线性代数/维度刻画同构

在上一小节中，在给出同构定义后，我们给出了一些结果来支持这样的直觉：这种映射将空间描述为“相同”。在这里，我们将使这种直觉形式化。虽然两个同构的空间并不相等，但我们认为它们几乎相等——作为等价的。在本小节中，我们将证明关系“与…同构”是等价关系。

定理 2.1

同构是向量空间之间的等价关系。

证明

我们必须证明这种关系具有对称、自反和传递这三个性质。对于这三个中的每一个，我们将使用引理 1.9的第 2 项，并通过证明它保持两个域成员的线性组合来证明映射保持结构。

为了检查自反性，即任何空间都与其自身同构，请考虑恒等映射。它显然是一对一的且满射的。证明它保持线性组合的计算很容易。

${\mbox{id}}(c_{1}\cdot {\vec {v}}_{1}+c_{2}\cdot {\vec {v}}_{2})=c_{1}{\vec {v}}_{1}+c_{2}{\vec {v}}_{2}=c_{1}\cdot {\mbox{id}}({\vec {v}}_{1})+c_{2}\cdot {\mbox{id}}({\vec {v}}_{2})$

为了检查对称性，即如果$V$ 通过某个映射$f:V\to W$ 与$W$ 同构，那么也存在一个反向的同构，考虑逆映射$f^{-1}:W\to V$。如附录中所述，这样的逆函数存在，并且它也是一个对应关系。因此，我们将对称性问题简化为检查，因为$f$ 保持线性组合，所以$f^{-1}$ 也保持线性组合。假设${\vec {w}}_{1}=f({\vec {v}}_{1})$ 且 ${\vec {w}}_{2}=f({\vec {v}}_{2})$，即$f^{-1}({\vec {w}}_{1})={\vec {v}}_{1}$ 且 $f^{-1}({\vec {w}}_{2})={\vec {v}}_{2}$。

${\begin{array}{rl}f^{-1}(c_{1}\cdot {\vec {w}}_{1}+c_{2}\cdot {\vec {w}}_{2})&=f^{-1}{\bigl (}\,c_{1}\cdot f({\vec {v}}_{1})+c_{2}\cdot f({\vec {v}}_{2})\,{\bigr )}\\&=f^{-1}(\,f{\bigl (}c_{1}{\vec {v}}_{1}+c_{2}{\vec {v}}_{2})\,{\bigr )}\\&=c_{1}{\vec {v}}_{1}+c_{2}{\vec {v}}_{2}\\&=c_{1}\cdot f^{-1}({\vec {w}}_{1})+c_{2}\cdot f^{-1}({\vec {w}}_{2})\end{array}}$

最后，我们必须检查传递性，即如果$V$ 通过某个映射$f$ 与$W$ 同构，并且如果$W$ 通过某个映射$g$ 与$U$ 同构，那么$V$ 也与$U$ 同构。考虑复合映射$g\circ f:V\to U$。附录指出两个对应关系的复合是一个对应关系，因此我们只需要检查复合是否保持线性组合。

${\begin{array}{rl}g\circ f\,{\bigl (}c_{1}\cdot {\vec {v}}_{1}+c_{2}\cdot {\vec {v}}_{2}{\bigr )}&=g{\bigl (}\,f(c_{1}\cdot {\vec {v}}_{1}+c_{2}\cdot {\vec {v}}_{2})\,{\bigr )}\\&=g{\bigl (}\,c_{1}\cdot f({\vec {v}}_{1})+c_{2}\cdot f({\vec {v}}_{2})\,{\bigr )}\\&=c_{1}\cdot g{\bigl (}f({\vec {v}}_{1}))+c_{2}\cdot g(f({\vec {v}}_{2}){\bigr )}\\&=c_{1}\cdot (g\circ f)\,({\vec {v}}_{1})+c_{2}\cdot (g\circ f)\,({\vec {v}}_{2})\end{array}}$

因此，$g\circ f:V\to U$ 是一个同构。

作为该结果的推论，我们知道向量空间的全集被划分为若干类：每个空间都属于且仅属于一个同构类。

所有有限维的 向量空间

$V\cong W$

定理 2.2

向量空间是同构的当且仅当它们具有相同的维数。

这由以下两个引理得出。

引理 2.3

如果空间是同构的，那么它们具有相同的维数。

证明

我们将证明两个空间的同构给出了它们基之间的一个对应关系。也就是说，当$f:V\to W$ 是一个同构，且定义域$V$ 的一个基为$B=\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$，那么像集$D=\langle f({\vec {\beta }}_{1}),\dots ,f({\vec {\beta }}_{n})\rangle$ 是陪域$W$ 的一个基。（对应关系的另一半——对于$W$ 的任意基，其原像是$V$ 的一个基——可以通过回忆如果$f$ 是一个同构，那么$f^{-1}$ 也是一个同构，并将前一句应用于$f^{-1}$ 来得到。）

为了证明$D$ 张成$W$，固定任意${\vec {w}}\in W$，注意到$f$ 是满射的，因此存在一个${\vec {v}}\in V$ 使得${\vec {w}}=f({\vec {v}})$，并把${\vec {v}}$ 展开为基向量的线性组合。

${\vec {w}}=f({\vec {v}})=f(v_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +v_{n}{\vec {\beta }}_{n})=v_{1}\cdot f({\vec {\beta }}_{1})+\dots +v_{n}\cdot f({\vec {\beta }}_{n})$

对于$D$的线性无关性，如果

${\vec {0}}_{W}=c_{1}f({\vec {\beta }}_{1})+\dots +c_{n}f({\vec {\beta }}_{n})=f(c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n})$

那么，由于$f$是一对一的，因此唯一映射到${\vec {0}}_{W}$的向量是${\vec {0}}_{V}$，我们有${\vec {0}}_{V}=c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n}$，这意味着所有的$c$都为零。

引理 2.4

如果两个空间的维数相同，则它们是同构的。

证明

为了证明任何两个维数为$n$的空间是同构的，我们只需证明其中任何一个空间与$\mathbb {R} ^{n}$同构。然后，根据同构的传递性（在定理 2.1中已证明），我们就证明了它们彼此同构。

令$V$为$n$维空间。为定义域$V$固定一个基$B=\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$。考虑将该定义域的成员相对于基的表示作为从$V$到$\mathbb {R} ^{n}$的一个函数。

${\vec {v}}=v_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +v_{n}{\vec {\beta }}_{n}\,{\stackrel {{\text{Rep}}_{B}}{\longmapsto }}\,{\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}$

（它是良定义的，因为每个${\vec {v}}$都只有一个这样的表示——参见下面备注 2.5）。

此函数是一对一的，因为如果

${\text{Rep}}_{B}(u_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +u_{n}{\vec {\beta }}_{n})={\text{Rep}}_{B}(v_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +v_{n}{\vec {\beta }}_{n})$

那么

${\begin{pmatrix}u_{1}\\\vdots \\u_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}$

因此$u_{1}=v_{1}$，…，$u_{n}=v_{n}$，因此原始参数$u_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +u_{n}{\vec {\beta }}_{n}$和$v_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +v_{n}{\vec {\beta }}_{n}$是相等的。

此函数是满射的；任何$n$维向量

${\vec {w}}={\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{n}\end{pmatrix}}$

是某个${\vec {v}}\in V$的像，即${\vec {w}}={\rm {Rep}}_{B}(w_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +w_{n}{\vec {\beta }}_{n})$。

最后，此函数保持结构。

${\begin{array}{rl}{\rm {Rep}}_{B}(r\cdot {\vec {u}}+s\cdot {\vec {v}})&={\rm {Rep}}_{B}(\,(ru_{1}+sv_{1}){\vec {\beta }}_{1}+\dots +(ru_{n}+sv_{n}){\vec {\beta }}_{n}\,)\\&={\begin{pmatrix}ru_{1}+sv_{1}\\\vdots \\ru_{n}+sv_{n}\end{pmatrix}}\\&=r\cdot {\begin{pmatrix}u_{1}\\\vdots \\u_{n}\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\\&=r\cdot {\rm {Rep}}_{B}({\vec {u}})+s\cdot {\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}})\end{array}}$

因此，${\mbox{Rep}}_{B}$函数是一个同构，因此任何$n$维空间都与$n$维空间$\mathbb {R} ^{n}$同构。因此，任何两个具有相同维度的空间都是同构的。

备注 2.5

该证明中关于“唯一表示”结果所起作用的括号注释需要一些解释。我们需要证明（对于固定的$B$）域中的每个向量都由${\mbox{Rep}}_{B}$关联到陪域中唯一的一个向量。

一个对比的例子，其中一个关联没有这个属性，是很有启发的。考虑这个${\mathcal {P}}_{2}$的子集，它不是一个基。

$A=\{1+0x+0x^{2},0+1x+0x^{2},0+0x+1x^{2},1+1x+2x^{2}\}$

将这四个多项式称为${\vec {\alpha }}_{1}$，…，${\vec {\alpha }}_{4}$。如果，模仿上面的证明，我们尝试将${\mathcal {P}}_{2}$的成员写成${\vec {p}}=c_{1}{\vec {\alpha }}_{1}+c_{2}{\vec {\alpha }}_{2}+c_{3}{\vec {\alpha }}_{3}+c_{4}{\vec {\alpha }}_{4}$的形式，并将${\vec {p}}$与一个四维向量关联，其分量为$c_{1}$，…，$c_{4}$，那么就会出现问题。因为，考虑${\vec {p}}(x)=1+x+x^{2}$。集合$A$生成空间${\mathcal {P}}_{2}$，因此至少存在一个与${\vec {p}}$关联的四维向量。但是$A$不是线性无关的，因此向量没有唯一的分解。在这种情况下，两者都有

${\vec {p}}(x)=1{\vec {\alpha }}_{1}+1{\vec {\alpha }}_{2}+1{\vec {\alpha }}_{3}+0{\vec {\alpha }}_{4}\quad {\text{and}}\quad {\vec {p}}(x)=0{\vec {\alpha }}_{1}+0{\vec {\alpha }}_{2}-1{\vec {\alpha }}_{3}+1{\vec {\alpha }}_{4}$

因此，与${\vec {p}}$相关的四维向量不止一个。

${\begin{pmatrix}1\\1\\1\\0\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad {\begin{pmatrix}0\\0\\-1\\1\end{pmatrix}}$

也就是说，当输入为${\vec {p}}$时，这种关联没有明确定义（即唯一的）输出值。

任何定义可能存在歧义的映射都必须检查其是否定义良好。对于上述证明中的${\mbox{Rep}}_{B}$，该检查对应于习题11。

这结束了定理2.2的证明。我们说同构类由维度**刻画**，因为我们可以简单地通过给出该类中所有空间的维数来描述每个类。

本小节的结果为我们提供了一系列同构类的代表。^[3]

推论2.6

有限维向量空间与唯一的某个$\mathbb {R} ^{n}$同构。

上面的证明将许多思想压缩到很小的空间内。在本章的其余部分，我们将再次考虑这些思想，并对其进行扩展。作为示例，我们将在此扩展引理2.4的证明。

例2.7

$2\!\times \!2$矩阵的空间${\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}$与$\mathbb {R} ^{4}$同构。对于定义域的这个基

$B=\langle {\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\rangle$

引理中给出的同构，表示映射$f_{1}={\mbox{Rep}}_{B}$，只是简单地将条目复制过去。

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\stackrel {f_{1}}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\end{pmatrix}}$

理解映射$f_{1}$的一种方式是：固定定义域的基$B$和陪域的基${\mathcal {E}}_{4}$，并将${\vec {\beta }}_{1}$与${\vec {e}}_{1}$关联，并将${\vec {\beta }}_{2}$与${\vec {e}}_{2}$关联，等等。然后将这种关联扩展到两个空间的所有成员。

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}=a{\vec {\beta }}_{1}+b{\vec {\beta }}_{2}+c{\vec {\beta }}_{3}+d{\vec {\beta }}_{4}\;\;{\stackrel {f_{1}}{\longmapsto }}\;\;a{\vec {e}}_{1}+b{\vec {e}}_{2}+c{\vec {e}}_{3}+d{\vec {e}}_{4}={\begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\end{pmatrix}}$

我们说这个映射已从基扩展到空间线性扩展。

我们可以使用不同的基做同样的事情，例如，为定义域取这个基。

$A=\langle {\begin{pmatrix}2&0\\0&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&2\\0&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&0\\2&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&0\\0&2\end{pmatrix}}\rangle$

将$A$和${\mathcal {E}}_{4}$的对应元素关联起来，并线性扩展。

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}=(a/2){\vec {\alpha }}_{1}+(b/2){\vec {\alpha }}_{2}+(c/2){\vec {\alpha }}_{3}+(d/2){\vec {\alpha }}_{4}$

${\stackrel {f_{2}}{\longmapsto }}\;\;(a/2){\vec {e}}_{1}+(b/2){\vec {e}}_{2}+(c/2){\vec {e}}_{3}+(d/2){\vec {e}}_{4}={\begin{pmatrix}a/2\\b/2\\c/2\\d/2\end{pmatrix}}$

产生了与$f_{1}$不同的同构。

先前的映射是通过改变定义域的基底得到的。我们也可以改变陪域的基底。从以下开始：

$B\quad {\text{and}}\quad D=\langle {\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}\rangle$

将${\vec {\beta }}_{1}$与${\vec {\delta }}_{1}$等关联起来，然后将这种对应关系线性扩展到这两个空间的全部。

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}=a{\vec {\beta }}_{1}+b{\vec {\beta }}_{2}+c{\vec {\beta }}_{3}+d{\vec {\beta }}_{4}\;\;{\stackrel {f_{3}}{\longmapsto }}\;\;a{\vec {\delta }}_{1}+b{\vec {\delta }}_{2}+c{\vec {\delta }}_{3}+d{\vec {\delta }}_{4}={\begin{pmatrix}a\\b\\d\\c\end{pmatrix}}$

给出了另一个同构。

因此，空间之间的映射与这些空间的基之间存在联系。后面的章节将探讨这种联系。

我们将以总结结束本节。

回想一下，在第一章中，我们定义了两个矩阵，如果它们可以通过初等行运算相互推导出来，则称它们为行等价（这是那里感兴趣的“相同性”的含义）。我们证明了它是一个等价关系，因此矩阵的集合被划分为多个类，其中所有行等价的矩阵都归属于同一个类。然后，为了深入了解每个类中包含哪些矩阵，我们给出了类的代表，即行最简形矩阵。

在本节中，除了这里适当的“相同性”的概念是向量空间同构之外，我们遵循了大致相同的提纲。首先我们定义了同构，给出了一些例子，并建立了一些性质。然后我们证明了它是一个等价关系，现在我们有一组类代表，即实向量空间$\mathbb {R} ^{1}$，$\mathbb {R} ^{2}$等。

所有有限维的 向量空间

每个类的一个代表 每个类

和以前一样，代表列表有助于我们理解分区。它只是按维度对空间进行分类。

在第二章中，随着向量空间的定义，我们似乎将研究范围扩展到了许多新的结构示例，除了熟悉的$\mathbb {R} ^{n}$。我们现在知道情况并非如此。任何有限维向量空间实际上都与一个实空间“相同”。因此，我们正在考虑我们确实需要考虑的结构。

本章的其余部分补充了本节中的工作。特别是，在下一节中，我们将考虑保留结构但并非一定是对应关系的映射。

练习

建议所有读者完成此练习。

问题 1

确定这些空间是否同构。

1. $\mathbb {R} ^{2}$，$\mathbb {R} ^{4}$
2. ${\mathcal {P}}_{5}$，$\mathbb {R} ^{5}$

3. M_2×3，R⁶
4. P₅，M_2×3
5. M_2×k，C^k

答案

如果且仅当两个空间的维度相同，这两个空间才是同构的。当存在同构时，我们可以说明映射，但这不是严格必要的。

1. 否，它们的维度不同。
2. 否，它们的维度不同。
3. 是，它们的维度相同。一个同构如下。

   ${\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}a\\\vdots \\f\end{pmatrix}}$

4. 是，它们的维度相同。这是一个同构。

   $a+bx+\cdots +fx^{5}\mapsto {\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\end{pmatrix}}$

5. 是，两者都具有维度2k。

建议所有读者完成此练习。

问题2

考虑同构Rep_B(·)：P₁→R²，其中B=⟨1, 1+x⟩。求出域中每个元素的像。

1. 3-2x;
2. 2+2x;
3. x

答案

1. Rep_B(3-2x)=${\begin{pmatrix}5\\-2\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}$

建议所有读者完成此练习。

问题3

证明如果$m\neq n$，则$\mathbb {R} ^{m}\not \cong \mathbb {R} ^{n}$。

答案

它们的维数不同。

建议所有读者完成此练习。

问题 4

是否${\mathcal {M}}_{m\!\times \!n}\cong {\mathcal {M}}_{n\!\times \!m}$？

答案

是的，两者都是$mn$维的。

建议所有读者完成此练习。

问题 5

$\mathbb {R} ^{3}$中过原点的任意两个平面是否同构？

答案

是的，任意两个（非退化）平面都是二维向量空间。

问题 6

找到一组等价类代表，而不是$\mathbb {R} ^{n}$的集合。

答案

有很多答案，其中一个是${\mathcal {P}}_{k}$的集合（将${\mathcal {P}}_{-1}$视为平凡向量空间）。

问题 7

判断真假：在任意$n$维空间和$\mathbb {R} ^{n}$之间恰好存在一个同构。

答案

假（除非$n=0$）。例如，如果$f:V\to \mathbb {R} ^{n}$是一个同构，则乘以任何非零标量都会得到另一个不同的同构。（在平凡空间之间，同构是唯一的；唯一可能的映射是${\vec {0}}_{V}\mapsto 0_{W}$。）

问题 8

向量空间可以与其（真）子空间同构吗？

答案

否。一个真子空间的维数严格小于其母空间的维数；如果$U$ 是 $V$ 的一个真子空间，那么 $U$ 的任何线性无关子集必须少于 $\dim(V)$ 个元素，否则该集合将是 $V$ 的一个基，并且 $U$ 不会是真子空间。

建议所有读者完成此练习。

问题 9

本小节说明对于任何同构，其逆映射也是同构。本小节还说明，对于n维向量空间$V$ 的一个固定基$B$，映射${\text{Rep}}_{B}:V\to \mathbb {R} ^{n}$ 是一个同构。求此映射的逆。

答案

其中$B=\langle {\vec {\beta }}_{1},\ldots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$，逆映射如下。

${\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}\mapsto c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\cdots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n}$

建议所有读者完成此练习。

问题 10

证明关于矩阵的以下事实。

1. 矩阵的行空间与其转置的列空间同构。
2. 矩阵的行空间与其列空间同构。

答案

所有三个空间的维数都等于矩阵的秩。

问题 11

证明来自定理 2.2 的函数是良定义的。

答案

我们必须证明，如果${\vec {a}}={\vec {b}}$，则$f({\vec {a}})=f({\vec {b}})$。因此，假设$a_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +a_{n}{\vec {\beta }}_{n}=b_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +b_{n}{\vec {\beta }}_{n}$。向量空间（此处为定义域空间）中的每个向量都具有唯一表示为基向量的线性组合，因此我们可以得出结论$a_{1}=b_{1}$，…，$a_{n}=b_{n}$。因此，

$f({\vec {a}})={\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}=f({\vec {b}})$

因此，该函数是良定义的。

问题 12

当$n=0$时，定理 2.2 的证明是否有效？

答案

是的，因为零维空间是一个平凡空间。

问题 13

对于每个问题，判断它是否是一组同构类代表。

1. $\{\mathbb {C} ^{k}\,{\big |}\,k\in \mathbb {N} \}$
2. $\{{\mathcal {P}}_{k}\,{\big |}\,k\in \{-1,0,1,\ldots \}\}$
3. $\{{\mathcal {M}}_{m\!\times \!n}\,{\big |}\,m,n\in \mathbb {N} \}$

答案

1. 否，这个集合没有奇数维度的空间。
2. 是，因为${\mathcal {P}}_{k}\cong \mathbb {R} ^{k+1}$。

3. 不，例如，${\mathcal {M}}_{2\!\times \!3}\cong {\mathcal {M}}_{3\!\times \!2}$。

问题 14

令$f$ 为向量空间$V$ 和$W$ 之间的对应关系（即一一对应且满射的映射）。证明空间$V$ 和$W$ 通过$f$ 同构当且仅当存在基$B\subset V$ 和$D\subset W$ 使得对应向量具有相同的坐标：${\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}})={\rm {Rep}}_{D}(f({\vec {v}}))$。

答案

一个方向很容易：如果这两个空间通过$f$ 同构，那么对于任何基$B\subseteq V$，集合$D=f(B)$ 也是一个基（这在引理 2.3 中得到证明）。对应向量具有相同坐标的检验：$f(c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n})=c_{1}f({\vec {\beta }}_{1})+\dots +c_{n}f({\vec {\beta }}_{n})=c_{1}{\vec {\delta }}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {\delta }}_{n}$ 是常规的。

对于另一半，假设存在一些基，使得对应向量在这组基下具有相同的坐标。因为$f$是一个对应关系，为了证明它是一个同构，我们只需要证明它保持结构。因为${\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}}\,)={\rm {Rep}}_{D}(f({\vec {v}}\,))$，映射$f$保持结构当且仅当表示保持加法：${\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2})={\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}}_{1})+{\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}}_{2})$和标量乘法：${\rm {Rep}}_{B}(r\cdot {\vec {v}}\,)=r\cdot {\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}}\,)$加法计算如下：$(c_{1}+d_{1}){\vec {\beta }}_{1}+\dots +(c_{n}+d_{n}){\vec {\beta }}_{n}=c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n}+d_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +d_{n}{\vec {\beta }}_{n}$，标量乘法的计算类似。

习题 15

考虑同构${\text{Rep}}_{B}:{\mathcal {P}}_{3}\to \mathbb {R} ^{4}$。

1. 实数空间中的向量正交当且仅当它们的点积为零。给出多项式正交性的定义。

2. 来自${\mathcal {P}}_{3}$ 中的一个元素的导数也在 ${\mathcal {P}}_{3}$ 中。给出$\mathbb {R} ^{4}$ 中向量的导数的定义。

答案

1. 将定义从$\mathbb {R} ^{4}$ 映射回 ${\mathcal {P}}_{3}$ 得到 $a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}$ 与 $b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+b_{3}x^{3}$ 正交当且仅当 $a_{0}b_{0}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}=0$。
2. 一个自然的定义是这样的。

   $D({\begin{pmatrix}a_{0}\\a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}a_{1}\\2a_{2}\\3a_{3}\\0\end{pmatrix}}$

建议所有读者完成此练习。

问题 16

当扩展到空间时，基之间的每一个对应关系都会产生一个同构吗？

答案

是的。

假设$V$ 是一个向量空间，其基为 $B=\langle {\vec {\beta }}_{1},\ldots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$，并且 $W$ 是另一个向量空间，使得映射 $f:B\to W$ 是一个对应关系。考虑 $f$ 的扩展 ${\hat {f}}:V\to W$。

${\hat {f}}(c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\cdots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n})=c_{1}f({\vec {\beta }}_{1})+\cdots +c_{n}f({\vec {\beta }}_{n}).$

映射 ${\hat {f}}$ 是一个同构。

首先，${\hat {f}}$ 是良定义的，因为 $V$ 中的每个成员都只有一个表示形式，可以表示为 $B$ 中元素的线性组合。

其次，${\hat {f}}$ 是单射的，因为 $W$ 中的每个成员都只有一个表示形式，可以表示为 $\langle f({\vec {\beta }}_{1}),\dots ,f({\vec {\beta }}_{n})\rangle$ 中元素的线性组合。映射 ${\hat {f}}$ 是满射的，因为 $W$ 中的每个成员至少有一个表示形式，可以表示为 $\langle f({\vec {\beta }}_{1}),\dots ,f({\vec {\beta }}_{n})\rangle$ 中成员的线性组合。

最后，结构的保持是常规检查。例如，以下是加法运算的保持计算。

${\begin{array}{rl}{\hat {f}}(\,(c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n})+(d_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +d_{n}{\vec {\beta }}_{n})\,)&={\hat {f}}(\,(c_{1}+d_{1}){\vec {\beta }}_{1}+\dots +(c_{n}+d_{n}){\vec {\beta }}_{n}\,)\\&=(c_{1}+d_{1})f({\vec {\beta }}_{1})+\dots +(c_{n}+d_{n})f({\vec {\beta }}_{n})\\&=c_{1}f({\vec {\beta }}_{1})+\dots +c_{n}f({\vec {\beta }}_{n})+d_{1}f({\vec {\beta }}_{1})+\dots +d_{n}f({\vec {\beta }}_{n})\\&={\hat {f}}(c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n})++{\hat {f}}(d_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +d_{n}{\vec {\beta }}_{n}).\end{array}}$

标量乘法的保持类似。

问题 17

（需要可选的“子空间的合并”小节。）假设$V=V_{1}\oplus V_{2}$ 并且$V$ 在映射$f$下与空间$U$ 同构。证明$U=f(V_{1})\oplus f(U_{2})$。

答案

因为$V_{1}\cap V_{2}=\{{\vec {0}}_{V}\}$ 且 $f$ 为一对一映射，我们有 $f(V_{1})\cap f(V_{2})=\{{\vec {0}}_{U}\}$。最后，计算维度：$\dim(U)=\dim(V)=\dim(V_{1})+\dim(V_{2})=\dim(f(V_{1}))+\dim(f(V_{2}))$，如要求所示。

问题 18

证明这不是一个从有理数到整数的良定义函数：对每个分数，关联其分子值。

答案

有理数有多种表示形式，例如 $1/2=3/6$，并且分子在不同的表示形式中可能不同。