线性代数/相似性的定义和例子

线性代数
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定义和例子

我们已经定义了 $H$ 和 ${\hat {H}}$ 是矩阵等价的，如果存在非奇异矩阵 $P$ 和 $Q$ 使得 ${\hat {H}}=PHQ$ 。这个定义是由下面的图所激发的

显示 $H$ 和 ${\hat {H}}$ 都表示 $h$ ，但它们是针对不同的基底对来表示的。我们现在将这种设置专门用于共域等于域，并且共域的基底等于域的基底的情况。

为了从左下角移动到右下角，我们可以直接横向移动，也可以向上、横向移动，然后再向下。用矩阵的术语来说，

{\rm {Rep}}_{D,D}(t)={\rm {Rep}}_{B,D}({\mbox{id}})\;{\rm {Rep}}_{B,B}(t)\;{\bigl (}{\rm {Rep}}_{B,D}({\mbox{id}}){\bigr )}^{-1}

（回想一下，像这样的复合表示是从右到左读的）。

定义 1.1

矩阵 $T$ 和 $S$ 是相似的，如果存在一个非奇异矩阵 $P$ 使得 $T=PSP^{-1}$ 。

由于非奇异矩阵是方阵，所以相似矩阵 $T$ 和 $S$ 必须是方阵且大小相同。

例 1.2

用这两个，

P={\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}\qquad S={\begin{pmatrix}2&-3\\1&-1\end{pmatrix}}

计算得出 $S$ 与该矩阵相似。

T={\begin{pmatrix}0&-1\\1&1\end{pmatrix}}

例 1.3

与零矩阵相似的唯一矩阵是它本身： $PZP^{-1}=PZ=Z$ 。与单位矩阵相似的唯一矩阵是它本身： $PIP^{-1}=PP^{-1}=I$ 。

由于矩阵相似是矩阵等价的特例，如果两个矩阵相似，那么它们是等价的。那么反过来呢：等价的方阵必须相似吗？答案是否定的。前面的例子表明，相似类不同于矩阵等价类，因为单位矩阵的矩阵等价类包含所有相同大小的非奇异矩阵。因此，例如，这两个矩阵是矩阵等价的，但不是相似的。

T={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\qquad S={\begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}}

因此，一些矩阵等价类被分成两个或多个相似类——相似性比等价性提供了更精细的划分。这幅图显示了一些矩阵等价类被细分为相似类。

为了理解相似关系，我们将研究相似类。我们用与研究行等价和矩阵等价关系相同的方式来解决这个问题，即为相似类的代表^[1]找到一个规范形式，称为约当形式。有了这个规范形式，我们可以通过检查两个矩阵是否简化为相同的代表来判断它们是否相似。我们还看到了行等价和矩阵等价，一个规范形式可以让我们洞察到同一类成员的相似之处（例如，两个大小相同的矩阵是矩阵等价的当且仅当它们具有相同的秩）。

练习

问题 1

对于

S={\begin{pmatrix}1&3\\-2&-6\end{pmatrix}}\quad T={\begin{pmatrix}0&0\\-11/2&-5\end{pmatrix}}\quad P={\begin{pmatrix}4&2\\-3&2\end{pmatrix}}

检查 $T=PSP^{-1}$ 。

建议所有读者完成此练习。

问题 2

例 1.3表明与零矩阵相似的唯一矩阵是它本身，与单位矩阵相似的唯一矩阵是它本身。

证明 $1\!\times \!1$ 矩阵 $(2)$ ，同样，也仅与其本身相似。
形式为 $cI$ 的矩阵，其中 $c$ 是标量，是否仅与其本身相似？
对角矩阵是否仅与其本身相似？

问题 3

证明这些矩阵不相似。

{\begin{pmatrix}1&0&4\\1&1&3\\2&1&7\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\3&1&2\end{pmatrix}}

问题 4

考虑变换 $t:{\mathcal {P}}_{2}\to {\mathcal {P}}_{2}$ ，由 $x^{2}\mapsto x+1$ ， $x\mapsto x^{2}-1$ 和 $1\mapsto 3$ 描述。

求 $T={\rm {Rep}}_{B,B}(t)$ ，其中 $B=\langle x^{2},x,1\rangle$ 。
求 $S={\rm {Rep}}_{D,D}(t)$ ，其中 $D=\langle 1,1+x,1+x+x^{2}\rangle$ 。
求矩阵 $P$ 使得 $T=PSP^{-1}$ 。

建议所有读者完成此练习。

问题 5

以这种方式展示一个非平凡的相似关系：令 $t:\mathbb {C} ^{2}\to \mathbb {C} ^{2}$ 通过以下方式作用

{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}}

选择两个基底，并分别以它们为基底表示 $t$ ，分别得到 $T={\rm {Rep}}_{B,B}(t)$ 和 $S={\rm {Rep}}_{D,D}(t)$ 。然后计算 $P$ 和 $P^{-1}$ ，以便将基底从 $B$ 转换到 $D$ ，然后再转换回来。

问题 6

用映射的概念解释示例 1.3。

建议所有读者完成此练习。

问题 7

是否存在两个相似矩阵 $A$ 和 $B$ ，而 $A^{2}$ 和 $B^{2}$ 不相似？（Halmos 1958）

建议所有读者完成此练习。

问题 8

证明如果两个矩阵相似并且其中一个可逆，那么另一个矩阵也是可逆的。

建议所有读者完成此练习。

问题 9

证明相似是一个等价关系。

问题 10

考虑一个矩阵，它相对于某个 $B,B$ 表示关于 $x$ 轴的反射变换，在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中。同样地，考虑一个矩阵，它相对于某个 $D,D$ 表示关于 $y$ 轴的反射变换。这两个矩阵一定相似吗？

问题 11

证明相似性保持行列式和秩。反之成立吗？

问题 12

是否存在一个矩阵等价类，其中只包含一个矩阵相似类？是否存在一个矩阵等价类，其中包含无穷多个矩阵相似类？

问题 13

两个不同的对角矩阵可以属于同一个相似类吗？

建议所有读者完成此练习。

问题 14

证明如果两个矩阵相似，那么当 $k>0$ 时，它们的 $k$ 次方也相似。如果 $k\leq 0$ 呢？

建议所有读者完成此练习。

问题 15

令 $p(x)$ 为多项式 $c_{n}x^{n}+\cdots +c_{1}x+c_{0}$ 。证明，如果 $T$ 与 $S$ 相似，则 $p(T)=c_{n}T^{n}+\cdots +c_{1}T+c_{0}I$ 与 $p(S)=c_{n}S^{n}+\cdots +c_{1}S+c_{0}I$ 。