线性代数/向量空间的定义和例子

定义 1.1

一个向量空间（在 $\mathbb {R}$ 上）包含一个集合 $V$ 以及两个运算“$+$”和“$\cdot$”，这些运算必须满足以下条件。

1. 对于任何 ${\vec {v}},{\vec {w}}\in V:{\vec {v}}+{\vec {w}}\in V$。
2. 对于任何 ${\vec {v}},{\vec {w}}\in V:{\vec {v}}+{\vec {w}}={\vec {w}}+{\vec {v}}$。
3. 对于任何 ${\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}\in V:({\vec {v}}+{\vec {w}})+{\vec {u}}={\vec {v}}+({\vec {w}}+{\vec {u}})$。
4. 存在一个零向量 ${\vec {0}}\in V$ 使得 ${\vec {v}}+{\vec {0}}={\vec {v}}$ 对于所有 ${\vec {v}}\in V$ 都成立。
5. 每个 ${\vec {v}}\in V$ 都有一个加法逆元 ${\vec {w}}\in V$，使得 ${\vec {w}}+{\vec {v}}={\vec {0}}$。
6. 如果 $r$ 是一个标量，也就是说，是 $\mathbb {R}$ 的成员，并且 ${\vec {v}}\in V$，那么标量倍数 $r\cdot {\vec {v}}$ 属于 $V$。
7. 如果 $r,s\in \mathbb {R}$ 并且 ${\vec {v}}\in V$，那么 $(r+s)\cdot {\vec {v}}=r\cdot {\vec {v}}+s\cdot {\vec {v}}$。
8. 如果 $r\in \mathbb {R}$ 并且 ${\vec {v}},{\vec {w}}\in V$，那么 $r\cdot ({\vec {v}}+{\vec {w}})=r\cdot {\vec {v}}+r\cdot {\vec {w}}$。
9. 如果 $r,s\in \mathbb {R}$ 且 ${\vec {v}}\in V$，那么 $(rs)\cdot {\vec {v}}=r\cdot (s\cdot {\vec {v}})$
10. 对于任何 ${\vec {v}}\in V$，$1\cdot {\vec {v}}={\vec {v}}$。

注记 1.2

由于它涉及两种加法和两种乘法，这个定义可能看起来很混乱。例如，在条件 7 中 "$(r+s)\cdot {\vec {v}}=r\cdot {\vec {v}}+s\cdot {\vec {v}}$"，第一个 "$+$" 是实数加法运算符，而等号右边的 "$+$" 代表结构 $V$ 中的向量加法。这些表达式并不含糊，因为例如，$r$ 和 $s$ 是实数，所以 "$r+s$" 只能表示实数加法。

检查以下示例的最佳方法是检查定义中的所有十个条件。第一个示例中详细写出了这个检查。将其用作其他示例的模型。特别重要的是第一个条件 "${\vec {v}}+{\vec {w}}$ 在 $V$ 中" 和第六个条件 "$r\cdot {\vec {v}}$ 在 $V$ 中"。这些是**封闭**条件。它们规定加法和标量乘法运算总是合理的——它们对每对向量和每个标量和向量都有定义，并且运算的结果是集合中的一个成员（参见示例 1.4）。

示例 1.3

集合 $\mathbb {R} ^{2}$ 是一个向量空间，如果操作“$+$” 和 “$\cdot$” 具有其通常的意义。

${\binom {x_{1}}{x_{2}}}+{\binom {y_{1}}{y_{2}}}={\binom {x_{1}+y_{1}}{x_{2}+y_{2}}}\qquad r\cdot {\binom {x_{1}}{x_{2}}}={\binom {rx_{1}}{rx_{2}}}$

我们将检查所有条件。

条目 1 中有五个条件。对于条件 1，加法的封闭性，注意到对于任何 $v_{1},v_{2},w_{1},w_{2}\in \mathbb {R}$，求和的结果

${\binom {v_{1}}{v_{2}}}+{\binom {w_{1}}{w_{2}}}={\binom {v_{1}+w_{1}}{v_{2}+w_{2}}}$

是一个有两个实数项的列数组，因此它在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中。对于条件 2，向量加法满足交换律，取所有项均为实数，并计算

${\binom {v_{1}}{v_{2}}}+{\binom {w_{1}}{w_{2}}}={\binom {v_{1}+w_{1}}{v_{2}+w_{2}}}={\binom {w_{1}+v_{1}}{w_{2}+v_{2}}}={\binom {w_{1}}{w_{2}}}+{\binom {v_{1}}{v_{2}}}$

（第二个等式来自于向量分量是实数，实数的加法满足交换律）。条件 3，向量加法的结合律，类似的。

${\begin{aligned}{\Bigg (}{\binom {v_{1}}{v_{2}}}+{\binom {w_{1}}{w_{2}}}{\Bigg )}+{\binom {u_{1}}{u_{2}}}&={\binom {(v_{1}+w_{1})+u_{1}}{(v_{2}+w_{2})+u_{2}}}\\&={\binom {v_{1}+(w_{1}+u_{1})}{v_{2}+(w_{2}+u_{2})}}\\&={\binom {v_{1}}{v_{2}}}+{\Bigg (}{\binom {w_{1}}{w_{2}}}+{\binom {u_{1}}{u_{2}}}{\Bigg )}\end{aligned}}$

对于第四个条件，我们必须生成一个零元素，零向量就是它。

${\binom {v_{1}}{v_{2}}}+{\binom {0}{0}}={\binom {v_{1}}{v_{2}}}$

对于 5，要生成一个加法逆元，请注意对于任何 $v_{1},v_{2}\in \mathbb {R}$，我们有

${\binom {-v_{1}}{-v_{2}}}+{\binom {v_{1}}{v_{2}}}={\binom {0}{0}}$

因此第一个向量是第二个向量的加法逆元。

与标量乘法相关的五个条件的检查同样是例行公事。对于 6，在标量乘法下的封闭性，其中 $r,v_{1},v_{2}\in \mathbb {R}$，

$r\cdot {\binom {v_{1}}{v_{2}}}={\binom {rv_{1}}{rv_{2}}}$

是一个具有两个实数条目的列向量，因此在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中。接下来，这将检查 7。

$(r+s)\cdot {\binom {v_{1}}{v_{2}}}={\binom {(r+s)v_{1}}{(r+s)v_{2}}}={\binom {rv_{1}+sv_{1}}{rv_{2}+sv_{2}}}=r\cdot {\binom {v_{1}}{v_{2}}}+s\cdot {\binom {v_{1}}{v_{2}}}$

对于 8，即标量乘法从左侧分配到向量加法，我们有这个。

$r\cdot {\Bigg (}{\binom {v_{1}}{v_{2}}}+{\binom {w_{1}}{w_{2}}}{\Bigg )}={\binom {r(v_{1}+w_{1})}{r(v_{2}+w_{2})}}={\binom {rv_{1}+rw_{1}}{rv_{2}+rw_{2}}}=r\cdot {\binom {v_{1}}{v_{2}}}+r\cdot {\binom {w_{1}}{w_{2}}}$

第九个

$(rs)\cdot {\binom {v_{1}}{v_{2}}}={\binom {(rs)v_{1}}{(rs)v_{2}}}={\binom {r(sv_{1})}{r(sv_{2})}}=r\cdot \left(s\cdot {\binom {v_{1}}{v_{2}}}\right)$

第十个条件也很直接。

$1\cdot {\binom {v_{1}}{v_{2}}}={\binom {1v_{1}}{1v_{2}}}={\binom {v_{1}}{v_{2}}}$

类似地，每个 $\mathbb {R} ^{n}$ 都是一个向量空间，具有通常的向量加法和标量乘法运算。（在 $\mathbb {R} ^{1}$ 中，我们通常不将成员写成列向量，即我们通常不写 "$(\pi )$"。相反，我们只写 "$\pi$"。）

例 1.4

这个 $\mathbb {R} ^{3}$ 的子集，它是一个经过原点的平面

$P=\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x+y+z=0\}$

如果 "+" 和 "$\cdot$" 以这种方式解释，它就是一个向量空间。

${\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}+x_{2}\\y_{1}+y_{2}\\z_{1}+z_{2}\end{pmatrix}}\qquad r\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}rx\\ry\\rz\end{pmatrix}}$

这里的加法和标量乘法运算只是 $\mathbb {R} ^{3}$ 的运算，在它的子集 $P$ 上重复使用。我们说 $P$ **继承** 了 $\mathbb {R} ^{3}$ 的这些运算。在 $P$ 中，这个加法示例

${\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}}$

说明了$P$ 在加法运算下是封闭的。我们从 $P$ 中添加了两个向量 - 它们的三个分量之和为零 - 结果也是一个在 $P$ 中的向量。当然，这个封闭性的例子并不能证明封闭性。为了证明 $P$ 在加法运算下是封闭的，取 $P$ 中的两个元素

${\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}$

(属于 $P$ 的意义是 $x_{1}+y_{1}+z_{1}=0$ 且 $x_{2}+y_{2}+z_{2}=0$)，并观察到它们的和

${\begin{pmatrix}x_{1}+x_{2}\\y_{1}+y_{2}\\z_{1}+z_{2}\end{pmatrix}}$

也属于$P$，因为其元素加起来等于$(x_{1}+x_{2})+(y_{1}+y_{2})+(z_{1}+z_{2})=(x_{1}+y_{1}+z_{1})+(x_{2}+y_{2}+z_{2})$ 等于$0$。为了证明$P$ 对于标量乘法封闭，从一个属于$P$ 的向量开始

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$

（因此$x+y+z=0$），然后对于$r\in \mathbb {R}$，观察到标量倍数

$r\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}rx\\ry\\rz\end{pmatrix}}$

满足$rx+ry+rz=r(x+y+z)=0$。因此，这两个封闭条件都满足了。验证向量空间定义中的其他条件同样直接。

示例 1.5

示例 1.3 表明，具有实数元素的所有二维向量集是一个向量空间。示例 1.4 给出了一个$\mathbb {R} ^{n}$ 子集，它也是一个向量空间。与这两个例子对比，考虑具有整数元素的二维列向量集（在明显的运算下）。这是一个向量空间的子集，但它本身不是一个向量空间。原因是这个集合对于标量乘法不封闭，即，它不满足条件 6。这是一个具有整数元素的列向量，以及一个标量，使得运算结果

$0.5\cdot {\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\1.5\end{pmatrix}}$

不是该集合的成员，因为其元素并非全部都是整数。

示例 1.6

单元素集合

$\{{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}\}$

在以下运算下是一个向量空间

${\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}\qquad r\cdot {\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}$

它继承自 $\mathbb {R} ^{4}$.

向量空间必须至少包含一个元素，即零向量。因此，一个元素的向量空间是最小的。

定义 1.7

一个元素的向量空间是一个平凡空间。

警告！

到目前为止的例子都涉及带有通常运算的列向量集。但是向量空间不必是列向量的集合，甚至不必是行向量的集合。下面是一些其他类型的向量空间。术语“向量空间”并不意味着“实数列的集合”。它的意思是更像“任何线性组合都有意义的集合”。

例子

示例 1.8

考虑 ${\mathcal {P}}_{3}=\{a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}\,{\big |}\,a_{0},\ldots ,a_{3}\in \mathbb {R} \}$，度数不超过三的多项式集合（在本例中，我们将包括零多项式在内的常数多项式视为零度）。它在以下运算下是一个向量空间

$(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3})+(b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+b_{3}x^{3})$

$=(a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})x+(a_{2}+b_{2})x^{2}+(a_{3}+b_{3})x^{3}$

以及

$r\cdot (a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3})=(ra_{0})+(ra_{1})x+(ra_{2})x^{2}+(ra_{3})x^{3}$

（验证很容易）。这个向量空间值得注意，因为它们是高中代数中熟悉的关于多项式的运算。例如，$3\cdot (1-2x+3x^{2}-4x^{3})-2\cdot (2-3x+x^{2}-(1/2)x^{3})=-1+7x^{2}-11x^{3}$.

虽然这个空间不是任何 $\mathbb {R} ^{n}$ 的子集，但我们有一种方法可以将 ${\mathcal {P}}_{3}$ 视为与 $\mathbb {R} ^{4}$ “相同”。如果我们以这种方式识别这两个空间的元素

$a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}\quad {\text{corresponds to}}\quad {\begin{pmatrix}a_{0}\\a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}$

那么这些运算也相互对应。以下是一个对应加法的例子。

${\begin{array}{lr}&1-2x+0x^{2}+1x^{3}\\+&2+3x+7x^{2}-4x^{3}\\\hline &3+1x+7x^{2}-3x^{3}\end{array}}\quad {\text{corresponds to}}\quad {\begin{pmatrix}1\\-2\\0\\1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}2\\3\\7\\-4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\1\\7\\-3\end{pmatrix}}$

我们认为“相同”的事物加起来得到“相同”的和。第三章将精确地阐述这种向量空间对应关系的概念。目前我们只需将其理解为一种直觉。

例 1.9

具有实数元素的 $2\!\times \!2$ 矩阵的集合 ${\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}$ 在自然的逐元素运算下是一个向量空间。

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}w&x\\y&z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a+w&b+x\\c+y&d+z\end{pmatrix}}\qquad r\cdot {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ra&rb\\rc&rd\end{pmatrix}}$

正如前面例子中的情况，我们可以认为这个空间与 $\mathbb {R} ^{4}$ “相同”。

例 1.10

所有将一个自然数变量映射到实数值的函数的集合 $\{f\,{\big |}\,f:\mathbb {N} \to \mathbb {R} \}$ 在以下运算下是一个向量空间：

$(f_{1}+f_{2})\,(n)=f_{1}(n)+f_{2}(n)\qquad (r\cdot f)\,(n)=r\,f(n)$

这样，例如，如果$f_{1}(n)=n^{2}+2\sin(n)$ 和 $f_{2}(n)=-\sin(n)+0.5$，那么$(f_{1}+2f_{2})\,(n)=n^{2}+1$。

我们可以将这个空间视为示例 1.3 的推广——不是$2$ 维向量，这些函数就像无限维向量。

${\begin{array}{c|c}n&f(n)=n^{2}+1\\\hline 0&1\\1&2\\2&5\\3&10\\\vdots &\vdots \\\end{array}}\quad {\text{corresponds to}}\quad {\begin{pmatrix}1\\2\\5\\10\\\vdots \end{pmatrix}}$

加法和标量乘法是按分量进行的，就像在示例 1.3 中一样。(我们可以将“无限维”形式化为：它表示一个无限序列，或者表示从$\mathbb {N}$ 到 $\mathbb {R}$ 的函数。)

示例 1.11

具有实系数的多项式集

$\{a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n}\,{\big |}\,n\in \mathbb {N} {\text{ and }}a_{0},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {R} \}$

在给出自然"$+$" 时，构成向量空间。

$(a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n})+(b_{0}+b_{1}x+\cdots +b_{n}x^{n})$

$=(a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})x+\cdots +(a_{n}+b_{n})x^{n}$

和“$\cdot$”。

$r\cdot (a_{0}+a_{1}x+\ldots a_{n}x^{n})=(ra_{0})+(ra_{1})x+\ldots (ra_{n})x^{n}$

这个空间不同于空间${\mathcal {P}}_{3}$，它包含的不仅仅是三阶多项式，也包含三十阶多项式以及三百阶多项式。当然，每个多项式本身都是有限阶的，但这个集合中所有成员的阶没有单一的界限。

这个例子，就像上一个例子一样，可以看作是无穷元组。例如，我们可以认为$1+3x+5x^{2}$对应于$(1,3,5,0,0,\ldots )$。然而，不要将这个空间与例 1.10 中的空间混淆。这个集合中的每个成员都有一个有界的阶，因此在我们的对应关系下，这个空间中没有成员与$(1,2,5,10,\,\ldots \,)$匹配。这个空间中的向量对应于以零结尾的无穷元组。

例 1.12

所有单个实变量的实值函数的集合 $\{f\,{\big |}\,f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \}$ 在以下情况下是一个向量空间。

$(f_{1}+f_{2})\,(x)=f_{1}(x)+f_{2}(x)\qquad (r\cdot f)\,(x)=r\,f(x)$

这个空间与例 1.10 的区别在于函数的定义域。

例 1.13

实变量 $\theta$ 的实值函数的集合 $F=\{a\cos \theta +b\sin \theta \,{\big |}\,a,b\in \mathbb {R} \}$ 在以下运算下是一个向量空间。

$(a_{1}\cos \theta +b_{1}\sin \theta )+(a_{2}\cos \theta +b_{2}\sin \theta )=(a_{1}+a_{2})\cos \theta +(b_{1}+b_{2})\sin \theta$

以及

$r\cdot (a\cos \theta +b\sin \theta )=(ra)\cos \theta +(rb)\sin \theta$

继承了先前示例中的空间。(我们可以把$F$ 视为与 $\mathbb {R} ^{2}$ “相同”，因为 $a\cos \theta +b\sin \theta$ 对应于分量为 $a$ 和 $b$ 的向量。)

示例 1.14

集合

$\{f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \,{\big |}\,{\dfrac {d^{2}f}{dx^{2}}}+f=0\}$

在目前自然的情况下，是一个向量空间。

$(f+g)\,(x)=f(x)+g(x)\qquad (r\cdot f)\,(x)=r\,f(x)$

特别地，注意封闭性是

${\frac {d^{2}(f+g)}{dx^{2}}}+(f+g)=({\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}+f)+({\frac {d^{2}g}{dx^{2}}}+g)$

以及

${\frac {d^{2}(rf)}{dx^{2}}}+(rf)=r({\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}+f)$

微积分的基本结果。这恰好等于先前示例中的空间——满足此微分方程的函数形式为 $a\cos \theta +b\sin \theta$——但这个描述表明可以将它推广到其他微分方程的解集。

示例 1.15

在 $n$ 个变量中，齐次线性方程组的解集是在从 $\mathbb {R} ^{n}$ 中继承的运算下，是一个向量空间。对于对加法的封闭性，如果

${\vec {v}}={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\qquad {\vec {w}}={\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{n}\end{pmatrix}}$

两者都满足其条目加起来为$0$的条件，那么${\vec {v}}+{\vec {w}}$也满足该条件：$c_{1}(v_{1}+w_{1})+\cdots +c_{n}(v_{n}+w_{n})=(c_{1}v_{1}+\cdots +c_{n}v_{n})+(c_{1}w_{1}+\cdots +c_{n}w_{n})=0$。其他条件的检查同样是例行的。

正如我们在这些等式中所做的那样，我们经常省略乘法符号"$\cdot$"。我们可以区分"$c_{1}v_{1}$"中的乘法和"$r{\vec {v}}\,$"中的乘法，因为如果两个乘数都是实数，则必须是指实数与实数的乘法，而如果一个是向量，则必须是指标量与向量的乘法。

前面的例子让我们回到了起点，因为它是我们动机示例之一。

注记 1.16

现在，对满足向量空间定义的结构类型有了一些了解，我们可以反思一下这个定义。例如，为什么在定义中要指定$1\cdot {\vec {v}}={\vec {v}}$这个条件，而不是$0\cdot {\vec {v}}={\vec {0}}$这个条件呢？

一个答案是，这仅仅是一个定义——它规定了从现在开始游戏的规则，如果你不喜欢它，就把书放下，走开。

另一个答案也许更令人满意。这个领域的人们已经努力地发展了力量和普遍性的正确平衡。这个定义已经得到塑造，它包含了证明线性组合空间所有有趣和重要性质所需的条件。随着我们继续，我们将从定义中给出的条件推导出所有自然属于线性组合集合的性质。

下一个结果是一个例子。我们不需要在向量空间的定义中包含这些性质，因为它们是从定义中已经列出的性质推导出来的。

引理 1.17

在任何向量空间$V$中，对于任何${\vec {v}}\in V$和$r\in \mathbb {R}$，我们有

1. $0\cdot {\vec {v}}={\vec {0}}$，以及
2. $(-1\cdot {\vec {v}})+{\vec {v}}={\vec {0}}$，以及
3. $r\cdot {\vec {0}}={\vec {0}}$.

证明

对于 1，注意 ${\vec {v}}=(1+0)\cdot {\vec {v}}={\vec {v}}+(0\cdot {\vec {v}})$。在等式的两边都加上 ${\vec {v}}$ 的加法逆元，即向量 ${\vec {w}}$，使得 ${\vec {w}}+{\vec {v}}={\vec {0}}$。

${\begin{array}{rl}{\vec {w}}+{\vec {v}}&={\vec {w}}+{\vec {v}}+0\cdot {\vec {v}}\\{\vec {0}}&={\vec {0}}+0\cdot {\vec {v}}\\{\vec {0}}&=0\cdot {\vec {v}}\end{array}}$

第二条很容易证明：$(-1\cdot {\vec {v}})+{\vec {v}}=(-1+1)\cdot {\vec {v}}=0\cdot {\vec {v}}={\vec {0}}$ 表明我们可以用“$-{\vec {v}}\,$” 来表示 ${\vec {v}}$ 的加法逆元，而不必担心与 $(-1)\cdot {\vec {v}}$ 产生混淆。

对于 3，$r\cdot {\vec {0}}=r\cdot (0\cdot {\vec {0}})=(r\cdot 0)\cdot {\vec {0}}={\vec {0}}$ 就足够了。

总结

我们来回顾一下。

在第一章中，我们对高斯消元法的研究导致我们考虑线性组合的集合。因此，在本章中，我们定义了向量空间，它是一种结构，我们可以用它来形成这样的组合，即 $c_{1}\cdot {\vec {v}}_{1}+\dots +c_{n}\cdot {\vec {v}}_{n}$ 的形式（受加法和标量乘法运算的简单条件约束）。简单来说：向量空间是研究线性性的正确背景。

最后，需要说明一点。从它占据了整整一章，尤其是这一章是第一章这一事实来看，读者可能会认为线性系统的研究是我们的目标。事实是，我们不会过多地将向量空间用于线性系统的研究，而是让线性系统引导我们开始研究向量空间。本节中的大量示例表明，向量空间的研究本身就很重要和有趣，因为它帮助我们理解线性系统，而不仅仅是它如何帮助我们理解线性系统。线性系统不会消失。但从现在开始，我们将主要研究对象是向量空间。

习题

问题 1

命名每个向量空间的零向量。

1. 在自然运算下，三阶多项式空间
2. 的向量空间$2\!\times \!4$ 矩阵
3. 向量空间$\{f:[0,1]\to \mathbb {R} \,{\big |}\,f{\text{ is continuous}}\}$
4. 一个自然数变量的实值函数空间

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问题 2

在向量空间中，找出向量的加法逆元。

1. 在${\mathcal {P}}_{3}$中，向量$-3-2x+x^{2}$.
2. 在向量空间$2\!\times \!2$中，

   ${\begin{pmatrix}1&-1\\0&3\end{pmatrix}}.$

3. 在$\{ae^{x}+be^{-x}\,{\big |}\,a,b\in \mathbb {R} \}$中，实变量$x$的函数空间，在自然运算下，向量$3e^{x}-2e^{-x}$.

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问题 3

证明每个集合都是向量空间。

1. 线性多项式集合${\mathcal {P}}_{1}=\{a_{0}+a_{1}x\,{\big |}\,a_{0},a_{1}\in \mathbb {R} \}$，在通常的多项式加法和标量乘法运算下。
2. 实数项的$2\!\times \!2$ 矩阵集合，在通常的矩阵运算下。
3. 具有通常运算的三分量行向量集合。
4. 集合

   $L=\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{4}\,{\big |}\,x+y-z+w=0\}$

   在从$\mathbb {R} ^{4}$继承的运算下。

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问题 4

证明每个集合都不是向量空间。（提示： 从列出每个集合的两个成员开始。）

1. 在从$\mathbb {R} ^{3}$继承的运算下，此集合

   $\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\,{\big |}\,x+y+z=1\}$

2. 在从$\mathbb {R} ^{3}$继承的运算下，此集合

   $\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\,{\big |}\,x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\}$

3. 在通常的矩阵运算下，

   $\{{\begin{pmatrix}a&1\\b&c\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a,b,c\in \mathbb {R} \}$

4. 在通常的多项式运算下，

   $\{a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}\,{\big |}\,a_{0},a_{1},a_{2}\in \mathbb {R} ^{+}\}$

   其中 $\mathbb {R} ^{+}$ 是大于零的实数集
5. 在继承的运算下，

   $\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}\,{\big |}\,x+3y=4{\text{ and }}2x-y=3{\text{ and }}6x+4y=10\}$

问题 5

定义加法和标量乘法运算，使复数成为 $\mathbb {R}$ 上的向量空间。

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问题 6

在通常的加法和标量乘法运算下，有理数集是否构成 $\mathbb {R}$ 上的向量空间？

问题 7

证明变量 $x,y,z$ 的线性组合集在自然加法和标量乘法运算下构成向量空间。

问题 8

证明以下集合不是向量空间：在以下运算下，具有实数项的二维列向量集合。

${\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}-x_{2}\\y_{1}-y_{2}\end{pmatrix}}\qquad r\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}rx\\ry\end{pmatrix}}$

问题 9

证明或反驳以下结论：在以下运算下，$\mathbb {R} ^{3}$ 是向量空间。

1. ${\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad r{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}rx\\ry\\rz\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad r{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$

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问题 10

对于每个，判断它是否是一个向量空间；预期运算为自然运算。

1. 所有对角 $2\!\times \!2$ 矩阵

   $\{{\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a,b\in \mathbb {R} \}$

2. 这组 $2\!\times \!2$ 矩阵

   $\{{\begin{pmatrix}x&x+y\\x+y&y\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x,y\in \mathbb {R} \}$

3. 这个集合

   $\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{4}\,{\big |}\,x+y+w=1\}$

4. 函数集 $\{f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \,{\big |}\,df/dx+2f=0\}$
5. 函数集合 $\{f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \,{\big |}\,df/dx+2f=1\}$

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问题 11

证明或反驳：实值函数 $f$（其中 $f(7)=0$）构成一个向量空间。

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问题 12

证明：正实数集合 $\mathbb {R} ^{+}$ 在以下定义下构成向量空间： "$x+y$" 代表 $x$ 和 $y$ 的乘积（因此 $2+3$ 等于 $6$），"$r\cdot x$" 代表 $x$ 的 $r$ 次方。

问题 13

集合 $\{(x,y)\,{\big |}\,x,y\in \mathbb {R} \}$ 在以下运算下是否构成向量空间？

1. $(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})$ 和 $r\cdot (x,y)=(rx,y)$
2. $(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})$ 和 $r\cdot (x,y)=(rx,0)$

问题 14

证明或反驳：所有度数大于或等于 2 的多项式，以及零多项式，构成一个向量空间。

问题 15

此时，“相同”只是一个直觉，但无论如何，对于每个向量空间，请找出$k$，使得该空间与$\mathbb {R} ^{k}$ “相同”。

1. 在通常运算下，$2\!\times \!3$ 矩阵
2. 在通常运算下，$n\!\times \!m$ 矩阵
3. 这组 $2\!\times \!2$ 矩阵

   $\{{\begin{pmatrix}a&0\\b&c\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a,b,c\in \mathbb {R} \}$

4. 这组 $2\!\times \!2$ 矩阵

   $\{{\begin{pmatrix}a&0\\b&c\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a+b+c=0\}$

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问题 16

使用${\vec {+}}$ 表示向量加法，使用 $\,{\vec {\cdot }}\,$ 表示标量乘法，重新叙述向量空间的定义。

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问题 17

证明这些结论。

1. 任何向量都是其自身加法逆元的加法逆元。
2. 向量加法满足左消去律：如果${\vec {v}},{\vec {s}},{\vec {t}}\in V$，则${\vec {v}}+{\vec {s}}={\vec {v}}+{\vec {t}}\,$ 意味着${\vec {s}}={\vec {t}}$。

问题 18

向量空间的定义没有明确说明${\vec {0}}+{\vec {v}}={\vec {v}}$（而是说${\vec {v}}+{\vec {0}}={\vec {v}}$）。证明该结论在任何向量空间中都必须成立。

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问题 19

证明或反驳以下结论：在通常运算下，所有矩阵的集合构成向量空间。

问题 20

在向量空间中，每个元素都有加法逆元。是否可能某些元素有两个或多个加法逆元？

问题 21

1. 证明$\mathbb {R} ^{3}$ 中经过原点的每个点、直线或平面在继承的运算下都是向量空间。
2. 如果它不包含原点，情况会怎样？

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问题 22

利用向量空间的概念，我们可以轻松地重新证明齐次线性方程组的解集要么只有一个元素，要么有无穷多个元素。假设 ${\vec {v}}\in V$ 不是 ${\vec {0}}$.

1. 证明 $r\cdot {\vec {v}}={\vec {0}}$ 当且仅当 $r=0$.
2. 证明 $r_{1}\cdot {\vec {v}}=r_{2}\cdot {\vec {v}}$ 当且仅当 $r_{1}=r_{2}$.
3. 证明任何非平凡的向量空间都是无限的。
4. 利用非空齐次线性方程组的解集是一个向量空间的事实得出结论。

问题 23

在自然运算下，一个实变量的实值可微函数的集合是否是一个向量空间？

问题 24

复数上的向量空间 $\mathbb {C}$ 的定义与实数上的向量空间相同，只是标量是从 $\mathbb {C}$ 而不是从 $\mathbb {R}$ 中取。证明以下每个集合都是复数上的向量空间。（回想一下复数的加法和乘法：$(a_{0}+a_{1}i)+(b_{0}+b_{1}i)=(a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})i$ 和 $(a_{0}+a_{1}i)(b_{0}+b_{1}i)=(a_{0}b_{0}-a_{1}b_{1})+(a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0})i$。）

1. 复系数二次多项式集合
2. 这个集合

   $\{{\begin{pmatrix}0&a\\b&0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a,b\in \mathbb {C} {\text{ and }}a+b=0+0i\}$

问题 25

命名一个所有$\mathbb {R} ^{n}$都具有的属性，但未列为向量空间的要求。

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问题 26

1. 证明四个向量的和${\vec {v}}_{1},\ldots ,{\vec {v}}_{4}\in V$ 可以以任何方式结合，不会改变结果。

   ${\begin{array}{rl}(({\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2})+{\vec {v}}_{3})+{\vec {v}}_{4}&=({\vec {v}}_{1}+({\vec {v}}_{2}+{\vec {v}}_{3}))+{\vec {v}}_{4}\\&=({\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2})+({\vec {v}}_{3}+{\vec {v}}_{4})\\&={\vec {v}}_{1}+(({\vec {v}}_{2}+{\vec {v}}_{3})+{\vec {v}}_{4})\\&={\vec {v}}_{1}+({\vec {v}}_{2}+({\vec {v}}_{3}+{\vec {v}}_{4}))\end{array}}$

   这使我们能够简单地写出 “${\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2}+{\vec {v}}_{3}+{\vec {v}}_{4}$” 而不产生歧义。
2. 证明任意两个方式结合任意数量的向量之和会得到相同的结果。(提示. 对向量的数量使用归纳法)。

问题 27

对于任何向量空间，一个在继承的运算下本身也是向量空间的子集（例如，$\mathbb {R} ^{3}$ 内部通过原点的平面）被称为 子空间。

1. 证明 $\{a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}\,{\big |}\,a_{0}+a_{1}+a_{2}=0\}$ 是二次多项式向量空间的子空间。
2. 证明这是$2\!\times \!2$ 矩阵的子空间。

   $\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a+b=0\}$

3. 证明实数向量空间的非空子集 $S$ 为子空间的充要条件是：它对向量对的线性组合封闭，即，只要 $c_{1},c_{2}\in \mathbb {R}$ 且 ${\vec {s}}_{1},{\vec {s}}_{2}\in S$，则组合 $c_{1}{\vec {s}}_{1}+c_{2}{\vec {s}}_{2}$ 也在 $S$ 中。

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