线性代数/解集的描述/解

解

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问题 1

找到矩阵的指定项，如果它被定义。

A={\begin{pmatrix}1&3&1\\2&-1&4\end{pmatrix}}

$a_{2,1}$
$a_{1,2}$
$a_{2,2}$
$a_{3,1}$

答案

$2$
$3$
$-1$
未定义。

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问题 2

给出每个矩阵的大小。

${\begin{pmatrix}1&0&4\\2&1&5\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\\3&-1\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}5&10\\10&5\end{pmatrix}}$

答案

$2\!\times \!3$
$3\!\times \!2$
$2\!\times \!2$

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问题 3

执行指定的向量运算，如果它被定义。

${\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}}$
$5{\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}1\\5\\1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}}$
$7{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}+9{\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}$
$6{\begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}}-4{\begin{pmatrix}2\\0\\3\end{pmatrix}}+2{\begin{pmatrix}1\\1\\5\end{pmatrix}}$

答案

${\begin{pmatrix}5\\1\\5\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}20\\-5\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}-2\\4\\0\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}41\\52\end{pmatrix}}$
未定义。
${\begin{pmatrix}12\\8\\4\end{pmatrix}}$

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问题 4

使用矩阵表示法解出每个系统。使用向量表示解。

${\begin{array}{*{2}{rc}r}3x&+&6y&=&18\\x&+&2y&=&6\end{array}}$
${\begin{array}{*{2}{rc}r}x&+&y&=&1\\x&-&y&=&-1\end{array}}$
${\begin{array}{*{3}{rc}r}x_{1}&&&+&x_{3}&=&4\\x_{1}&-&x_{2}&+&2x_{3}&=&5\\4x_{1}&-&x_{2}&+&5x_{3}&=&17\end{array}}$
${\begin{array}{*{3}{rc}r}2a&+&b&-&c&=&2\\2a&&&+&c&=&3\\a&-&b&&&=&0\end{array}}$
${\begin{array}{*{4}{rc}r}x&+&2y&-&z&&&=&3\\2x&+&y&&&+&w&=&4\\x&-&y&+&z&+&w&=&1\end{array}}$
${\begin{array}{*{4}{rc}r}x&&&+&z&+&w&=&4\\2x&+&y&&&-&w&=&2\\3x&+&y&+&z&&&=&7\end{array}}$

答案

这个约简
${\begin{array}{rcl}\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}3&6&18\\1&2&6\end{array}}\right)&{\xrightarrow[{}]{(-1/3)\rho _{1}+\rho _{2}}}&\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}3&6&18\\0&0&0\end{array}}\right)\end{array}}$
留下 $x$ 为首项，而 $y$ 为自由项。将 $y$ 设为参数，我们有 $x=6-2y$ 因此解集为
$\{{\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}}y\,{\big |}\,y\in \mathbb {R} \}.$
这个约简
${\begin{array}{rcl}\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}1&1&1\\1&-1&-1\end{array}}\right)&{\xrightarrow[{}]{-\rho _{1}+\rho _{2}}}&\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}1&1&1\\0&-2&-2\end{array}}\right)\end{array}}$
给出了唯一解 $y=1$ , $x=0$ 。解集为
$\{{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\}.$
这种使用高斯消元法
$\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&0&1&4\\1&-1&2&5\\4&-1&5&17\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{-4\rho _{1}+\rho _{3}}]{-\rho _{1}+\rho _{2}}}\;\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&0&1&4\\0&-1&1&1\\0&-1&1&1\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{}]{-\rho _{2}+\rho _{3}}}\;\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&0&1&4\\0&-1&1&1\\0&0&0&0\end{array}}\right)$
使 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 成为首项，而 $x_{3}$ 为自由项。解集为
$\{{\begin{pmatrix}4\\-1\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}}x_{3}\,{\big |}\,x_{3}\in \mathbb {R} \}.$
这个约简
$\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}2&1&-1&2\\2&0&1&3\\1&-1&0&0\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{-(1/2)\rho _{1}+\rho _{3}}]{-\rho _{1}+\rho _{2}}}\;\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}2&1&-1&2\\0&-1&2&1\\0&-3/2&1/2&-1\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{}]{(-3/2)\rho _{2}+\rho _{3}}}\;\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}2&1&-1&2\\0&-1&2&1\\0&0&-5/2&-5/2\end{array}}\right)$
表明解集是一个单元素集。
$\{{\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}\}$
这种简化很容易。
$\left({\begin{array}{*{4}{c}|c}1&2&-1&0&3\\2&1&0&1&4\\1&-1&1&1&1\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{-\rho _{1}+\rho _{3}}]{-2\rho _{1}+\rho _{2}}}\;\left({\begin{array}{*{4}{c}|c}1&2&-1&0&3\\0&-3&2&1&-2\\0&-3&2&1&-2\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{}]{-\rho _{2}+\rho _{3}}}\;\left({\begin{array}{*{4}{c}|c}1&2&-1&0&3\\0&-3&2&1&-2\\0&0&0&0&0\end{array}}\right)$
并且以 $x$ 和 $y$ 作为主元，而 $z$ 和 $w$ 是自由元。求解 $y$ 得到 $y=(2+2z+w)/3$ ，代入后可知 $x+2(2+2z+w)/3-z=3$ ，因此 $x=(5/3)-(1/3)z-(2/3)w$ ，使得解集为
$\{{\begin{pmatrix}5/3\\2/3\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-1/3\\2/3\\1\\0\end{pmatrix}}z+{\begin{pmatrix}-2/3\\1/3\\0\\1\end{pmatrix}}w\,{\big |}\,z,w\in \mathbb {R} \}.$
降阶
$\left({\begin{array}{*{4}{c}|c}1&0&1&1&4\\2&1&0&-1&2\\3&1&1&0&7\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{-3\rho _{1}+\rho _{3}}]{-2\rho _{1}+\rho _{2}}}\;\left({\begin{array}{*{4}{c}|c}1&0&1&1&4\\0&1&-2&-3&-6\\0&1&-2&-3&-5\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{}]{-\rho _{2}+\rho _{3}}}\;\left({\begin{array}{*{4}{c}|c}1&0&1&1&4\\0&1&-2&-3&-6\\0&0&0&0&1\end{array}}\right)$
表明没有解 - 解集为空。

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问题 5

使用矩阵表示法求解每个方程组。用向量表示法给出每个解集。

${\begin{array}{*{3}{rc}r}2x&+&y&-&z&=&1\\4x&-&y&&&=&3\end{array}}$
${\begin{array}{*{4}{rc}r}x&&&-&z&&&=&1\\&&y&+&2z&-&w&=&3\\x&+&2y&+&3z&-&w&=&7\end{array}}$
${\begin{array}{*{4}{rc}r}x&-&y&+&z&&&=&0\\&&y&&&+&w&=&0\\3x&-&2y&+&3z&+&w&=&0\\&&-y&&&-&w&=&0\end{array}}$
${\begin{array}{*{5}{rc}r}a&+&2b&+&3c&+&d&-&e&=&1\\3a&-&b&+&c&+&d&+&e&=&3\end{array}}$
这个约简
${\begin{array}{rcl}\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}2&1&-1&1\\4&-1&0&3\end{array}}\right)&{\xrightarrow[{}]{-2\rho _{1}+\rho _{2}}}&\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}2&1&-1&1\\0&-3&2&1\end{array}}\right)\end{array}}$
以 $x$ 和 $y$ 为主元，而 $z$ 是自由变量。解出 $y$ 可得 $y=(1-2z)/(-3)$ ，然后代入 $2x+(1-2z)/(-3)-z=1$ 可知 $x=((4/3)+(1/3)z)/2$ 。因此解集为
$\{{\begin{pmatrix}2/3\\-1/3\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1/6\\2/3\\1\end{pmatrix}}z\,{\big |}\,z\in \mathbb {R} \}.$
这种对高斯消元法应用
$\left({\begin{array}{*{4}{c}|c}1&0&-1&0&1\\0&1&2&-1&3\\1&2&3&-1&7\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{}]{-\rho _{1}+\rho _{3}}}\;\left({\begin{array}{*{4}{c}|c}1&0&-1&0&1\\0&1&2&-1&3\\0&2&4&-1&6\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{}]{-2\rho _{2}+\rho _{3}}}\;\left({\begin{array}{*{4}{c}|c}1&0&-1&0&1\\0&1&2&-1&3\\0&0&0&1&0\end{array}}\right)$
使 $x$ ， $y$ 和 $w$ 为主元。解集为
$\{{\begin{pmatrix}1\\3\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1\\-2\\1\\0\end{pmatrix}}z\,{\big |}\,z\in \mathbb {R} \}.$
这种行变换
$\left({\begin{array}{*{4}{c}|c}1&-1&1&0&0\\0&1&0&1&0\\3&-2&3&1&0\\0&-1&0&-1&0\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{}]{-3\rho _{1}+\rho _{3}}}\;\left({\begin{array}{*{4}{c}|c}1&-1&1&0&0\\0&1&0&1&0\\0&1&0&1&0\\0&-1&0&-1&0\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{\rho _{2}+\rho _{4}}]{-\rho _{2}+\rho _{3}}}\;\left({\begin{array}{*{4}{c}|c}1&-1&1&0&0\\0&1&0&1&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{array}}\right)$
以 $z$ 和 $w$ 为自由变量，解集为
$\{{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-1\\0\\1\\0\end{pmatrix}}z+{\begin{pmatrix}-1\\-1\\0\\1\end{pmatrix}}w\,{\big |}\,z,w\in \mathbb {R} \}.$
用这种方法完成的高斯消元法
${\begin{array}{rcl}\left({\begin{array}{*{5}{c}|c}1&2&3&1&-1&1\\3&-1&1&1&1&3\end{array}}\right)&{\xrightarrow[{}]{-3\rho _{1}+\rho _{2}}}&\left({\begin{array}{*{5}{c}|c}1&2&3&1&-1&1\\0&-7&-8&-2&4&0\end{array}}\right)\end{array}}$
以 $c$ 、 $d$ 和 $e$ 为自由变量。解得 $b$ 可得 $b=(8c+2d-4e)/(-7)$ ，然后代入 $a+2(8c+2d-4e)/(-7)+3c+1d-1e=1$ 可得 $a=1-(5/7)c-(3/7)d-(1/7)e$ ，所以解集为
$\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-5/7\\-8/7\\1\\0\\0\end{pmatrix}}c+{\begin{pmatrix}-3/7\\-2/7\\0\\1\\0\end{pmatrix}}d+{\begin{pmatrix}-1/7\\4/7\\0\\0\\1\end{pmatrix}}e\,{\big |}\,c,d,e\in \mathbb {R} \}.$

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问题 6

该向量在集合中。参数的什么值会产生该向量？

${\begin{pmatrix}5\\-5\end{pmatrix}}$ ， $\{{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}k\,{\big |}\,k\in \mathbb {R} \}$
${\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}}$ ， $\{{\begin{pmatrix}-2\\1\\0\end{pmatrix}}i+{\begin{pmatrix}3\\0\\1\end{pmatrix}}j\,{\big |}\,i,j\in \mathbb {R} \}$
${\begin{pmatrix}0\\-4\\2\end{pmatrix}}$ , $\{{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}m+{\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}}n\,{\big |}\,m,n\in \mathbb {R} \}$

答案

对于每个问题，我们可以通过观察分量的方程得到一个线性方程组。

$k=5$
第二分量表明 $i=2$ ，第三分量表明 $j=1$ 。
$m=-4$ ， $n=2$

问题 7

确定向量是否在集合中。

${\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}}$ , $\{{\begin{pmatrix}-6\\2\end{pmatrix}}k\,{\big |}\,k\in \mathbb {R} \}$
${\begin{pmatrix}5\\4\end{pmatrix}}$ , $\{{\begin{pmatrix}5\\-4\end{pmatrix}}j\,{\big |}\,j\in \mathbb {R} \}$
${\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}}$ , $\{{\begin{pmatrix}0\\3\\-7\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1\\-1\\3\end{pmatrix}}r\,{\big |}\,r\in \mathbb {R} \}$
${\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}$ , $\{{\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}}j+{\begin{pmatrix}-3\\-1\\1\end{pmatrix}}k\,{\big |}\,j,k\in \mathbb {R} \}$

答案

对于每个问题，我们可以通过观察分量的方程得到一个线性方程组。

是的；取 $k=-1/2$ .
否；带有方程式 $5=5\cdot j$ 和 $4=-4\cdot j$ 的系统没有解。
是的；取 $r=2$ .
否。第二个分量给出 $k=0$ 。然后第三个分量给出 $j=1$ 。但第一个分量不符合。

问题 8

对这个单方程式的解集进行参数化。

x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}=0

答案

这个系统有 $1$ 个方程式。主变量是 $x_{1}$ ，其他变量是自由变量。

\{{\begin{pmatrix}-1\\1\\\vdots \\0\end{pmatrix}}x_{2}+\cdots +{\begin{pmatrix}-1\\0\\\vdots \\1\end{pmatrix}}x_{n}\,{\big |}\,x_{2},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R} \}

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问题 9

对左侧应用高斯消元法来求解
${\begin{array}{*{4}{rc}r}x&+&2y&&&-&w&=&a\\2x&&&+&z&&&=&b\\x&+&y&&&+&2w&=&c\end{array}}$
对于 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 和 $w$ ，用常数 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 表示。注意 $w$ 将是一个自由变量。
利用你上一步的答案解决这个问题。
${\begin{array}{*{4}{rc}r}x&+&2y&&&-&w&=&3\\2x&&&+&z&&&=&1\\x&+&y&&&+&2w&=&-2\end{array}}$

答案

高斯消元法给出
${\begin{array}{rcl}\left({\begin{array}{*{4}{c}|c}1&2&0&-1&a\\2&0&1&0&b\\1&1&0&2&c\end{array}}\right)&{\xrightarrow[{-\rho _{1}+\rho _{3}}]{-2\rho _{1}+\rho _{2}}}&\left({\begin{array}{*{4}{c}|c}1&2&0&-1&a\\0&-4&1&2&-2a+b\\0&-1&0&3&-a+c\end{array}}\right)\\[3em]&{\xrightarrow[{}]{-(1/4)\rho _{2}+\rho _{3}}}&\left({\begin{array}{*{4}{c}|c}1&2&0&-1&a\\0&-4&1&2&-2a+b\\0&0&-1/4&5/2&-(1/2)a-(1/4)b+c\end{array}}\right),\end{array}}$
使 $w$ 自由。求解： $z=2a+b-4c+10w$ 和 $-4y=-2a+b-(2a+b-4c+10w)-2w$ ，所以 $y=a-c+3w$ 和 $x=a-2(a-c+3w)+w=-a+2c-5w.$ 因此，解集为：
$\{{\begin{pmatrix}-a+2c\\a-c\\2a+b-4c\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-5\\3\\10\\1\end{pmatrix}}w\,{\big |}\,w\in \mathbb {R} \}$
将 $a=3$ , $b=1$ , 和 $c=-2$ 代入。
$\{{\begin{pmatrix}-7\\5\\15\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-5\\3\\10\\1\end{pmatrix}}w\,{\big |}\,w\in \mathbb {R} \}$

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问题 10

为什么矩阵条目记号 " $a_{i,j}$ " 中需要逗号？

答案

省略逗号，比如写成 $a_{123}$ ，会导致歧义，因为它可以表示 $a_{1,23}$ 或者 $a_{12,3}$ 。

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问题 11

给出 $4\!\times \!4$ 的矩阵，其第 $i,j$ 个条目是

$i+j$ ;
的 $-1$ 次方。

答案

${\begin{pmatrix}2&3&4&5\\3&4&5&6\\4&5&6&7\\5&6&7&8\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}1&-1&1&-1\\-1&1&-1&1\\1&-1&1&-1\\-1&1&-1&1\end{pmatrix}}$

问题 12

对于任何矩阵 $A$ ， $A$ 的 **转置**，记作 ${{A}^{\rm {trans}}}$ ，是指列是 $A$ 的行组成的矩阵。求出下列各矩阵的转置。

${\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}2&-3\\1&1\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}5&10\\10&5\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}$

答案

${\begin{pmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}2&1\\-3&1\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}5&10\\10&5\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}1&1&0\end{pmatrix}}$

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问题 13

描述所有满足 $f(1)=2$ 和 $f(-1)=6$ 的函数 $f(x)=ax^{2}+bx+c$ 。
描述所有满足 $f(1)=2$ 的函数 $f(x)=ax^{2}+bx+c$ 。

答案

将 $x=1$ 和 $x=-1$ 代入可得
${\begin{array}{rcl}{\begin{array}{*{3}{rc}r}a&+&b&+&c&=&2\\a&-&b&+&c&=&6\end{array}}&{\xrightarrow[{}]{-\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{array}{*{3}{rc}r}a&+&b&+&c&=&2\\&&-2b&&&=&4\end{array}}\end{array}}$
所以函数集是 $\{f(x)=(4-c)x^{2}-2x+c\,{\big |}\,c\in \mathbb {R} \}$ .
将 $x=1$ 代入得
${\begin{array}{*{3}{rc}r}a&+&b&+&c&=&2\end{array}}$
所以函数集是 $\{f(x)=(2-b-c)x^{2}+bx+c\,{\big |}\,b,c\in \mathbb {R} \}$ .

问题 14

证明平面 $\mathbb {R} ^{2}$ 上的任意五个点都位于同一个圆锥曲线，即它们都满足以下形式的方程 $ax^{2}+by^{2}+cxy+dx+ey+f=0$ ，其中部分 $a,\,\ldots \,,f$ 不为零。

答案

将五个点对 $(x,y)$ 代入后，我们得到一个包含五个方程和六个未知数 $a$ ，...， $f$ 的方程组。由于未知数多于方程，如果方程之间不存在不一致，那么将有无穷多个解（至少一个变量将是自由的）。

但不能存在不一致，因为 $a=0$ ，...， $f=0$ 是一个解（我们只是使用这个零解来表明该系统是一致的 - 前一段表明存在非零解）。

问题 15

构造一个包含四个方程和四个未知数的方程组，该方程组具有以下解集：

一个单参数解集；
一个双参数解集；
一个三参数解集。

答案

这里有一个例子 - 第四个方程是冗余的，但仍然有效。
${\begin{array}{*{4}{rc}r}x&+&y&-&z&+&w&=&0\\&&y&-&z&&&=&0\\&&&&2z&+&2w&=&0\\&&&&z&+&w&=&0\end{array}}$
这是一个例子。
${\begin{array}{*{4}{rc}r}x&+&y&-&z&+&w&=&0\\&&&&&&w&=&0\\&&&&&&w&=&0\\&&&&&&w&=&0\end{array}}$
这也是一个例子。
${\begin{array}{*{4}{rc}r}x&+&y&-&z&+&w&=&0\\x&+&y&-&z&+&w&=&0\\x&+&y&-&z&+&w&=&0\\x&+&y&-&z&+&w&=&0\end{array}}$

? 问题 16

求解这个方程组。
${\begin{array}{*{2}{rc}r}ax&+&y&=&a^{2}\\x&+&ay&=&1\end{array}}$
对于 $a$ 的哪些值，方程组没有解？对于 $a$ 的哪些值，方程组有无穷多解？
对于这个方程组回答上述问题。
${\begin{array}{*{2}{rc}r}ax&+&y&=&a^{3}\\x&+&ay&=&1\end{array}}$

(苏联奥林匹克竞赛 #174)

答案

这是引用来源中给出的答案。

对方程组进行形式求解得到
$x={\frac {a^{3}-1}{a^{2}-1}}\qquad y={\frac {-a^{2}+a}{a^{2}-1}}.$
如果 $a+1\neq 0$ 且 $a-1\neq 0$ ，则方程组有一个唯一解
$x={\frac {a^{2}+a+1}{a+1}}\qquad y={\frac {-a}{a+1}}.$
如果 $a=-1$ ，或者如果 $a=+1$ ，则这些公式没有意义；在第一种情况下，我们得到方程组
$\left\{{\begin{array}{*{2}{rc}r}-x&+&y&=&1\\x&-&y&=&1\end{array}}\right.$
这是一个矛盾的系统。在第二个实例中，我们有
$\left\{{\begin{array}{*{2}{rc}r}x&+&y&=&1\\x&+&y&=&1\end{array}}\right.$
它有无数个解（例如，对于 $x$ 任意， $y=1-x$ ）。
系统解得
$x={\frac {a^{4}-1}{a^{2}-1}}\qquad y={\frac {-a^{3}+a}{a^{2}-1}}.$
这里，是 $a^{2}-1\neq 0$ ，系统只有一个解 $x=a^{2}+1$ ， $y=-a$ 。对于 $a=-1$ 和 $a=1$ ，我们得到系统
$\left\{{\begin{array}{*{2}{rc}r}-x&+&y&=&-1\\x&-&y&=&1\end{array}}\right.\qquad \left\{{\begin{array}{*{2}{rc}r}x&+&y&=&1\\x&+&y&=&1\end{array}}\right.$
两者都有无限个解。

? 问题 17

在空气中，一个金表面球体重 $7588$ 克。已知它可能包含一种或多种金属，如铝、铜、银或铅。当在标准条件下分别在水中、苯中、酒精中和甘油中称重时，其重量分别为 $6588$ ， $6688$ ， $6778$ 和 $6328$ 克。如果指定物质的比重如下，它包含多少上述金属，如果有的话？

铝	2.7	酒精	0.81
铜	8.9	苯	0.90
金	19.3	甘油	1.26
铅	11.3	水	1.00
银	10.8

(Duncan & Quelch 1952)

答案

这是引用来源中给出的答案。

设 $u$ ， $v$ ， $x$ ， $y$ ， $z$ 分别表示球体中所含铝、铜、铅、银和金的体积，单位为 ${\rm {cm}}^{3}$ 。假设球体不空心，因为其在水中（比重为 $1.00$ ）中的失重为 $1000$ 克，则球体的体积为 $1000{\mbox{ cm}}^{3}$ 。然后这些数据，虽然一致，但其中一些是多余的，仅导致 $2$ 个独立的方程，一个关系体积，另一个关系重量。