线性代数/行列式作为尺寸函数/解答

解答

问题 1

求所形成区域的体积。

1. $\langle {\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\4\end{pmatrix}}\rangle$
2. $\langle {\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\-2\\4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}8\\-3\\8\end{pmatrix}}\rangle$
3. $\langle {\begin{pmatrix}1\\2\\0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\2\\2\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\3\\0\\5\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\\7\end{pmatrix}}\rangle$

答案

对于每个，求行列式并取绝对值。

1. $7$
2. $0$
3. $58$

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问题 2

是否

${\begin{pmatrix}4\\1\\2\end{pmatrix}}$

位于这三个向量形成的盒子的内部？

${\begin{pmatrix}3\\3\\1\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}2\\6\\1\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}1\\0\\5\end{pmatrix}}$

答案

求解

$c_{1}{\begin{pmatrix}3\\3\\1\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}2\\6\\1\end{pmatrix}}+c_{3}{\begin{pmatrix}1\\0\\5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4\\1\\2\end{pmatrix}}$

给出了唯一的解 $c_{3}=11/57$，$c_{2}=-40/57$ 和 $c_{1}=99/57$。因为 $c_{1}>1$，该向量不在方框内。

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问题 3

求该区域的体积。

答案

将平行六面体移动到原点开始，使其成为由以下内容组成的方框：

$\langle {\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}\rangle$

现在，该行列式的绝对值很容易计算为 $3$。

${\begin{vmatrix}3&2\\0&1\end{vmatrix}}=3$

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问题 4

假设 $\left|A\right|=3$。这些变换使体积变化了多少倍？

1. $A$
2. $A^{2}$
3. $A^{-2}$

答案

1. $3$
2. $9$
3. $1/9$

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问题 5

每个变换使方框的大小变化了多少倍？

1. ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}2x\\3y\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}3x-y\\-2x+y\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}x-y\\x+y+z\\y-2z\end{pmatrix}}$

答案

用标准基表示每个变换并求出行列式。

1. $6$
2. $-1$
3. $-5$

问题 6

在这个矩阵的作用下，矩形$[2..4]\times [2..5]$的像的面积是多少？

${\begin{pmatrix}2&3\\4&-1\end{pmatrix}}$

答案

初始面积为$6$，矩阵将大小改变了$-14$。因此，像的面积为$84$。

问题 7

如果$t:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ 将体积改变了$7$倍，而$s:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ 将体积改变了$3/2$倍，那么它们的复合函数将体积改变多少倍？

答案

改变了$21/2$倍。

问题 8

盒子的定义与跨度的定义有何不同？

答案

对于一个盒，我们取一系列向量（如备注中所述，向量的取顺序很重要），而对于一个线性空间，我们取一组向量。此外，对于一个盒子，它是$\mathbb {R} ^{n}$ 的子集，必须有$n$个向量；当然，对于一个线性空间，可以有任意数量的向量。最后，对于一个盒，系数$t_{1}$，…，$t_{n}$被限制在区间$[0..1]$内，而对于一个线性空间，系数可以在整个$\mathbb {R}$上取值。

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问题 9

为什么这张图不与定理 1.5矛盾？

	${\xrightarrow[{}]{\scriptstyle {\begin{pmatrix}2&1\\0&1\end{pmatrix}}}}$
面积是$2$	行列式是$2$	面积是$5$

答案

这张图是为了误导而绘制的。左边的图不是由两个向量形成的盒。如果我们将其滑动到原点，那么它就变成了由这个序列形成的盒。

$\langle {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}}\rangle$

然后矩阵作用下的像是由这个序列形成的盒。

$\langle {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}}\rangle$

其面积为$4$。

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问题 10

是否$\left|TS\right|=\left|ST\right|$？$\left|T(SP)\right|=\left|(TS)P\right|$？

答案

两者都是肯定的。例如，第一个是$\left|TS\right|=\left|T\right|\cdot \left|S\right|=\left|S\right|\cdot \left|T\right|=\left|ST\right|$。

问题 11

1. 假设$\left|A\right|=3$ 且 $\left|B\right|=2$。求 $\left|A^{2}\cdot {{B}^{\rm {trans}}}\cdot B^{-2}\cdot {{A}^{\rm {trans}}}\right|$。
2. 假设$\left|A\right|=0$。证明$\left|6A^{3}+5A^{2}+2A\right|=0$。

答案

1. 如果其定义存在，则结果为$(3^{2})\cdot (2)\cdot (2^{-2})\cdot (3)$。
2. $\left|6A^{3}+5A^{2}+2A\right|=\left|A\right|\cdot \left|6A^{2}+5A+2I\right|$.

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问题 12

令$T$ 为表示（相对于标准基）将平面向量逆时针旋转$\theta$ 弧度的映射的矩阵。$T$ 将大小改变多少倍？

答案

${\begin{vmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{vmatrix}}=1$

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问题 13

保持面积的变换$t:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ 一定也保持长度吗？

答案

不，例如，

$T={\begin{pmatrix}2&0\\0&1/2\end{pmatrix}}$ 的行列式

是$1$，因此它保持面积不变，但向量$T{\vec {e}}_{1}$的长度为$2$。

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问题 14

在$\mathbb {R} ^{3}$中，由线性相关集合限定的平行六面体的体积是多少？

答案

是零。

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问题 15

求$\mathbb {R} ^{3}$中三角形的面积，其端点为$(1,2,1)$、$(3,-1,4)$和$(2,2,2)$。（面积，而不是体积。三角形定义了一个平面——该平面中三角形的面积是多少？）

答案

三角形的三个边中有两个是由这些向量形成的。

${\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}3\\-1\\4\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\-3\\3\end{pmatrix}}$

找到该三角形面积的一种方法是生成一个与这两个向量正交的单位向量。从这两个关系

${\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}2\\-3\\3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$

我们得到一个系统

${\begin{array}{*{3}{rc}r}x&&&+&z&=&0\\2x&-&3y&+&3z&=&0\end{array}}\;{\xrightarrow[{}]{-2\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\begin{array}{*{3}{rc}r}x&&&+&z&=&0\\&&-3y&+&z&=&0\end{array}}$

以及该解集。

$\{{\begin{pmatrix}-1\\1/3\\1\end{pmatrix}}z\,{\big |}\,z\in \mathbb {R} \},$

长度为1的一个解如下所示。

${\frac {1}{\sqrt {19/9}}}{\begin{pmatrix}-1\\1/3\\1\end{pmatrix}}$

因此，三角形的面积为此行列式的绝对值。

${\begin{vmatrix}1&2&-3/{\sqrt {19}}\\0&-3&1/{\sqrt {19}}\\1&3&3/{\sqrt {19}}\end{vmatrix}}=-12/{\sqrt {19}}$

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习题 16

对定理 1.5 的另一种证明使用了行列式函数的定义。

1. 请注意，形成$S$ 的向量仅当$\left|S\right|=0$ 时构成线性相关的集合，并检查结果在这种情况下是否成立。
2. 对于$\left|S\right|\neq 0$ 的情况，为了证明对所有变换$\left|TS\right|/\left|S\right|=\left|T\right|$ 都成立，请考虑由$T\mapsto \left|TS\right|/\left|S\right|$ 给出的函数$d:{\mathcal {M}}_{n\!\times \!n}\to \mathbb {R}$。请证明$d$ 具有行列式的第一个性质。

3. 证明$d$具有行列式函数的其他三个性质。
4. 由此得出$\left|TS\right|=\left|T\right|\cdot \left|S\right|$。

答案

1. 因为线性相关集的像也是线性相关的，如果构成$S$的向量构成一个线性相关集，使得$\left|S\right|=0$，那么构成$t(S)$的向量构成一个线性相关集，使得$\left|TS\right|=0$，在这种情况下，等式成立。

2. 我们必须检查如果 $T[b]{\xrightarrow[{}]{k\rho _{i}+\rho _{j}}}{\hat {T}}$，则 $d(T)=\left|TS\right|/\left|S\right|=\left|{\hat {T}}S\right|/\left|S\right|=d({\hat {T}})$。我们可以通过检查先进行主元运算，然后进行乘法得到 ${\hat {T}}S$ 是否与先进行乘法得到 $TS$，然后进行主元运算得到的结果相同（因为行列式 $\left|TS\right|$不受主元运算的影响，因此我们将得到 $\left|{\hat {T}}S\right|=\left|TS\right|$，因此 $d({\hat {T}})=d(T)$）。此检查运行如下：在将 $k$ 倍的第 $i$ 行的 $TS$ 加到第 $j$ 行的 $TS$ 后，第 $j,p$ 个元素是 $(kt_{i,1}+t_{j,1})s_{1,p}+\dots +(kt_{i,r}+t_{j,r})s_{r,p}$，这正是 ${\hat {T}}S$ 的第 $j,p$ 个元素。

3. 对于第二个性质，我们只需要检查交换$T[b]{\xrightarrow[{}]{\rho _{i}\leftrightarrow \rho _{j}}}{\hat {T}}$，然后相乘得到${\hat {T}}S$的结果是否与先将$T$与$S$相乘，然后再交换（因为行列式$\left|TS\right|$在行交换时会改变符号，那么我们将有$\left|{\hat {T}}S\right|=-\left|TS\right|$，因此$d({\hat {T}})=-d(T)$）相同。这个检查与第一个性质的检查一样。对于第三个性质，我们只需要证明执行$T[b]{\xrightarrow[{}]{k\rho _{i}}}{\hat {T}}$，然后计算${\hat {T}}S$的结果是否与先计算$TS$，然后再执行标量乘法（因为行列式$\left|TS\right|$按$k$进行重新缩放，我们将有$\left|{\hat {T}}S\right|=k\left|TS\right|$，因此$d({\hat {T}})=k\,d(T)$）相同。这里，论证也与上面一样。第四个性质，如果$T$是$I$，则结果为$1$，是显而易见的。

4. 行列式函数是唯一的，因此$\left|TS\right|/\left|S\right|=d(T)=\left|T\right|$，因此$\left|TS\right|=\left|T\right|\left|S\right|$。

问题 17

给出一个非单位矩阵，该矩阵具有${{A}^{\rm {trans}}}=A^{-1}$的性质。证明如果${{A}^{\rm {trans}}}=A^{-1}$，则$\left|A\right|=\pm 1$。反之是否成立？

答案

任何置换矩阵都具有其转置矩阵等于其逆矩阵的性质。

对于蕴含关系，我们知道$\left|{{A}^{\rm {trans}}}\right|=\left|A\right|$。然后$1=\left|A\cdot A^{-1}\right|=\left|A\cdot {{A}^{\rm {trans}}}\right|=\left|A\right|\cdot \left|{{A}^{\rm {trans}}}\right|=\left|A\right|^{2}$。

反之不成立；以下是一个例子。

${\begin{pmatrix}3&1\\2&1\end{pmatrix}}$

问题 18

行列式的代数性质表明，从单行中提取一个标量会将行列式乘以该标量，其中$H$是$3\!\times \!3$，则$cH$的行列式是$c^{3}$倍于$H$的行列式。从几何上解释这一点，即使用定理 1.5。

答案

当盒子的边长变为原来的 $c$ 倍时，盒子的体积将变为原来的 $c^{3}$ 倍。

建议所有读者完成此练习。

习题 19

如果存在一个非奇异矩阵 $P$ 使得 $H=P^{-1}GP$，则称矩阵 $H$ 和 $G$ **相似**（我们在第五章会详细研究这种关系）。证明相似矩阵具有相同的行列式。

答案

如果 $H=P^{-1}GP$，那么 $\left|H\right|=\left|P^{-1}\right|\left|G\right|\left|P\right|=\left|P^{-1}\right|\left|P\right|\left|G\right|=\left|P^{-1}P\right|\left|G\right|=\left|G\right|$。

习题 20

我们通常使用标准基来表示 $\mathbb {R} ^{2}$ 中的向量，因此第一象限的向量两个坐标都为正。

         ${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2}}({\vec {v}})={\begin{pmatrix}+3\\+2\end{pmatrix}}$

逆时针绕原点旋转，我们会依次经过四个区域

$\cdots \;\longrightarrow {\begin{pmatrix}+\\+\end{pmatrix}}\;\longrightarrow {\begin{pmatrix}-\\+\end{pmatrix}}\;\longrightarrow {\begin{pmatrix}-\\-\end{pmatrix}}\;\longrightarrow {\begin{pmatrix}+\\-\end{pmatrix}}\;\longrightarrow \cdots \,.$

使用这个基

$B=\langle {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}}\rangle$         

也会得到相同的逆时针循环。我们说这两个基具有相同的**方向**。

1. 为什么它们会产生相同的循环？
2. 轴上单位向量的哪些其他配置会产生相同的循环？
3. 求由这些（有序）基形成的矩阵的行列式。
4. 还可能有哪些其他逆时针循环，以及它们对应的行列式是多少？
5. 在 $\mathbb {R} ^{1}$ 中会发生什么情况？

6. 在$\mathbb {R} ^{3}$中会发生什么？

关于方向的一篇引人入胜的通俗讨论见于（Gardner 1990）。

答案

1. 新的基是旧的基旋转了$\pi /4$。
2. $\langle {\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix}}\rangle$，$\langle {\begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\rangle$
3. 在每种情况下，行列式都为$+1$（据说这些基具有正方向）。
4. 因为一次只能改变一个符号，所以唯一可能的另一个循环是

   $\cdots \;\longrightarrow {\begin{pmatrix}+\\+\end{pmatrix}}\;\longrightarrow {\begin{pmatrix}+\\-\end{pmatrix}}\;\longrightarrow {\begin{pmatrix}-\\-\end{pmatrix}}\;\longrightarrow {\begin{pmatrix}-\\+\end{pmatrix}}\;\longrightarrow \cdots \,.$

   这里每个相关的行列式都是$-1$（据说这样的基具有负方向）。
5. 有一个正方向的基$\langle (1)\rangle$和一个负方向的基$\langle (-1)\rangle$。
6. 有$48$个基（第一个单位向量有$6$种半轴选择，第二个有$4$种，最后一个有$2$种）。一半像下面左边所示的标准基一样具有正方向，一半像右边一样具有负方向。

                   

   在$\mathbb {R} ^{3}$中，正方向有时被称为“右手方向”，因为如果将一个人的右手放置，手指从${\vec {e}}_{1}$弯曲到${\vec {e}}_{2}$，那么拇指将指向${\vec {e}}_{3}$的方向。

习题 21

本题使用“行列式函数存在”小节中的选修内容。利用行列式的排列展开公式证明定理 1.5。

答案

我们将比较$\det({\vec {s}}_{1},\dots ,{\vec {s}}_{n})$ 与 $\det(t({\vec {s}}_{1}),\dots ,t({\vec {s}}_{n}))$，以证明第二个与第一个相差$\left|T\right|$ 倍。我们用标准基表示${\vec {s}}\,$。

${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{n}}({\vec {s}}_{i})={\begin{pmatrix}s_{1,i}\\s_{2,i}\\\vdots \\s_{n,i}\end{pmatrix}}$

然后我们用矩阵向量乘法表示映射应用。

${\begin{array}{rl}{\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{n}}(\,t({\vec {s}}_{i})\,)&=\left({\begin{array}{cccc}t_{1,1}&t_{1,2}&\ldots &t_{1,n}\\t_{2,1}&t_{2,2}&\ldots &t_{2,n}\\&\vdots \\t_{n,1}&t_{n,2}&\ldots &t_{n,n}\end{array}}\right){\begin{pmatrix}s_{1,j}\\s_{2,j}\\\vdots \\s_{n,j}\end{pmatrix}}\\&=s_{1,j}{\begin{pmatrix}t_{1,1}\\t_{2,1}\\\vdots \\t_{n,1}\end{pmatrix}}+s_{2,j}{\begin{pmatrix}t_{1,2}\\t_{2,2}\\\vdots \\t_{n,2}\end{pmatrix}}+\dots +s_{n,j}{\begin{pmatrix}t_{1,n}\\t_{2,n}\\\vdots \\t_{n,n}\end{pmatrix}}\\&=s_{1,j}{\vec {t}}_{1}+s_{2,j}{\vec {t}}_{2}+\dots +s_{n,j}{\vec {t}}_{n}\end{array}}$

其中 ${\vec {t}}_{i}$ 是 $T$ 的第 $i$ 列。那么 $\det(t({\vec {s}}_{1}),\,\dots ,\,t({\vec {s}}_{n}))$ 等于 $\det(s_{1,1}{\vec {t}}_{1}\!+\!s_{2,1}{\vec {t}}_{2}\!+\!\dots \!+\!s_{n,1}{\vec {t}}_{n},\,\dots ,\,s_{1,n}{\vec {t}}_{1}\!+\!s_{2,n}{\vec {t}}_{2}\!+\!\dots \!+\!s_{n,n}{\vec {t}}_{n})$。

如同在排列展开公式推导中一样，我们首先应用多线性性质，沿着第一个参数的和进行分解

$\det(s_{1,1}{\vec {t}}_{1},\,\dots ,\,s_{1,n}{\vec {t}}_{1}+s_{2,n}{\vec {t}}_{2}+\dots +s_{n,n}{\vec {t}}_{n})+\cdots {}+\det(s_{n,1}{\vec {t}}_{n},\,\ldots ,\,s_{1,n}{\vec {t}}_{1}+s_{2,n}{\vec {t}}_{2}+\dots +s_{n,n}{\vec {t}}_{n})$

然后将每个$n$个加数沿着第二个参数中的和进行分解，等等。最后，如同排列展开式的推导中一样，我们得到$n^{n}$个加数行列式，每个行列式都具有$\det(s_{i_{1},1}{\vec {t}}_{i_{1}},s_{i_{2},2}{\vec {t}}_{i_{2}},\,\dots ,\,s_{i_{n},n}{\vec {t}}_{i_{n}})$的形式。将每个$s_{i,j}$因子提取出来$=s_{i_{1},1}s_{i_{2},2}\dots s_{i_{n},n}\cdot \det({\vec {t}}_{i_{1}},{\vec {t}}_{i_{2}},\,\dots ,\,{\vec {t}}_{i_{n}})$。

如同排列展开推导中所述，只要$i_{1}$，…，$i_{n}$中的任意两个索引相等，则行列式将有两个相同的参数，并计算结果为$0$。因此，我们只需要考虑$i_{1}$，…，$i_{n}$构成数字$1$，…，$n$的一个排列的情况。因此，我们有

$\det(t({\vec {s}}_{1}),\dots ,t({\vec {s}}_{n}))=\sum _{{\text{permutations }}\phi }s_{\phi (1),1}\dots s_{\phi (n),n}\det({\vec {t}}_{\phi (1)},\dots ,{\vec {t}}_{\phi (n)}).$

交换$\det({\vec {t}}_{\phi (1)},\ldots ,{\vec {t}}_{\phi (n)})$中的列以得到矩阵$T$，这会使符号改变一个因子$\operatorname {sgn} {\phi }$，然后提取$T$的行列式。

$=\sum _{\phi }s_{\phi (1),1}\dots s_{\phi (n),n}\det({\vec {t}}_{1},\dots ,{\vec {t}}_{n})\cdot \operatorname {sgn} {\phi }=\det(T)\sum _{\phi }s_{\phi (1),1}\dots s_{\phi (n),n}\cdot \operatorname {sgn} {\phi }.$

如同证明矩阵的行列式等于其转置矩阵的行列式的过程，我们将$s$进行交换，使得它们按照升序的行号排列，而不是按照升序的列号排列（并且我们将$\operatorname {sgn}(\phi ^{-1})$替换为$\operatorname {sgn}(\phi )$）。

$=\det(T)\sum _{\phi }s_{1,\phi ^{-1}(1)}\dots s_{n,\phi ^{-1}(n)}\cdot \operatorname {sgn} {\phi ^{-1}}=\det(T)\det({\vec {s}}_{1},{\vec {s}}_{2},\dots ,{\vec {s}}_{n})$

建议所有读者完成此练习。

问题 22

1. 证明这给出了$\mathbb {R} ^{2}$中过$(x_{2},y_{2})$和$(x_{3},y_{3})$的直线方程。

   ${\begin{vmatrix}x&x_{2}&x_{3}\\y&y_{2}&y_{3}\\1&1&1\end{vmatrix}}=0$

2. （Peterson 1955）证明顶点为$(x_{1},y_{1})$、$(x_{2},y_{2})$和$(x_{3},y_{3})$的三角形的面积是

   ${\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\1&1&1\end{vmatrix}}.$

3. (Bittinger 1973) 证明顶点在$(x_{1},y_{1})$，$(x_{2},y_{2})$，以及$(x_{3},y_{3})$的三角形的面积，其坐标为整数，其面积为$N$或$N/2$，其中$N$为某个正整数。

答案

1. 代数检验很容易。

   $0=xy_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y-x_{3}y_{2}-xy_{3}-x_{2}y=x\cdot (y_{2}-y_{3})+y\cdot (x_{3}-x_{2})+x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}$

   简化为熟悉的形式

   $y=x\cdot (x_{3}-x_{2})/(y_{3}-y_{2})+(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2})/(y_{3}-y_{2})$

   ($y_{3}-y_{2}=0$的情况很容易处理)。为了获得几何直观，这张图显示了三个向量形成的盒子。请注意，所有三个向量都终止于$z=1$平面。在右侧的两个向量下方是穿过$(x_{2},y_{2})$和$(x_{3},y_{3})$的直线。

   

   除非由三个端点形成的三角形是退化的，否则该盒子的体积将不为零。只有当（假设$(x_{2},y_{3})\neq (x_{3},y_{3})$) $(x,y)$位于其他两点所在的直线上时，才会发生这种情况。

2. 这是引用的来源中给出的答案。经过$(x_{1},y_{1})$的三角形的高，其顶点为$(x_{1},y_{1})$ $(x_{2},y_{2})$和$(x_{3},y_{3})$，是根据上述法线的标准形式以通常的方式找到的。

   ${\frac {1}{\sqrt {(x_{2}-x_{3})^{2}+(y_{2}-y_{3})^{2}}}}{\begin{vmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\1&1&1\end{vmatrix}}.$

   另一步显示三角形的面积为

   ${\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\1&1&1\end{vmatrix}}.$

   这种阐述比通常证明中将一系列项与行列式等同起来的方法更清楚地揭示了操作方式。
3. 这是引用的来源中给出的答案。令

   $D={\begin{vmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\1&1&1\end{vmatrix}}$

   则三角形的面积为$(1/2)\left|D\right|$。现在，如果所有坐标都是整数，则$D$是一个整数。

参考文献

• Bittinger，Marvin（提出者）（1973），“Quickie 578”，《数学杂志》，美国数学学会，46（5）：286，296 {{引用}}: 忽略未知参数|month=（帮助）.
• Gardner，Martin（1990），《新的双向宇宙》，W. H. Freeman 和公司 {{引用}}: 忽略未知参数|editition=（帮助）.
• Peterson，G. M.（1955），“三角形的面积”，《美国数学月刊》，美国数学学会，62（4）：249 {{引用}}: 忽略未知参数|month=（帮助）.
• Weston，J. D.（1959），“向量空间中的体积”，《美国数学月刊》，美国数学学会，66（7）：575–577 {{引用}}: 忽略未知参数|month=（帮助）.