线性代数/行列式

在本书的第一章中，我们考虑了线性系统，并挑选出方程个数与未知量个数相同的特殊情况，即形式为$T{\vec {x}}={\vec {b}}$，其中$T$ 是一个方阵。我们注意到 $T$ 的两类之间的区别。虽然这样的系统可能有一个唯一解、无解或无穷多个解，但如果某个特定的 $T$ 与任何系统中的唯一解相关联，例如齐次系统 ${\vec {b}}={\vec {0}}$，那么 $T$ 与每个 ${\vec {b}}$ 的唯一解相关联。我们将这种系数矩阵称为“非奇异”。另一种类型的 $T$，其中它作为系数矩阵的每个线性系统要么无解，要么有无穷多个解，我们称之为“奇异”。

在第二章和第三章中，这种区别的价值一直是一个主题。例如，我们现在知道，$n\!\times \!n$ 矩阵 $T$ 的非奇异性等价于以下每个条件

1. 系统 $T{\vec {x}}={\vec {b}}$ 有解，且该解是唯一的；
2. $T$ 的高斯-约旦消元得到一个单位矩阵；
3. $T$ 的行构成一个线性无关集；
4. $T$ 的列构成 $\mathbb {R} ^{n}$ 的基；
5. $T$ 表示的任何映射都是一个同构；
6. 存在一个逆矩阵 $T^{-1}$。

因此，当我们查看一个特定的方阵时，我们首先要问的问题之一就是它是否是非奇异的。本章将开发一个公式来确定这一点。（由于我们将讨论限制在方阵，因此在本章中，我们通常会简单地说“矩阵”来代替“方阵”。）

更准确地说，我们将开发无穷多个公式，一个用于$1\!\times \!1$矩阵，一个用于$2\!\times \!2$矩阵，等等。当然，这些公式是相关的——也就是说，我们将开发一个公式族，一个描述每种大小公式的方案。