对于 1 × 1 {\displaystyle 1\!\times \!1} 矩阵，确定非奇异性是微不足道的。
( a ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a\end{pmatrix}}} 非奇异当且仅当 a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0}
的 2 × 2 {\displaystyle 2\!\times \!2} 公式是在开发逆矩阵的过程中产生的。
( a b c d ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}} 非奇异当且仅当 a d − b c ≠ 0 {\displaystyle ad-bc\neq 0}
的 3 × 3 {\displaystyle 3\!\times \!3} 公式可以通过类似的方式得到（参见问题 9）。
( a b c d e f g h i ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}} 非奇异当且仅当 a e i + b f g + c d h − h f a − i d b − g e c ≠ 0 {\displaystyle aei+bfg+cdh-hfa-idb-gec\neq 0}
考虑到这些情况，我们提出了一个公式族， a {\displaystyle a} ， a d − b c {\displaystyle ad-bc} 等。对于每个 n {\displaystyle n} ，公式产生了一个行列式函数 det n × n : M n × n → R {\displaystyle \det \nolimits _{n\!\times \!n}:{\mathcal {M}}_{n\!\times \!n}\to \mathbb {R} } ，使得一个 n × n {\displaystyle n\!\times \!n} 矩阵 T {\displaystyle T} 是非奇异的当且仅当 det n × n ( T ) ≠ 0 {\displaystyle \det \nolimits _{n\!\times \!n}(T)\neq 0} 。（我们通常省略下标，因为如果 T {\displaystyle T} 是 n × n {\displaystyle n\!\times \!n} ，那么“ det ( T ) {\displaystyle \det(T)} ”只能意味着“ det n × n ( T ) {\displaystyle \det \nolimits _{n\!\times \!n}(T)} ”。）
