线性代数/维度/解

解

除非另有说明，假设所有空间都是有限维的。

此练习推荐给所有读者。

问题 1

找到 ${\mathcal {P}}_{2}$ 的一个基，以及它的维度。

答案

一个基是 $\langle 1,x,x^{2}\rangle$ ，因此维度是三。

问题 2

找到这个方程组解集的一个基，以及它的维度。

{\begin{array}{*{4}{rc}r}x_{1}&-&4x_{2}&+&3x_{3}&-&x_{4}&=&0\\2x_{1}&-&8x_{2}&+&6x_{3}&-&2x_{4}&=&0\end{array}}

答案

解集是

\{{\begin{pmatrix}4x_{2}-3x_{3}+x_{4}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x_{2},x_{3},x_{4}\in \mathbb {R} \}

因此一个自然基是

\langle {\begin{pmatrix}4\\1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-3\\0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}}\rangle

（检查线性无关很容易）。因此维度是三。

此练习推荐给所有读者。

问题 3

找到 ${\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}$ 的一个基，以及它的维度， $2\!\times \!2$ 矩阵的向量空间。

答案

对于这个空间

\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a,b,c,d\in \mathbb {R} \}=\{a\cdot {\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}+\dots +d\cdot {\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a,b,c,d\in \mathbb {R} \}

这是一个自然基。

\langle {\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\rangle

维度是四。

问题 4

求矩阵向量空间的维度

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}

满足以下条件。

$a,b,c,d\in \mathbb {R}$
$a-b+2c=0$ 以及 $d\in \mathbb {R}$
$a+b+c=0$ ， $a+b-c=0$ 以及 $d\in \mathbb {R}$

答案

与前面的练习一样，空间 ${\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}$ 中的矩阵没有限制，有这个基
$\langle {\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\rangle$
因此维度是四。
对于这个空间
$\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a=b-2c{\text{ and }}d\in \mathbb {R} \}=\{b\cdot {\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}}+c\cdot {\begin{pmatrix}-2&0\\1&0\end{pmatrix}}+d\cdot {\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\,{\big |}\,b,c,d\in \mathbb {R} \}$
这是一个自然基。
$\langle {\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-2&0\\1&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\rangle$
维数为三。
将高斯方法应用于二元一次方程组，得出 $c=0$ 以及 $a=-b$ 。因此，我们有以下描述
$\{{\begin{pmatrix}-b&b\\0&d\end{pmatrix}}\,{\big |}\,b,d\in \mathbb {R} \}=\{b\cdot {\begin{pmatrix}-1&1\\0&0\end{pmatrix}}+d\cdot {\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\,{\big |}\,b,d\in \mathbb {R} \}$
因此，这是一个自然基。
$\langle {\begin{pmatrix}-1&1\\0&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\rangle$
维数为二。

此练习推荐给所有读者。

问题 5

求出每个空间的维数。

使得 $p(7)=0$ 的三次多项式 $p(x)$ 的空间
使得 $p(7)=0$ 以及 $p(5)=0$ 的三次多项式 $p(x)$ 的空间
满足以下条件的三次多项式 $p(x)$ 的空间： $p(7)=0$ ， $p(5)=0$ 和 $p(3)=0$
满足以下条件的三次多项式 $p(x)$ 的空间： $p(7)=0$ ， $p(5)=0$ ， $p(3)=0$ 和 $p(1)=0$

答案

这些空间的基在之前小节的答案集中给出。

一个基是 $\langle -7+x,-49+x^{2},-343+x^{3}\rangle$ 。维度为3。
一个基是 $\langle 35-12x+x^{2},420-109x+x^{3}\rangle$ ，因此维度为2。
一个基是 $\{-105+71x-15x^{2}+x^{3}\}$ 。维度为1。
这是 ${\mathcal {P}}_{3}$ 的平凡子空间，因此基为空。维度为0。

问题 6

集合 $\{\cos ^{2}\theta ,\sin ^{2}\theta ,\cos 2\theta ,\sin 2\theta \}$ 的生成空间的维度是多少？该生成空间是所有一个实变量的实值函数空间的子空间。

答案

首先回顾一下 $\cos 2\theta =\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta$ ，因此从该集合中删除 $\cos 2\theta$ 并不会改变其生成空间。剩余的集合 $\{\cos ^{2}\theta ,\sin ^{2}\theta ,\sin 2\theta \}$ 是线性无关的（考虑关系式 $c_{1}\cos ^{2}\theta +c_{2}\sin ^{2}\theta +c_{3}\sin 2\theta =Z(\theta )$ ，其中 $Z$ 是零函数，然后取 $\theta =0$ ， $\theta =\pi /4$ 和 $\theta =\pi /2$ 得出每个 $c$ 都为零）。因此它是其生成空间的一组基。这表明该生成空间是一个三维向量空间。

问题 7

求 $\mathbb {C} ^{47}$ 的维数，它是 $47$ 元复数的有序数组的向量空间。

答案

这儿有一组基

\langle (1+0i,0+0i,\dots ,0+0i),\,(0+1i,0+0i,\dots ,0+0i),(0+0i,1+0i,\dots ,0+0i),\ldots \rangle

因此维数为 $2\cdot 47=94$ 。

问题 8

向量空间 ${\mathcal {M}}_{3\!\times \!5}$ 的维数是多少，它是 $3\!\times \!5$ 矩阵的向量空间？

答案

一组基是

\langle {\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}},\dots ,{\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}\rangle

因此，该空间的维数为 $3\cdot 5=15$ .

此练习推荐给所有读者。

问题 9

证明该集合是 $\mathbb {R} ^{4}$ 的一个基。

\langle {\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}}\rangle

（本节的结果可以用来简化这项任务）

答案

在四维空间中，只有当四个向量的集合能张成该空间时，该集合才是线性无关的。这些向量的形式使得线性无关性很容易证明（观察第四个分量的方程，然后观察第三个分量的方程，依此类推）。

问题 10

参考例 2.9.

为 ${\mathcal {P}}_{2}$ 绘制类似的子空间图。
为 ${\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}$ 绘制一个。

答案

对于 ${\mathcal {P}}_{2}$ ，该图有四层。顶层只有一个三维子空间，即 ${\mathcal {P}}_{2}$ 本身。下一层包含二维子空间（不仅仅是线性多项式；任何二维子空间，例如形式为 $ax^{2}+b$ 的多项式）。再往下是一维子空间。最后，当然，是唯一的零维子空间，即平凡子空间。
对于 ${\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}$ ，该图有五层，包括四维到零维的子空间。

此练习推荐给所有读者。

问题 11: 当 $S$ 是一个集合时，函数 $f:S\to \mathbb {R}$ 在自然运算下构成向量空间：和 $f+g$ 是由 $f+g\,(s)=f(s)+g(s)$ 给出的函数，标量积由 $r\cdot f\,(s)=r\cdot f(s)$ 给出。对于每个域，空间的维度是多少？

$S=\{1\}$
$S=\{1,2\}$
$S=\{1,\ldots ,n\}$

答案

一
二
$n$

问题 12

(参见问题 11。) 证明这是一个无限维空间：在自然运算下，所有函数 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ 的集合。

答案

我们只需要生成一个无限线性无关的集合。一个例子是 $\langle f_{1},f_{2},\ldots \rangle$ ，其中 $f_{i}:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ 是

f_{i}(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x=i\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}

即在 $x=i$ 处值为 $1$ 的函数。

问题 13

(参见问题 11。) 函数向量空间的维度是多少 $f:S\to \mathbb {R}$ ，在自然运算下，其中定义域 $S$ 是空集？

答案

考虑到函数是一个集合，更具体地说，是一组有序对 $(x,f(x))$ ，那么唯一具有空定义域的函数是空集。因此，这是一个平凡的向量空间，其维度为零。

问题 14

证明 $\mathbb {R} ^{2}$ 中的任何四个向量集都是线性相关的。

答案

应用推论 2.8。

问题 15

证明集合 $\langle {\vec {\alpha }}_{1},{\vec {\alpha }}_{2},{\vec {\alpha }}_{3}\rangle \subset \mathbb {R} ^{3}$ 是一个基当且仅当不存在通过原点的平面包含所有三个向量。

答案

一个平面具有形式 $\{{\vec {p}}+t_{1}{\vec {v}}_{1}+t_{2}{\vec {v}}_{2}\,{\big |}\,t_{1},t_{2}\in \mathbb {R} \}$ 。(第一章也将其称为 " $2$ -平面”，并讨论了为什么这等同于微积分中通常使用的描述，即点集 $(x,y,z)$ 满足条件 $ax+by+cz=d$ )。当平面通过原点时，我们可以取特定向量 ${\vec {p}}$ 为 ${\vec {0}}$ 。因此，在我们本章中开发的语言中，通过原点的平面是两个向量集的生成空间。

现在看陈述。断言三个向量不共面，等同于断言没有向量位于另外两个向量的生成空间中——没有向量是另外两个向量的线性组合。这仅仅是断言三元素集是线性无关的。根据推论 2.12，这等同于断言该集合是 $\mathbb {R} ^{3}$ 的基。

问题 16

证明有限维空间的任何子空间都有一个基。
证明有限维空间的任何子空间都是有限维的。

答案

令空间 $V$ 是有限维的。令 $S$ 是 $V$ 的子空间。

空集是 $S$ 的一个线性无关子集。根据推论 2.10，它可以扩展为向量空间 $S$ 的一个基。
子空间 $S$ 的任何基都是超空间 $V$ 中的一个线性无关集合。因此它可以扩展为超空间的基，而超空间是有限维的。所以它只有有限多个成员。

问题 17

在定理 2.3 中，哪里用到了 $B$ 的有限性？

答案

它确保我们穷尽了所有的 ${\vec {\beta }}$ 。也就是说，它证明了最后一段的第一句话。

此练习推荐给所有读者。

问题 18

证明如果 $U$ 和 $W$ 都是 $\mathbb {R} ^{5}$ 中的三个维子空间，那么 $U\cap W$ 是非平凡的。推广这个结果。

答案

令 $B_{U}$ 是 $U$ 的基，令 $B_{W}$ 是 $W$ 的基。集合 $B_{U}\cup B_{W}$ 是线性相关的，因为它是五维空间 $\mathbb {R} ^{5}$ 的六个元素的子集。因此， $B_{W}$ 中的一些元素在 $B_{U}$ 的生成空间中，因此 $U\cap W$ 不仅仅是平凡空间 $\{{\vec {0}}\,\}$ 。

推广：如果 $U,W$ 是维数为 $n$ 的向量空间的子空间，并且如果 $\dim(U)+\dim(W)>n$ ，那么它们有一个非平凡的交集。

问题 19

因为一个空间的基是该空间的子集，我们自然会想到“是基”这个属性与集合运算的关系。

首先考虑基底如何通过“子集”相关联。假设 $U,W$ 是某个向量空间的子空间，并且 $U\subseteq W$ 。是否可以存在 $B_{U}$ 作为 $U$ 的基底，和 $B_{W}$ 作为 $W$ 的基底，使得 $B_{U}\subseteq B_{W}$ ？这些基底必须存在吗？对于 $U$ 的任何基底 $B_{U}$ ，是否一定存在 $B_{W}$ 作为 $W$ 的基底，使得 $B_{U}\subseteq B_{W}$ ？对于 $W$ 的任何基底 $B_{W}$ ，是否一定存在 $B_{U}$ 作为 $U$ 的基底，使得 $B_{U}\subseteq B_{W}$ ？对于 $U$ 和 $W$ 的任何基底 $B_{U},B_{W}$ ， $B_{U}$ 是否一定为 $B_{W}$ 的子集？
基底的交集是基底吗？对于什么空间？
基底的并集是基底吗？对于什么空间？
补集呢？

(提示： 对 $\mathbb {R} ^{3}$ 的一些子空间测试任何猜想。)

答案

首先，请注意，一个集合是某个空间的基底，当且仅当它是线性无关的，因为在这种情况下，它是它自身生成空间的基底。

第二段中问题的答案是“是”（意味着第一段中两个问题的答案都是“是”。如果 $B_{U}$ 是 $U$ 的基底，则 $B_{U}$ 是 $W$ 的线性无关子集。应用推论 2.10 将其扩展为 $W$ 的基底。这就是所需的 $B_{W}$ 。第三段中问题的答案是“否”，这意味着第四段问题的答案也是“否”。以下是一个超空间基底的例子，其中没有子基底构成子空间的基底：在 $W=\mathbb {R} ^{2}$ 中，考虑标准基底 ${\mathcal {E}}_{2}$ 。 ${\mathcal {E}}_{2}$ 的任何子基底都不会构成子空间 $U$ 的基底，该子空间是 $\mathbb {R} ^{2}$ 中的直线 $y=x$ 。
它是一个基底（对于其生成空间），因为线性无关集合的交集是线性无关的（交集是每个线性无关集合的子集）。但是，它不是空间交集的基底。例如，这些是 $\mathbb {R} ^{2}$ 的基底
$B_{1}=\langle {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\rangle \quad {\text{and}}\quad B_{2}=\langle {\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}}\rangle$
并且 $\mathbb {R} ^{2}\cap \mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} ^{2}$ ，但 $B_{1}\cap B_{2}$ 为空。我们只能说基的交集是空间交集的子集的基。
基的并集不一定是一个基：在 $\mathbb {R} ^{2}$
$B_{1}=\langle {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\rangle \quad {\text{and}}\quad B_{2}=\langle {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}}\rangle$
的并集 $B_{1}\cup B_{2}$ 不是线性无关的。两个基的并集是基的充要条件是
$B_{1}\cup B_{2}{\text{ is linearly independent }}\quad \iff \quad [B_{1}\cap B_{2}]=[B_{1}]\cap [B_{2}]$
它很容易证明（但可能难以应用）。
基的补集不能是基，因为它包含零向量。

此练习推荐给所有读者。

问题 20

考虑“维度”如何与“子集”相互作用。假设 $U$ 和 $W$ 都是某个向量空间的子空间，并且 $U\subseteq W$ .

证明 $\dim(U)\leq \dim(W)$ .
证明维数相等当且仅当 $U=W$ .
证明如果它们是无限维的，则前一项不成立。

答案

对于 $U$ 的基是 $W$ 中的线性无关集，因此可以通过推论 2.10 扩展到 $W$ 的基。第二个基至少与第一个基具有相同的成员数。
一个方向是明确的：如果 $V=W$ ，那么它们具有相同的维数。反过来，设 $B_{U}$ 是 $U$ 的一个基。它是一个 $W$ 的线性无关子集，因此可以扩展为 $W$ 的一个基。如果 $\dim(U)=\dim(W)$ ，那么 $W$ 的这个基不再比 $B_{U}$ 的成员多，因此等于 $B_{U}$ 。由于 $U$ 和 $W$ 具有相同的基，因此它们是相等的。
令 $W$ 为有限度多项式的空间，并令 $U$ 为仅具有偶数次幂项的多项式的子空间 $\{a_{0}+a_{1}x^{2}+a_{2}x^{4}+\dots +a_{n}x^{2n}\,{\big |}\,a_{0},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {R} \}$ 。两个空间都具有无限维，但 $U$ 是一个真子空间。

? 问题 21

对于任何向量 ${\vec {v}}$ 在 $\mathbb {R} ^{n}$ 中，以及任何数字 $1$ ， $2$ ，...， $n$ 的排列 $\sigma$ （也就是说， $\sigma$ 是对这些数字进行重新排列以得到新的顺序），定义 $\sigma ({\vec {v}})$ 为一个向量，其分量为 $v_{\sigma (1)}$ ， $v_{\sigma (2)}$ ，...，以及 $v_{\sigma (n)}$ （其中 $\sigma (1)$ 是重新排列中的第一个数字，等等）。现在固定 ${\vec {v}}$ 并令 $V$ 为 $\{\sigma ({\vec {v}})\,{\big |}\,\sigma {\text{ permutes }}1,\ldots ,n\}$ 的生成空间。 $V$ 的维数有哪些可能性？（Gilbert, Krusemeyer & Larson 1993，习题 47）

答案

向量 $V$ 的维数可能为 $0$ ， $1$ ， $n-1$ 以及 $n$ 。

为了说明这一点，首先考虑向量 ${\vec {v}}$ 的所有坐标都相等的情况。

{\vec {v}}={\begin{pmatrix}z\\z\\\vdots \\z\end{pmatrix}}

那么对于任何排列 $\sigma$ ，都有 $\sigma ({\vec {v}})={\vec {v}}$ ，因此 $V$ 仅仅是 ${\vec {v}}$ 的线性空间，其维数为 $0$ 或 $1$ ，取决于 ${\vec {v}}$ 是否为 ${\vec {0}}$ 。

现在假设 ${\vec {v}}$ 的坐标并不全相等；令 $x$ 和 $y$ 为 ${\vec {v}}$ 的坐标，且 $x\neq y$ 。那么我们可以找到置换 $\sigma _{1}$ 和 $\sigma _{2}$ 使得

\sigma _{1}({\vec {v}})={\begin{pmatrix}x\\y\\a_{3}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad \sigma _{2}({\vec {v}})={\begin{pmatrix}y\\x\\a_{3}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}

对于某些 $a_{3},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {R}$ 。因此，

{\frac {1}{y-x}}{\bigl (}\sigma _{1}({\vec {v}})-\sigma _{2}({\vec {v}}){\bigr )}={\begin{pmatrix}-1\\1\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}

位于 $V$ 中。也就是说， ${\vec {e}}_{2}-{\vec {e}}_{1}\in V$ ，其中 ${\vec {e}}_{1}$ 、 ${\vec {e}}_{2}$ 、…、 ${\vec {e}}_{n}$ 是 $\mathbb {R} ^{n}$ 的标准基。类似地， ${\vec {e}}_{3}-{\vec {e}}_{2}$ 、…、 ${\vec {e}}_{n}-{\vec {e}}_{1}$ 都位于 $V$ 中。很容易看出向量 ${\vec {e}}_{2}-{\vec {e}}_{1}$ 、 ${\vec {e}}_{3}-{\vec {e}}_{2}$ 、…、 ${\vec {e}}_{n}-{\vec {e}}_{1}$ 是线性无关的（即构成线性无关集），所以 $\dim V\geq n-1$ 。

最后，我们可以写出

{\begin{array}{rl}{\vec {v}}&=x_{1}{\vec {e}}_{1}+x_{2}{\vec {e}}_{2}+\dots +x_{n}{\vec {e}}_{n}\\&=(x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n}){\vec {e}}_{1}+x_{2}({\vec {e}}_{2}-{\vec {e}}_{1})+\dots +x_{n}({\vec {e}}_{n}-{\vec {e}}_{1})\end{array}}

这表明如果 $x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n}=0$ ，则 ${\vec {v}}$ 在 ${\vec {e}}_{2}-{\vec {e}}_{1}$ ，…， ${\vec {e_{n}}}-{\vec {e}}_{1}$ 的线性组合中（也就是说，在这个向量集的张成空间中）；类似地，每个 $\sigma ({\vec {v}})$ 都将在这个张成空间中，所以 $V$ 将等于这个张成空间，并且 $\dim V=n-1$ 。另一方面，如果 $x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\neq 0$ ，则上述等式表明 ${\vec {e}}_{1}\in V$ ，因此 ${\vec {e}}_{1},\dots ,{\vec {e}}_{n}\in V$ ，所以 $V=\mathbb {R} ^{n}$ 并且 $\dim V=n$ .

参考文献

Gilbert, George T.; Krusemeyer, Mark; Larson, Loren C. (1993), The Wohascum County Problem Book, The Mathematical Association of America.