线性代数/向量空间的定义和示例/解答

解答

问题 1

为每个向量空间命名零向量。

1. 在自然运算下三阶多项式空间
2. 空间 $2\!\times \!4$ 矩阵
3. 空间 $\{f:[0,1]\to \mathbb {R} \,{\big |}\,f{\text{ is continuous}}\}$
4. 一个自然数变量的实值函数空间

答案

1. $0+0x+0x^{2}+0x^{3}$
2. ${\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$
3. 常数函数 $f(x)=0$
4. 常数函数 $f(n)=0$

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问题 2

在向量空间中找出向量的加法逆。

1. 在 ${\mathcal {P}}_{3}$ 中，向量 $-3-2x+x^{2}$。
2. 在空间 $2\!\times \!2$ 中，

   ${\begin{pmatrix}1&-1\\0&3\end{pmatrix}}.$

3. 在 $\{ae^{x}+be^{-x}\,{\big |}\,a,b\in \mathbb {R} \}$ 中，实数变量 $x$ 的函数空间，在自然运算下，向量 $3e^{x}-2e^{-x}$。

答案

1. $3+2x-x^{2}$
2. ${\begin{pmatrix}-1&+1\\0&-3\end{pmatrix}}$
3. $-3e^{x}+2e^{-x}$

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问题 3

证明以下集合都是向量空间。

1. 在通常的多项式加法和标量乘法运算下，线性多项式集合 ${\mathcal {P}}_{1}=\{a_{0}+a_{1}x\,{\big |}\,a_{0},a_{1}\in \mathbb {R} \}$。
2. 在通常的矩阵运算下，实数元素的 $2\!\times \!2$ 矩阵集合。
3. 带有通常运算的三分量行向量集合。
4. 集合

   $L=\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{4}\,{\big |}\,x+y-z+w=0\}$

   在从 $\mathbb {R} ^{4}$ 继承的运算下。

答案

大多数条件很容易验证；可以参考 示例 1.3。以下是几点评论。

1. 这与 示例 1.3 类似；零元素是 $0+0x$。
2. 该空间的零元素是 $2\!\times \!2$ 零矩阵。
3. 零元素是零向量。
4. 加法封闭性涉及到注意和

   ${\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\\w_{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\\w_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}+x_{2}\\y_{1}+y_{2}\\z_{1}+z_{2}\\w_{1}+w_{2}\end{pmatrix}}$

   在 $L$ 中，因为 $(x_{1}+x_{2})+(y_{1}+y_{2})-(z_{1}+z_{2})+(w_{1}+w_{2})=(x_{1}+y_{1}-z_{1}+w_{1})+(x_{2}+y_{2}-z_{2}+w_{2})=0+0$。标量乘法的封闭性类似。注意零元素，即零向量，在 $L$ 中。

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问题 4

证明以下集合不是向量空间。（提示：从列出每个集合的两个成员开始。）

1. 在从 $\mathbb {R} ^{3}$ 继承的操作下，该集合

   $\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\,{\big |}\,x+y+z=1\}$

2. 在从 $\mathbb {R} ^{3}$ 继承的操作下，该集合

   $\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\,{\big |}\,x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\}$

3. 在通常的矩阵运算下，

   $\{{\begin{pmatrix}a&1\\b&c\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a,b,c\in \mathbb {R} \}$

4. 在通常的多项式运算下，

   $\{a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}\,{\big |}\,a_{0},a_{1},a_{2}\in \mathbb {R} ^{+}\}$

   其中 $\mathbb {R} ^{+}$ 是大于零的实数集合
5. 在继承的操作下，

   $\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}\,{\big |}\,x+3y=4{\text{ and }}2x-y=3{\text{ and }}6x+4y=10\}$

答案

在每个条目中，该集合被称为 $Q$。对于一些条目，还有其他正确的方法来证明 $Q$ 不是向量空间。

1. 它在加法下不封闭；它不满足条件 1。

   ${\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\in Q\qquad {\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}\not \in Q$

2. 它在加法下不封闭。

   ${\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\in Q\qquad {\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}\not \in Q$

3. 它在加法下不封闭。

   ${\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}}\in Q\qquad {\begin{pmatrix}1&2\\0&0\end{pmatrix}}\not \in Q$

4. 它在标量乘法下不封闭。

   $1+1x+1x^{2}\in Q\qquad -1\cdot (1+1x+1x^{2})\not \in Q$

5. 它是空的，违反条件 4。

问题 5

定义加法和标量乘法运算，使复数成为 $\mathbb {R}$ 上的向量空间。

答案

通常的运算 $(v_{0}+v_{1}i)+(w_{0}+w_{1}i)=(v_{0}+w_{0})+(v_{1}+w_{1})i$ 和 $r(v_{0}+v_{1}i)=(rv_{0})+(rv_{1})i$ 就足够了。检查很容易。

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问题 6

在通常的加法和标量乘法运算下，有理数集是 $\mathbb {R}$ 上的向量空间吗？

答案

不，它在标量乘法下不封闭，例如，$\pi \cdot 1$ 不是有理数。

问题 7

证明变量 $x,y,z$ 的线性组合的集合在自然加法和标量乘法运算下是一个向量空间。

答案

自然运算为 $(v_{1}x+v_{2}y+v_{3}z)+(w_{1}x+w_{2}y+w_{3}z)=(v_{1}+w_{1})x+(v_{2}+w_{2})y+(v_{3}+w_{3})z$ 和 $r\cdot (v_{1}x+v_{2}y+v_{3}z)=(rv_{1})x+(rv_{2})y+(rv_{3})z$。检查它是否是向量空间很容易；以 示例 1.3 作为指南。

问题 8

证明这不是一个向量空间：具有实数项的双高列向量集，服从这些运算。

${\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}-x_{2}\\y_{1}-y_{2}\end{pmatrix}}\qquad r\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}rx\\ry\end{pmatrix}}$

答案

“$+$”运算不满足交换律（即，条件 2 不满足）；生成两个见证此断言的集合成员很容易。

问题 9

证明或反驳 $\mathbb {R} ^{3}$ 在这些运算下是一个向量空间。

1. ${\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad r{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}rx\\ry\\rz\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad r{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$

答案

1. 这不是一个向量空间。

   $(1+1)\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$

2. 这不是一个向量空间。

   $1\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$

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问题 10

对于每个，判断它是否为向量空间；预期的运算为自然运算。

1. 对角 $2\!\times \!2$ 矩阵

   $\{{\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a,b\in \mathbb {R} \}$

2. 这组 $2\!\times \!2$ 矩阵

   $\{{\begin{pmatrix}x&x+y\\x+y&y\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x,y\in \mathbb {R} \}$

3. 这组

   $\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{4}\,{\big |}\,x+y+z+w=1\}$

4. 函数集 $\{f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \,{\big |}\,df/dx+2f=0\}$
5. 函数集 $\{f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \,{\big |}\,df/dx+2f=1\}$

答案

对于每个“是”答案，你必须检查向量空间定义中给出的所有条件。对于每个“否”答案，请给出违反其中一个条件的具体示例。

1. 是。
2. 是。
3. 否，它在加法下不封闭。所有 $1/4$'s 的向量，当加到它本身时，就会产生一个非成员。
4. 是。
5. 否，$f(x)=e^{-2x}+(1/2)$ 在这个集合中，但是 $2\cdot f$ 不在（即，条件 6 失败）。

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问题 11

证明或反驳，这是一个向量空间：实值函数 $f$ 的单个实变量，使得 $f(7)=0$。

答案

这是一个向量空间。向量空间定义中的大多数条件都是常规的；我们这里只检查封闭性。对于加法，$(f_{1}+f_{2})\,(7)=f_{1}(7)+f_{2}(7)=0+0=0$。对于标量乘法，$(r\cdot f)\,(7)=rf(7)=r0=0$。

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问题 12

证明集合 $\mathbb {R} ^{+}$ 的正实数，当 "$x+y$" 被解释为 $x$ 和 $y$ 的乘积（因此 $2+3$ 是 $6$），并且 "$r\cdot x$" 被解释为 $x$ 的 $r$ 次方。

答案

我们检查 定义 1.1。

首先，在“$+$" 下的封闭性成立，因为两个正实数的乘积是正实数。第二个条件满足，因为实数乘法是可交换的。类似地，由于实数乘法满足结合律，所以第三个条件也成立。对于第四个条件，观察到将一个数乘以 $1\in \mathbb {R} ^{+}$ 不会改变该数。第五，任何正实数都有一个倒数，该倒数也是正实数。

第六，在“$\cdot$" 下的封闭性成立，因为任何正实数的幂都是正实数。第七个条件只是 $v^{r+s}$ 等于 $v^{r}$ 和 $v^{s}$ 的乘积的规则。第八个条件表明 $(vw)^{r}=v^{r}w^{r}$。第九个条件断言 $(v^{r})^{s}=v^{rs}$。最后一个条件表明 $v^{1}=v$。

问题 13

在这些运算下，$\{(x,y)\,{\big |}\,x,y\in \mathbb {R} \}$ 是向量空间吗？

1. $(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})$ 和 $r\cdot (x,y)=(rx,y)$
2. $(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})$ 和 $r\cdot (x,y)=(rx,0)$

答案

1. 不：$1\cdot (0,1)+1\cdot (0,1)\neq (1+1)\cdot (0,1)$。
2. 不；与之前答案相同的计算显示了违反向量空间定义中的一个条件。另一个违反向量空间条件的例子是$1\cdot (0,1)\neq (0,1)$.

问题 14

证明或反证：度数大于或等于 2 的多项式集合，加上零多项式，是否是一个向量空间。

答案

它不是一个向量空间，因为它在加法下不封闭，因为$(x^{2})+(1+x-x^{2})$ 不在这个集合中。

问题 15

此时“相同”只是一个直觉，但对于每个向量空间，仍然需要确定$k$，使得该空间与$\mathbb {R} ^{k}$ “相同”。

1. 在通常运算下，$2\!\times \!3$ 矩阵
2. 在通常运算下，$n\!\times \!m$ 矩阵
3. 这组 $2\!\times \!2$ 矩阵

   $\{{\begin{pmatrix}a&0\\b&c\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a,b,c\in \mathbb {R} \}$

4. 这组 $2\!\times \!2$ 矩阵

   $\{{\begin{pmatrix}a&0\\b&c\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a+b+c=0\}$

答案

1. $6$
2. $nm$
3. $3$
4. 要看到答案是$2$，将其改写为

   $\{{\begin{pmatrix}a&0\\b&-a-b\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a,b\in \mathbb {R} \}$

   因此有两个参数。

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问题 16

使用${\vec {+}}$ 表示向量加法，使用$\,{\vec {\cdot }}\,$ 表示标量乘法，重新说明向量空间的定义。

答案

一个向量空间（在$\mathbb {R}$上）由一个集合$V$以及两个运算"${\mathbin {\vec {+}}}$" 和 "${\mathbin {\vec {\cdot }}}$" 组成，这些运算满足以下条件。其中${\vec {v}},{\vec {w}}\in V$,

1. 它们的向量和 ${\vec {v}}{\mathbin {\vec {+}}}{\vec {w}}$是$V$中的一个元素。如果${\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}\in V$，那么
2. ${\vec {v}}{\mathbin {\vec {+}}}{\vec {w}}={\vec {w}}{\mathbin {\vec {+}}}{\vec {v}}$，并且
3. $({\vec {v}}{\mathbin {\vec {+}}}{\vec {w}}){\mathbin {\vec {+}}}{\vec {u}}={\vec {v}}{\mathbin {\vec {+}}}({\vec {w}}{\mathbin {\vec {+}}}{\vec {u}})$.
4. 存在一个**零向量** ${\vec {0}}\in V$，使得对于所有 ${\vec {v}}\in V$ 都有 ${\vec {v}}{\mathbin {\vec {+}}}{\vec {0}}={\vec {v}}\,$。
5. 每个 ${\vec {v}}\in V$ 都有一个**加法逆元** ${\vec {w}}\in V$，使得 ${\vec {w}}{\mathbin {\vec {+}}}{\vec {v}}={\vec {0}}$。如果 $r,s$ 是**标量**，也就是说，它们是 $\mathbb {R}$ 的成员，并且 ${\vec {v}},{\vec {w}}\in V$，那么
6. 每个**标量倍数** $r\cdot {\vec {v}}$ 都在 $V$ 中。如果 $r,s\in \mathbb {R}$ 并且 ${\vec {v}},{\vec {w}}\in V$，那么
7. $(r+s)\cdot {\vec {v}}=r\cdot {\vec {v}}{\mathbin {\vec {+}}}s\cdot {\vec {v}}$，并且
8. $r{\mathbin {\vec {\cdot }}}({\vec {v}}+{\vec {w}})=r{\mathbin {\vec {\cdot }}}{\vec {v}}+r{\mathbin {\vec {\cdot }}}{\vec {w}}$，以及
9. $(rs){\mathbin {\vec {\cdot }}}{\vec {v}}=r{\mathbin {\vec {\cdot }}}(s{\mathbin {\vec {\cdot }}}{\vec {v}})$，以及
10. $1{\mathbin {\vec {\cdot }}}{\vec {v}}={\vec {v}}$.

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问题 17

证明这些。

1. 任何向量都是其自身加法逆元的加法逆元。
2. 向量加法左消去：如果 ${\vec {v}},{\vec {s}},{\vec {t}}\in V$，那么 ${\vec {v}}+{\vec {s}}={\vec {v}}+{\vec {t}}\,$ 意味着 ${\vec {s}}={\vec {t}}$。

答案

1. 设 $V$ 是一个向量空间，假设 ${\vec {v}}\in V$，并且假设 ${\vec {w}}\in V$ 是 ${\vec {v}}$ 的加法逆元，使得 ${\vec {w}}+{\vec {v}}={\vec {0}}$。由于加法满足交换律，所以 ${\vec {0}}={\vec {w}}+{\vec {v}}={\vec {v}}+{\vec {w}}$，因此 ${\vec {v}}$ 也是 ${\vec {w}}$ 的加法逆元。
2. 令 $V$ 为向量空间，并假设 ${\vec {v}},{\vec {s}},{\vec {t}}\in V$。${\vec {v}}$ 的加法逆元是 $-{\vec {v}}$，因此 ${\vec {v}}+{\vec {s}}={\vec {v}}+{\vec {t}}$ 意味着 $-{\vec {v}}+{\vec {v}}+{\vec {s}}=-{\vec {v}}+{\vec {v}}+{\vec {t}}$，这意味着 ${\vec {0}}+{\vec {s}}={\vec {0}}+{\vec {t}}$，因此 ${\vec {s}}={\vec {t}}$。

问题 18

向量空间的定义没有明确说明 ${\vec {0}}+{\vec {v}}={\vec {v}}$（它只说明 ${\vec {v}}+{\vec {0}}={\vec {v}}$）。证明或反驳它在任何向量空间中都必须成立。

答案

加法是可交换的，因此在任何向量空间中，对于任何向量 ${\vec {v}}$，我们有 ${\vec {v}}={\vec {v}}+{\vec {0}}={\vec {0}}+{\vec {v}}$。

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问题 19

证明或反驳，这是一个向量空间：所有矩阵的集合，在通常的操作下。

答案

它不是向量空间，因为大小不相同的两个矩阵的加法没有定义，因此该集合不满足封闭条件。

问题 20

在向量空间中，每个元素都有一个加法逆元。一些元素可以有两个或多个吗？

答案

向量空间的每个元素只有一个加法逆元。

令 $V$ 为向量空间，假设 ${\vec {v}}\in V$。如果 ${\vec {w}}_{1},{\vec {w}}_{2}\in V$ 都是 ${\vec {v}}$ 的加法逆元，那么考虑 ${\vec {w}}_{1}+{\vec {v}}+{\vec {w}}_{2}$。一方面，我们有它等于 ${\vec {w}}_{1}+({\vec {v}}+{\vec {w}}_{2})={\vec {w}}_{1}+{\vec {0}}={\vec {w}}_{1}$。另一方面，我们有它等于 $({\vec {w}}_{1}+{\vec {v}})+{\vec {w}}_{2}={\vec {0}}+{\vec {w}}_{2}={\vec {w}}_{2}$。因此，${\vec {w}}_{1}={\vec {w}}_{2}$.

问题 21

1. 证明 $\mathbb {R} ^{3}$ 中经过原点的每一点、直线或平面在继承的运算下都是向量空间。
2. 如果它不包含原点呢？

答案

1. 每个这样的集合都具有如下形式$\{r\cdot {\vec {v}}+s\cdot {\vec {w}}\,{\big |}\,r,s\in \mathbb {R} \}$，其中${\vec {v}},{\vec {w}}$ 可以是${\vec {0}}$ 中的一个或两个。继承的运算，加法的封闭性$(r_{1}{\vec {v}}+s_{1}{\vec {w}})+(r_{2}{\vec {v}}+s_{2}{\vec {w}})=(r_{1}+r_{2}){\vec {v}}+(s_{1}+s_{2}){\vec {w}}$ 和标量乘法$c(r{\vec {v}}+s{\vec {w}})=(cr){\vec {v}}+(cs){\vec {w}}$ 很容易验证。其他条件也是常规的。
2. 在继承的运算下，这样的集合不能构成向量空间，因为它没有零元素。

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问题 22

利用向量空间的概念，我们可以很容易地重新证明齐次线性方程组的解集要么只有一个元素，要么有无穷多个元素。假设${\vec {v}}\in V$ 不是${\vec {0}}$。

1. 证明$r\cdot {\vec {v}}={\vec {0}}$ 当且仅当 $r=0$。
2. 证明$r_{1}\cdot {\vec {v}}=r_{2}\cdot {\vec {v}}$ 当且仅当 $r_{1}=r_{2}$。
3. 证明任何非平凡向量空间都是无限的。
4. 利用非空齐次线性方程组的解集是一个向量空间这一事实得出结论。

答案

假设 ${\vec {v}}\in V$ 不是 ${\vec {0}}$.

1. 如果且仅如果的一个方向很明显：如果 $r=0$，那么 $r\cdot {\vec {v}}={\vec {0}}$。另一方面，设 $r$ 是一个非零标量。如果 $r{\vec {v}}={\vec {0}}$，那么 $1\cdot {\vec {v}}=(r/r)\cdot {\vec {v}}=(1/r)\cdot r{\vec {v}}=(1/r)\cdot {\vec {0}}$ 表明 ${\vec {v}}={\vec {0}}$，与假设相矛盾。
2. 其中 $r_{1},r_{2}$ 是标量，$r_{1}{\vec {v}}=r_{2}{\vec {v}}\,$ 成立，当且仅当 $(r_{1}-r_{2}){\vec {v}}={\vec {0}}$。根据上一条，那么 $r_{1}-r_{2}=0$.
3. 非平凡空间有一个向量 ${\vec {v}}\neq {\vec {0}}$。考虑集合 $\{k\cdot {\vec {v}}\,{\big |}\,k\in \mathbb {R} \}$。根据上一条，此集合是无限的。
4. 解集要么是平凡的，要么是非平凡的。在第二种情况下，它是无限的。

问题 23

在自然运算下，这是否是一个向量空间：一个实变量的实值函数，这些函数是可微的？

答案

是的。一元微积分的第一个学期定理指出，可微函数的和是可微的，并且$(f+g)^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }$，并且可微函数的倍数是可微的，并且$(r\cdot f)^{\prime }=r\,f^{\prime }$.

问题 24

复数上的向量空间 $\mathbb {C}$ 的定义与实数上的向量空间相同，只是标量是从 $\mathbb {C}$ 中获取的，而不是从 $\mathbb {R}$ 中获取的。证明以下每个都是复数上的向量空间。(回忆复数的加法和乘法：$(a_{0}+a_{1}i)+(b_{0}+b_{1}i)=(a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})i$ 并且 $(a_{0}+a_{1}i)(b_{0}+b_{1}i)=(a_{0}b_{0}-a_{1}b_{1})+(a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0})i$.)

1. 具有复系数的二次多项式集合
2. 这组

   $\{{\begin{pmatrix}0&a\\b&0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a,b\in \mathbb {C} {\text{ and }}a+b=0+0i\}$

答案

检查是例行的。注意“1”是 $1+0i$，零元素是这些。

1. $(0+0i)+(0+0i)x+(0+0i)x^{2}$
2. ${\begin{pmatrix}0+0i&0+0i\\0+0i&0+0i\end{pmatrix}}$

问题 25

命名一个所有 $\mathbb {R} ^{n}$'s 共有的性质，但它未被列为向量空间的要求。

答案

值得注意的是，向量空间的定义中没有距离度量。

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问题 26

1. 证明四个向量 ${\vec {v}}_{1},\ldots ,{\vec {v}}_{4}\in V$ 的总和可以通过任何方式进行组合，而不会改变结果。

   ${\begin{array}{rl}(({\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2})+{\vec {v}}_{3})+{\vec {v}}_{4}&=({\vec {v}}_{1}+({\vec {v}}_{2}+{\vec {v}}_{3}))+{\vec {v}}_{4}\\&=({\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2})+({\vec {v}}_{3}+{\vec {v}}_{4})\\&={\vec {v}}_{1}+(({\vec {v}}_{2}+{\vec {v}}_{3})+{\vec {v}}_{4})\\&={\vec {v}}_{1}+({\vec {v}}_{2}+({\vec {v}}_{3}+{\vec {v}}_{4}))\end{array}}$

   这使我们能够简单地写成 "${\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2}+{\vec {v}}_{3}+{\vec {v}}_{4}$"，而不会产生歧义。
2. 证明任意两个组合任意数量向量的总和的方式都会得到相同的总和。（提示：对向量数量使用归纳法。）

答案

1. 只需要进行一个小小的重排即可解决。

   ${\begin{array}{rl}({\vec {v}}_{1}+({\vec {v}}_{2}+{\vec {v}}_{3}))+{\vec {v}}_{4}&=(({\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2})+{\vec {v}}_{3})+{\vec {v}}_{4}\\&=({\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2})+({\vec {v}}_{3}+{\vec {v}}_{4})\\&={\vec {v}}_{1}+({\vec {v}}_{2}+({\vec {v}}_{3}+{\vec {v}}_{4}))\\&={\vec {v}}_{1}+(({\vec {v}}_{2}+{\vec {v}}_{3})+{\vec {v}}_{4})\end{array}}$

   上述每个等式都源于向量空间定义中给定的三个向量的结合律。例如，第二个 "$=$" 应用了规则 $({\vec {w}}_{1}+{\vec {w}}_{2})+{\vec {w}}_{3}={\vec {w}}_{1}+({\vec {w}}_{2}+{\vec {w}}_{3})$，通过将 ${\vec {w}}_{1}$ 取为 ${\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2}$，将 ${\vec {w}}_{2}$ 取为 ${\vec {v}}_{3}$，将 ${\vec {w}}_{3}$ 取为 ${\vec {v}}_{4}$.
2. 归纳法的基本情况是三个向量的情况。这种情况 ${\vec {v}}_{1}+({\vec {v}}_{2}+{\vec {v}}_{3})=({\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2})+{\vec {v}}_{3}$ 是向量空间定义对任何三个向量所要求的。对于归纳步骤，假设任何两个三个向量的和、任何两个四个向量的和、……、任何两个 $k$ 个向量的和，无论如何加括号，都是相等的。我们将证明任何 $k+1$ 个向量的和都等于这个 $((\cdots (({\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2})+{\vec {v}}_{3})+\cdots )+{\vec {v}}_{k})+{\vec {v}}_{k+1}$。任何加括号的和都有一个最外层的 "$+$"。假设它位于 ${\vec {v}}_{m}$ 和 ${\vec {v}}_{m+1}$ 之间，所以这个和看起来像这样。

   $(\cdots \,({\vec {v}}_{1}+(\cdots +{\vec {v}}_{m}))\,\cdots )+(\cdots \,({\vec {v}}_{m+1}+(\cdots +{\vec {v}}_{k+1}))\,\cdots )$

   后半部分涉及少于 $k+1$ 次加法，所以根据归纳假设，我们可以重新加括号使其从内到外从左到右读取，特别是，使其最外层的 "$+$" 出现在 ${\vec {v}}_{k+1}$ 之前。

   $=(\cdots \,({\vec {v}}_{1}+(\,\cdots \,+{\vec {v}}_{m}))\,\cdots )+(\cdots ({\vec {v}}_{m+1}+(\cdots +{\vec {v}}_{k})\cdots )+{\vec {v}}_{k+1})$

   应用三项和的结合律

   $=((\,\cdots \,({\vec {v}}_{1}+(\cdots +{\vec {v}}_{m})\,\cdots \,)+(\,\cdots \,({\vec {v}}_{m+1}+(\cdots \,{\vec {v}}_{k}))\cdots )+{\vec {v}}_{k+1}$

   最后，在这些最外层的括号内应用归纳假设。

问题 27

对于任何向量空间，一个自身在继承运算下是向量空间的子集（例如，在 $\mathbb {R} ^{3}$ 中的原点平面）是一个子空间。

1. 证明 $\{a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}\,{\big |}\,a_{0}+a_{1}+a_{2}=0\}$ 是二次多项式向量空间的子空间。
2. 证明这是 $2\!\times \!2$ 矩阵的子空间。

   $\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a+b=0\}$

3. 证明实向量空间的非空子集 $S$ 是子空间当且仅当它在向量对的线性组合下是封闭的：只要 $c_{1},c_{2}\in \mathbb {R}$ 且 ${\vec {s}}_{1},{\vec {s}}_{2}\in S$，则组合 $c_{1}{\vec {v}}_{1}+c_{2}{\vec {v}}_{2}$ 属于 $S$。

答案

1. 我们概述了从定义 1.1 检查条件。由于如果$a_{0}+a_{1}+a_{2}=0$ 并且 $b_{0}+b_{1}+b_{2}=0$，则

   $(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2})+(b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2})=(a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})x+(a_{2}+b_{2})x^{2}$

   在集合中，因为 $(a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})+(a_{2}+b_{2})=(a_{0}+a_{1}+a_{2})+(b_{0}+b_{1}+b_{2})$ 为零。第二个到第五个条件很容易。标量乘法的封闭性成立，因为如果 $a_{0}+a_{1}+a_{2}=0$，则

   $r\cdot (a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2})=(ra_{0})+(ra_{1})x+(ra_{2})x^{2}$

   在集合中，因为 $ra_{0}+ra_{1}+ra_{2}=r(a_{0}+a_{1}+a_{2})$ 为零。这里剩下的条件也很容易。
2. 这与前面的答案类似。
3. Call the vector space $V$. We have two implications: left to right, if $S$ is a subspace then it is closed under linear combinations of pairs of vectors and, right to left, if a nonempty subset is closed under linear combinations of pairs of vectors then it is a subspace. The left to right implication is easy; we here sketch the other one by assuming $S$ is nonempty and closed, and checking the conditions of Definition 1.1. First, to show closure under addition, if ${\vec {s}}_{1},{\vec {s}}_{2}\in S$ then ${\vec {s}}_{1}+{\vec {s}}_{2}\in S$ as ${\vec {s}}_{1}+{\vec {s}}_{2}=1\cdot {\vec {s}}_{1}+1\cdot {\vec {s}}_{2}$. Second, for any ${\vec {s}}_{1},{\vec {s}}_{2}\in S$, because addition is inherited from $V$, the sum ${\vec {s}}_{1}+{\vec {s}}_{2}$ in $S$ equals the sum ${\vec {s}}_{1}+{\vec {s}}_{2}$ in $V$ and that equals the sum ${\vec {s}}_{2}+{\vec {s}}_{1}$ in $V$ and that in turn equals the sum ${\vec {s}}_{2}+{\vec {s}}_{1}$ in $S$. The argument for the third condition is similar to that for the second. For the fourth, suppose that ${\vec {s}}$ is in the nonempty set $S$ and note that $0\cdot {\vec {s}}={\vec {0}}\in S$; showing that the ${\vec {0}}$ of $V$ acts under the inherited operations as the additive identity of $S$ is easy. The fifth condition is satisfied because for any ${\vec {s}}\in S$ closure under linear combinations shows that the vector $0\cdot {\vec {0}}+(-1)\cdot {\vec {s}}$ is in $S$; showing that it is the additive inverse of ${\vec {s}}$ under the inherited operations is routine. The proofs for the remaining conditions are similar.