线性代数/描述解集

线性代数
← 高斯消元法	描述解集	通解=特解+齐次解 →

一个具有唯一解的线性系统具有一个元素的解集。一个无解的线性系统具有一个空的解集。在这些情况下，解集很容易描述。只有当解集包含多个元素时，解集才具有挑战性。

例2.1

这个系统有许多解，因为在行阶梯形中

{\begin{array}{rcl}{\begin{array}{*{3}{rc}r}2x&&&+&z&=&3\\x&-&y&-&z&=&1\\3x&-&y&&&=&4\end{array}}&{\xrightarrow[{-\left({\frac {3}{2}}\right)\rho _{1}+\rho _{3}}]{-\left({\frac {1}{2}}\right)\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{array}{*{3}{rc}r}2x&&&+&z&=&3\\&&-y&-&\left({\frac {3}{2}}\right)z&=&-{\frac {1}{2}}\\&&-y&-&\left({\frac {3}{2}}\right)z&=&-{\frac {1}{2}}\end{array}}\\[3em]&{\xrightarrow[{}]{-\rho _{2}+\rho _{3}}}&{\begin{array}{*{3}{rc}r}2x&&&+&z&=&3\\&&-y&-&\left({\frac {3}{2}}\right)z&=&-{\frac {1}{2}}\\&&&&0&=&0\end{array}}\end{array}}

并非所有变量都是主变量。高斯消元法定理表明，一个三元组满足第一个系统当且仅当它满足第三个系统。因此，解集 ${\Big \{}(x,y,z){\Big |}2x+z=3{\text{ and }}x-y-z=1{\text{ and }}3x-y=4{\Big \}}$ 也可以描述为 $\left\{(x,y,z){\Big |}2x+z=3{\text{ and }}-y-{\frac {3z}{2}}=-{\frac {1}{2}}\right\}$ 。但是，这种第二个描述并没有多大改善。它有两个方程而不是三个，但它仍然涉及变量之间一些难以理解的交互作用。

为了得到一个不包含任何交互项的描述，我们选取不作为任何等式引导项的变量， $z$ ，并用它来描述作为引导项的变量， $x$ 和 $y$ 。第二个等式给出 $y={\frac {1}{2}}-{\frac {3}{2}}z$ ，第一个等式给出 $x={\frac {3}{2}}-{\frac {1}{2}}z$ 。因此，解集可以描述为 $\left\{(x,y,z)=\left({\frac {3}{2}}-{\frac {1}{2}}z,{\frac {1}{2}}-{\frac {3}{2}}z,z\right){\Big |}z\in \mathbb {R} \right\}$ 。例如， $\left({\frac {1}{2}},-{\frac {5}{2}},2\right)$ 是一个解，因为取 $z=2$ 会得到第一个分量为 ${\frac {1}{2}}$ ，第二个分量为 $-{\frac {5}{2}}$ 。

这种描述相对于上面提到的描述的优势在于，唯一出现的变量， $z$ ，是无限制的——它可以是任何实数。

定义 2.2

在阶梯形线性方程组中，不作为引导项的变量被称为自由变量。

在上面例子中得到的阶梯形方程组中， $x$ 和 $y$ 是引导变量，而 $z$ 是自由变量。

例子 2.3

一个线性方程组可以有多个自由变量。以下是一个行化简过程

{\begin{array}{rcl}{\begin{array}{*{4}{rc}r}x&+&y&+&z&-&w&=&1\\&&y&-&z&+&w&=&-1\\3x&&&+&6z&-&6w&=&6\\&&-y&+&z&-&w&=&1\end{array}}&{\xrightarrow[{}]{-3\rho _{1}+\rho _{3}}}&{\begin{array}{*{4}{rc}r}x&+&y&+&z&-&w&=&1\\&&y&-&z&+&w&=&-1\\&&-3y&+&3z&-&3w&=&3\\&&-y&+&z&-&w&=&1\end{array}}\\[3em]&{\xrightarrow[{\rho _{2}+\rho _{4}}]{3\rho _{2}+\rho _{3}}}&{\begin{array}{*{4}{rc}r}x&+&y&+&z&-&w&=&1\\&&y&-&z&+&w&=&-1\\&&&&&&0&=&0\\&&&&&&0&=&0\end{array}}\end{array}}

以 $x$ 和 $y$ 结尾，并且 $z$ 和 $w$ 均为自由变量。为了得到我们想要的描述，我们将从底部开始。首先，我们将 $y$ 用自由变量 $z$ 和 $w$ 表示，即 $y=-1+z-w$ 。然后，向上移动到顶部的等式，用 $y$ 代入第一个等式 $x+(-1+z-w)+z-w=1$ 并解得 $x$ ，得到 $x=2-2z+2w$ 。因此，解集为 ${\Big \{}(2-2z+2w,-1+z-w,z,w){\Big |}z,w\in \mathbb {R} {\Big \}}$ 。

我们更喜欢这种描述，因为出现的唯一变量是 $z$ 和 $w$ ，是无限制的。这使得判断哪些四元组是系统解变得容易。例如，取 $z=1$ 和 $w=2$ 会得到解 $(4,-2,1,2)$ 。相反， $(3,-2,1,2)$ 不是解，因为任何解的第一项必须是 $2$ 减去第三项的两倍加上第四项的两倍。

示例 2.4

在进行这种简化之后

{\begin{array}{rcl}{\begin{array}{*{4}{rc}r}2x&-&2y&&&&&=&0\\&&&&z&+&3w&=&2\\3x&-&3y&&&&&=&0\\x&-&y&+&2z&+&6w&=&4\end{array}}&{\xrightarrow[{-({\frac {1}{2}})\rho _{1}+\rho _{4}}]{-({\frac {3}{2}})\rho _{1}+\rho _{3}}}&{\begin{array}{*{4}{rc}r}2x&-&2y&&&&&=&0\\&&&&z&+&3w&=&2\\&&&&&&0&=&0\\&&&&2z&+&6w&=&4\end{array}}\\[3em]&{\xrightarrow[{}]{-2\rho _{2}+\rho _{4}}}&{\begin{array}{*{4}{rc}r}2x&-&2y&&&&&=&0\\&&&&z&+&3w&=&2\\&&&&&&0&=&0\\&&&&&&0&=&0\end{array}}\end{array}}

$x,z$ 为主元， $y,w$ 为自由元。解集是 ${\Big \{}(y,y,2-3w,w){\Big |}y,w\in \mathbb {R} {\Big \}}$ 。例如， $(1,1,2,0)$ 满足该方程组——取 $y=1$ 和 $w=0$ 。四元组 $(1,0,5,4)$ 不是解，因为它的第一个坐标不等于第二个坐标。

我们将用于描述一组解的变量称为参数，并说上面的集合用 $y$ 和 $w$ 进行参数化。（“参数”和“自由变量”这两个词的意思并不相同。在上面， $y$ 和 $w$ 是自由的，因为在梯形形式系统中，它们没有引导任何行。它们是参数，因为它们被用于解集描述中。我们也可以用 $y$ 和 $z$ 进行参数化，方法是将第二个方程改写为 $w={\frac {2}{3}}-{\frac {1}{3}}z$ 。在这种情况下，自由变量仍然是 $y$ 和 $w$ ，但参数是 $y$ 和 $z$ 。请注意，我们不能用 $x$ 和 $y$ 进行参数化，因此在参数的选择上有时会有一些限制。术语“参数”和“自由”是相关的，因为正如我们将在本章后面展示的那样，系统的解集总是可以用自由变量进行参数化。因此，我们将以这种方式对我们所有的描述进行参数化。）

示例 2.5

这是一个具有无穷多个解的另一个系统。

{\begin{array}{rcl}{\begin{array}{*{4}{rc}r}x&+&2y&&&&&=&1\\2x&&&+&z&&&=&2\\3x&+&2y&+&z&-&w&=&4\end{array}}&{\xrightarrow[{-3\rho _{1}+\rho _{3}}]{-2\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{array}{*{4}{rc}r}x&+&2y&&&&&=&1\\&&-4y&+&z&&&=&0\\&&-4y&+&z&-&w&=&1\end{array}}\\[3em]&{\xrightarrow[{}]{-\rho _{2}+\rho _{3}}}&{\begin{array}{*{4}{rc}r}x&+&2y&&&&&=&1\\&&-4y&+&z&&&=&0\\&&&&&&-w&=&1\end{array}}\end{array}}

领先变量是 $x,y,w$ 。变量 $z$ 是自由的。(注意，虽然有无限多个解，但其中一个变量的值是固定的—— $w=-1$ )。用 $z$ 表示 $w$ ，有 $w=-1+0z$ 。然后 $y={\frac {1}{4}}z$ 。为了用 $z$ 表示 $x$ ，将 $y$ 代入第一个方程，得到 $x=1-{\frac {1}{2}}z$ 。解集是 $\left\{\left(1-{\frac {1}{2}}z,{\frac {1}{4}}z,z,-1\right){\Bigg |}z\in \mathbb {R} \right\}$ 。

在本节的最后，我们将介绍线性系统及其解集的记号，这些记号将在本书的其余部分使用。

定义 2.6

一个 $m\times n$ 矩阵是一个矩形的数字数组，包含 $m$ 行和 $n$ 列。矩阵中的每个数字都是一个元素。

矩阵通常用大写罗马字母命名，例如 $A$ 。每个元素都用相应的 lowercase letter 表示，例如 $a_{i,j}$ 是数组的第 $i$ 行第 $j$ 列的数字。例如，

A={\begin{pmatrix}1&2.2&5\\3&4&-7\end{pmatrix}}

它有两行三列，因此是一个 $2\times 3$ 矩阵。（读作“二乘三”；行数始终排在前面。）第二行第一列的元素是 $a_{2,1}=3$ 。请注意，下标的顺序很重要： $a_{1,2}\neq a_{2,1}$ ，因为 $a_{1,2}=2.2$ 。（数组周围的括号是一个排版设备，以便当两个矩阵并排时，我们可以辨别出一个矩阵的结束位置和另一个矩阵的开始位置。）

矩阵在本书中随处可见。我们将使用 ${\mathcal {M}}_{n\times m}$ 来表示所有 $n\times m$ 矩阵的集合。

示例 2.7

我们可以用这个矩阵来简化这个线性方程组。

{\begin{array}{*{3}{rc}r}x&+&2y&&&=&4\\&&y&-&z&=&0\\x&&&+&2z&=&4\end{array}}

用这个矩阵。

\left({\begin{array}{ccc|c}1&2&0&4\\0&1&-1&0\\1&0&2&4\end{array}}\right)

垂直线只是提醒读者，系统左侧的系数与右侧的常数之间的区别。当使用一条线将矩阵分成几部分时，我们称之为**增广**矩阵。在这个表示法中，高斯消元法是这样进行的。

\left({\begin{array}{ccc|c}1&2&0&4\\0&1&-1&0\\1&0&2&4\end{array}}\right){\xrightarrow[{}]{-\rho _{1}+\rho _{3}}}\left({\begin{array}{ccc|c}1&2&0&4\\0&1&-1&0\\0&-2&2&0\end{array}}\right){\xrightarrow[{}]{2\rho _{2}+\rho _{3}}}\left({\begin{array}{ccc|c}1&2&0&4\\0&1&-1&0\\0&0&0&0\end{array}}\right)

第二行代表 $y-z=0$ ，第一行代表 $x+2y=4$ ，因此解集为 ${\Big \{}(4-2z,z,z){\Big |}z\in \mathbb {R} {\Big \}}$ 。新符号的一个优点是，高斯消元法的文书工作量——变量的复制， $+$ 和 $=$ 等的书写——减轻了。

我们还将使用数组符号来阐明解集描述。像 $\{(2-2z+2w,-1+z-w,z,w){\big |}z,w\in \mathbb {R} \}$ 来自例 2.3 的描述很难阅读。我们将重写它，将所有常数放在一起，将所有 $z$ 的系数放在一起，以及所有 $w$ 的系数放在一起。我们将它们垂直写入，在一列宽的矩阵中。

\left\{{\begin{pmatrix}2\\-1\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-2\\1\\1\\0\end{pmatrix}}z+{\begin{pmatrix}2\\-1\\0\\1\end{pmatrix}}w{\Bigg |}z,w\in \mathbb {R} \right\}

例如，最上面一行表示 $x=2-2z+2w$ 。下一节将给出几何解释，这将帮助我们以这种方式写出解集时对其进行可视化。

定义 2.8

向量（或列向量）是一个只有一列的矩阵。只有一行的矩阵是一个行向量。向量中的元素是它的分量。

向量是矩阵用大写罗马字母表示的惯例的例外。我们使用带箭头的下标罗马字母或希腊字母： ${\vec {a}},{\vec {b}}$ ... 或 ${\vec {\alpha }},{\vec {\beta }}$ ... （黑体字也很常见： $\mathbf {a}$ 或 ${\boldsymbol {\alpha }}$ ）。例如，这是一个列向量，其第三个分量为 $7$ 。

{\vec {v}}={\begin{pmatrix}1\\3\\7\end{pmatrix}}

定义 2.9

线性方程 $a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=d$ ，其中未知数为 $x_{1},\ldots \,,x_{n}$ ，由

{\vec {s}}={\begin{pmatrix}s_{1}\\\vdots \\s_{n}\end{pmatrix}}

如果 $a_{1}s_{1}+\cdots +a_{n}s_{n}=d$ 。如果一个向量满足线性系统中的每个方程，则该向量满足该线性系统。

我们用来描述解集的风格包括添加向量，以及将它们乘以实数，例如 $z$ 和 $w$ 。我们需要定义这些操作。

定义 2.10

${\vec {u}}$ 和 ${\vec {v}}$ 的**向量和**是这样的。

{\vec {u}}+{\vec {v}}={\begin{pmatrix}u_{1}\\\vdots \\u_{n}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u_{1}+v_{1}\\\vdots \\u_{n}+v_{n}\end{pmatrix}}

一般来说，两个具有相同行数和相同列数的矩阵以这种方式逐项相加。

定义 2.11

实数 $r$ 和向量 ${\vec {v}}$ 的**标量乘法**定义如下。

r\cdot {\vec {v}}=r\cdot {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}rv_{1}\\\vdots \\rv_{n}\end{pmatrix}}

一般来说，任何矩阵都以这种逐项的方式乘以一个实数。

标量乘法可以以任何顺序写： $r\cdot {\vec {v}}$ 或 ${\vec {v}}\cdot r$ ，或者不带 “ $\cdot$ ” 符号： $r{\vec {v}}$ 。（不要将标量乘法称为“标量积”，因为该名称用于不同的运算。）

示例 2.12

{\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}3\\-1\\4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2+3\\3-1\\1+4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5\\2\\5\end{pmatrix}}\qquad 7\cdot {\begin{pmatrix}1\\4\\-1\\-3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}7\\28\\-7\\-21\end{pmatrix}}

请注意，向量加法和标量乘法的定义在它们重叠的地方是一致的，例如， ${\vec {v}}+{\vec {v}}=2{\vec {v}}$ 。

使用定义的符号，我们现在可以用我们在本书中一直使用的这种方式来求解方程组。

示例 2.13

这个系统

{\begin{array}{*{5}{rc}r}2x&+&y&&&-&w&&&=&4\\&&y&&&+&w&+&u&=&4\\x&&&-&z&+&2w&&&=&0\end{array}}

用这种方式简化。

{\begin{array}{rcl}\left({\begin{array}{ccccc|c}2&1&0&-1&0&4\\0&1&0&1&1&4\\1&0&-1&2&0&0\end{array}}\right)&{\xrightarrow[{}]{-\left({\frac {1}{2}}\right)\rho _{1}+\rho _{3}}}&\left({\begin{array}{ccccc|c}2&1&0&-1&0&4\\0&1&0&1&1&4\\0&-{\frac {1}{2}}&-1&{\frac {5}{2}}&0&-2\end{array}}\right)\\[3em]&{\xrightarrow[{}]{\left({\frac {1}{2}}\right)\rho _{2}+\rho _{3}}}&\left({\begin{array}{ccccc|c}2&1&0&-1&0&4\\0&1&0&1&1&4\\0&0&-1&3&{\frac {1}{2}}&0\end{array}}\right)\end{array}}

解集为 $\left\{(w+{\frac {1}{2}}u,4-w-u,3w+{\frac {1}{2}}u,w,u){\Bigg |}w,u\in \mathbb {R} \right\}$ 。我们将它写成向量形式。

\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\\u\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\4\\0\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1\\-1\\3\\1\\0\end{pmatrix}}w+{\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}\\-1\\{\frac {1}{2}}\\0\\1\end{pmatrix}}u{\Bigg |}w,u\in \mathbb {R} \right\}

再次注意向量符号如何很好地将每个参数的系数区分开来。例如，向量形式的第三行清楚地表明，如果 $u$ 保持固定，那么 $z$ 的增长速度是 $w$ 的三倍。

这种格式也清楚地表明存在无限多个解。例如，我们可以固定 $u$ 为 $0$ ，令 $w$ 在实数范围内变化，并考虑第一个分量 $x$ 。我们将得到无限多个第一个分量，因此有无限多个解。

另一个清楚地表明的结论是，将 $w,u$ 都设为 0，则此

{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\\u\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\4\\0\\0\\0\end{pmatrix}}

是线性方程组的特解。

例 2.14

同理，这个方程组

{\begin{array}{*{3}{rc}r}x&-&y&+&z&=&1\\3x&&&+&z&=&3\\5x&-&2y&+&3z&=&5\end{array}}

化简为

\left({\begin{array}{ccc|c}1&-1&1&1\\3&0&1&3\\5&-2&3&5\end{array}}\right){\xrightarrow[{-5\rho _{1}+\rho _{3}}]{-3\rho _{1}+\rho _{2}}}\left({\begin{array}{ccc|c}1&-1&1&1\\0&3&-2&0\\0&3&-2&0\end{array}}\right){\xrightarrow[{}]{-\rho _{2}+\rho _{3}}}\left({\begin{array}{ccc|c}1&-1&1&1\\0&3&-2&0\\0&0&0&0\end{array}}\right)

得到一个参数解集。

\left\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-{\frac {1}{3}}\\{\frac {2}{3}}\\1\end{pmatrix}}z{\Bigg |}z\in \mathbb {R} \right\}

在进行练习之前，我们暂停一下，指出一些我们尚未解决的问题。

前两个小节主要讲解高斯消元法的步骤。除了一个结果—— 定理 1.4——如果没有这个定理，整个方法就无法成立，因为它表明该方法能给出正确答案。我们并没有停下来考虑由此产生的任何有趣问题。

例如，我们能否始终如上描述解集，即某个特定的解向量加上其他一些向量的无限制线性组合？我们用无限制参数描述的解集很容易看出有无穷多个解，因此这个问题的答案可以告诉我们一些关于解集大小的信息。这个问题的答案还可以帮助我们描绘解集，例如在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中，或在 $\mathbb {R} ^{3}$ 中，等等。

观察到高斯消元法可以用多种方式进行（例如，交换行时，我们可能可以选择与哪一行交换），由此产生了许多问题。定理 1.4 指出无论我们如何进行，都必须得到相同的解集，但是如果我们用两种不同的方式进行高斯消元法，我们必须在两次都得到相同数量的自由变量吗？这样，任何两个解集描述就都具有相同数量的参数。这些变量必须相同吗（例如，是否不可能用一种方式解决问题并得到 $y$ 和 $w$ 自由，或者用另一种方式解决并得到 $y$ 和 $z$ 自由)？

在本章的其余部分，我们将回答这些问题。每个问题的答案都是“是”。第一个问题在本节的最后一个小节中得到解答。在第二节中，我们将对解集进行几何描述。在本章的最后一节中，我们将解决最后一组问题。因此，到本章结束时，我们不仅将对高斯消元法的实践有扎实的理解，而且对理论也具有扎实的理解。我们将确定在降阶中可能发生和不可能发生的事情。

练习

建议所有读者完成本练习。

问题 1

如果定义了矩阵的指定条目，请找到该条目。

A={\begin{pmatrix}1&3&1\\2&-1&4\end{pmatrix}}

$a_{2,1}$
$a_{1,2}$
$a_{2,2}$
$a_{3,1}$

建议所有读者完成本练习。

问题 2

给出每个矩阵的大小。

${\begin{pmatrix}1&0&4\\2&1&5\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\\3&-1\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}5&10\\10&5\end{pmatrix}}$

建议所有读者完成本练习。

问题 3

如果定义了向量运算，请执行该运算。

${\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}}$
$5{\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}1\\5\\1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}}$
$7{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}+9{\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}$
$6{\begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}}-4{\begin{pmatrix}2\\0\\3\end{pmatrix}}+2{\begin{pmatrix}1\\1\\5\end{pmatrix}}$

建议所有读者完成本练习。

问题 4

使用矩阵符号求解每个系统。用向量表示解。

${\begin{array}{*{2}{rc}r}3x&+&6y&=&18\\x&+&2y&=&6\end{array}}$
${\begin{array}{*{2}{rc}r}x&+&y&=&1\\x&-&y&=&-1\end{array}}$
${\begin{array}{*{3}{rc}r}x_{1}&&&+&x_{3}&=&4\\x_{1}&-&x_{2}&+&2x_{3}&=&5\\4x_{1}&-&x_{2}&+&5x_{3}&=&17\end{array}}$
${\begin{array}{*{3}{rc}r}2a&+&b&-&c&=&2\\2a&&&+&c&=&3\\a&-&b&&&=&0\end{array}}$
${\begin{array}{*{4}{rc}r}x&+&2y&-&z&&&=&3\\2x&+&y&&&+&w&=&4\\x&-&y&+&z&+&w&=&1\end{array}}$
${\begin{array}{*{4}{rc}r}x&&&+&z&+&w&=&4\\2x&+&y&&&-&w&=&2\\3x&+&y&+&z&&&=&7\end{array}}$

建议所有读者完成本练习。

问题 5

使用矩阵表示法求解每个系统。将每个解集用向量表示法给出。

${\begin{array}{*{3}{rc}r}2x&+&y&-&z&=&1\\4x&-&y&&&=&3\end{array}}$
${\begin{array}{*{4}{rc}r}x&&&-&z&&&=&1\\&&y&+&2z&-&w&=&3\\x&+&2y&+&3z&-&w&=&7\end{array}}$
${\begin{array}{*{4}{rc}r}x&-&y&+&z&&&=&0\\&&y&&&+&w&=&0\\3x&-&2y&+&3z&+&w&=&0\\&&-y&&&-&w&=&0\end{array}}$
${\begin{array}{*{5}{rc}r}a&+&2b&+&3c&+&d&-&e&=&1\\3a&-&b&+&c&+&d&+&e&=&3\end{array}}$

建议所有读者完成本练习。

问题 6

向量在该集合中。参数的什么值会产生该向量？

${\begin{pmatrix}5\\-5\end{pmatrix}}$ , $\{{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}k\,{\big |}\,k\in \mathbb {R} \}$
${\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}}$ , $\{{\begin{pmatrix}-2\\1\\0\end{pmatrix}}i+{\begin{pmatrix}3\\0\\1\end{pmatrix}}j\,{\big |}\,i,j\in \mathbb {R} \}$
${\begin{pmatrix}0\\-4\\2\end{pmatrix}}$ , $\{{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}m+{\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}}n\,{\big |}\,m,n\in \mathbb {R} \}$

问题 7

判断向量是否在集合中。

${\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}}$ , $\{{\begin{pmatrix}-6\\2\end{pmatrix}}k\,{\big |}\,k\in \mathbb {R} \}$
${\begin{pmatrix}5\\4\end{pmatrix}}$ , $\{{\begin{pmatrix}5\\-4\end{pmatrix}}j\,{\big |}\,j\in \mathbb {R} \}$
${\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}}$ , $\{{\begin{pmatrix}0\\3\\-7\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1\\-1\\3\end{pmatrix}}r\,{\big |}\,r\in \mathbb {R} \}$
${\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}$ , $\{{\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}}j+{\begin{pmatrix}-3\\-1\\1\end{pmatrix}}k\,{\big |}\,j,k\in \mathbb {R} \}$

问题 8

对这个一元方程组的解集进行参数化。

x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}=0

建议所有读者完成本练习。

问题 9

将高斯消元法应用于左侧以求解
${\begin{array}{*{4}{rc}r}x&+&2y&&&-&w&=&a\\2x&&&+&z&&&=&b\\x&+&y&&&+&2w&=&c\end{array}}$
对于 $x$ ， $y$ ， $z$ 和 $w$ ，用常数 $a$ ， $b$ 和 $c$ 表示。请注意， $w$ 将是一个自由变量。
使用上一部分的答案来解决这个问题。
${\begin{array}{*{4}{rc}r}x&+&2y&&&-&w&=&3\\2x&&&+&z&&&=&1\\x&+&y&&&+&2w&=&-2\end{array}}$

建议所有读者完成本练习。

问题 10

为什么矩阵元素的表示法 " $a_{i,j}$ " 需要逗号？

建议所有读者完成本练习。

问题 11

给出 $4\!\times \!4$ 矩阵，它的第 $i,j$ 个元素是

$i+j$ ;
$-1$ 的 $i+j$ 次方。

问题 12

对于任何矩阵 $A$ ， $A$ 的 **转置**（记为 ${{A}^{\rm {trans}}}$ ）是将 $A$ 的行变成列的矩阵。求出以下矩阵的转置。

${\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}2&-3\\1&1\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}5&10\\10&5\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}$

建议所有读者完成本练习。

问题 13

描述所有函数 $f(x)=ax^{2}+bx+c$ 使得 $f(1)=2$ 并且 $f(-1)=6$ .
描述所有函数 $f(x)=ax^{2}+bx+c$ 使得 $f(1)=2$ .

问题 14

证明从平面 $\mathbb {R} ^{2}$ 中选出的任意五个点都落在同一个圆锥截面上，也就是说，它们都满足以下形式的方程 $ax^{2}+by^{2}+cxy+dx+ey+f=0$ ，其中一些 $a,\,\ldots \,,f$ 不为零。

问题 15

构造一个具有以下特征的四个方程/四个未知数的方程组：

一个参数解集；
两个参数解集；
三个参数解集。

? 问题 16

解方程组。
${\begin{array}{*{2}{rc}r}ax&+&y&=&a^{2}\\x&+&ay&=&1\end{array}}$
对于哪些 $a$ 的值，该方程组没有解？对于哪些 $a$ 的值，该方程组有无穷多个解？
对方程组回答上述问题。
${\begin{array}{*{2}{rc}r}ax&+&y&=&a^{3}\\x&+&ay&=&1\end{array}}$

(苏联奥林匹克竞赛 #174)

? 问题 17

在空气中，一个镀金球体重 $7588$ 克。已知它可能包含一种或多种金属，包括铝、铜、银或铅。当在标准条件下分别在水、苯、酒精和甘油中称重时，其重量分别为 $6588$ 、 $6688$ 、 $6778$ 和 $6328$ 克。如果指定物质的比重如下，那么它包含多少（如果有）上述金属？

铝	2.7	酒精	0.81
铜	8.9	苯	0.90
金	19.3	甘油	1.26
铅	11.3	水	1.00
银	10.8

(Duncan & Quelch 1952)

解答

参考文献

苏联数学奥林匹克竞赛，第 174 号。
Duncan, Dewey (提案者)； Quelch, W. H. (解答者) (1952), 数学杂志, 26 (1): 48 {{citation}}: 缺少或为空 |title= (帮助); 未知参数 |month= 被忽略 (帮助)

线性代数
← 高斯消元法	描述解集	通解=特解+齐次解 →