

参考文献

• Halmos, Paul P. (1958), Finite Dimensional Vector Spaces (第二版), Van Nostrand.